公务员考试技巧：余数同余问题

余数同余问题 在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是 令很多考生犯难的一种题型，更是公务员考试研究中心一直很重视的题型。现 公务员考试研究中心对常见的几类余数同余题目给予分析，帮助考生轻松解决 此类问题。 按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类： 一、代入排除类型 【例 1】(江西 2009)学生在操场上列队做操，只知人数在 90-110 之间。如 果排成 3 排则不多不少;排成 5 排则少 2 人;排成 7 排则少 4 人;则学生人数是多 少?( ) A.102 B.98 C.104 D.108 【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪 个就是正确的答案，毫无疑问，选项 108 满足条件，选择 D。 二、余数关系式和恒等式的应用 余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已 经学过了，余数基本关系式：被除数除数=商余数(0余数11。除数为整数，所以除数12，根据余数的基本恒等式：被除数=除 数商+余数12商+余数=125+11=71，因此被除数最小为 71，答案选择 D 选项。 【例 3】有四个自然数 A、B、C、D，它们的和不超过 400，并且 A 除以 B 商是 5 余 5，A 除以 C 商是 6 余 6，A 除以 D 商是 7 余 7。那么，这四个自然数 的和是? 2 A. 216 B. 108 C. 314 D. 348 【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数商+余数，有 A=B5+5= (B+1)5。由于 A、B 均是自然数，于是 A 可以被 5 整除，同理，A 还可以被 6、7 整除，因此，A 可以表示为 5、6、7 的公倍数，即 210n。由于 A、B、C、D 的和不超过 400，所以 A 只能等于 210，从而可以求出 B=41、C=34、D=29，得到 A+B+C+D=314，选 C。 像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题 的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。 三、同余问题 这类问题在考试中比较常见，主要是从除数与余数的关系入手，来求得最 终答案。通过总结我们得出解决同余问题的核心口诀，如下表所示： 同余问题核心口诀 “最小公倍数作周期，余同取余，和同加和，差同减差” 余同取余：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，这个数是 60n+1 和同加和：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，这个数是 60n+7 差同减差：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5”，这个数是 60n-1 说明：在这里，n 的取值范围为整数，可以为正数也可以取负数。 【例 4】一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1，请问这个数如何表 示? 【解析】设这个数为 A，则 A 除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1，那么 A-1 就可以被 4、5、6 整除。4、5、6 的最小公倍数为 60，所以 A-1 就可以表 示为 60n，因此，A=60n+1。 【例 5】一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1，请问这个数如何表 示? 【解析】设这个数为 A，如果 A 除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1，我 们知道除数与对应余数的和相同，对应的为“和同加和”，满足这三个条件的 数可以表示为：A= 60n+7。 3 【例 6】一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3，请问这个数如何表 示? 【解析】除以除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3，我们知道除数与对应 余数的差相同，对应的为“差同减差”，满足这三个条件的数可以表示为： 60n-1。 根据以上三道例题的结论，我们还可以举一反三地解决其他相关问题。如： 【例 7】一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，这样的三位数 共有多少个? A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 解析：除以 5 余 2，除以 4 余 3，我们知道除数与对应余数的和相同，对应 的为“和同加和”，满足这两个条件的数可以表示为，P=20n+7，表示除以 20 余 7;再配上之前的条件除以 9 余 7，对应的为“余同取余”，我们得到这个数 可以表示为 180n+7，由于这个数为三位数，所以 n 可以取 1、2、3、4、5，所 以共 5 个。 由此可以看出，针对行测考试中出现的此类问题，只要大家掌握