上海市嘉定区2017届高考数学一模试卷含答案解析

2017 年上海市嘉定区高考数学一模试卷 一、填空题（共 12 小题， 1题 4 分， 7题 5 分，共 54 分） 1（ 4 分）设集合 A=x|x 2| 1， x R，集合 B=Z，则 A B= 2（ 4 分）函数 y=x ）（ 0）的最小正周期是 ，则 = 3（ 4 分）设 i 为虚数单位，在复平面上，复数 对应的点到原点的距离为 4（ 4 分）若函数 f（ x） =x+1） +a 的反函数的图象经过点（ 4， 1），则实数 a= 5（ 4 分）已知（ a+3b） n 展开式中，各项系数的和与各项 二项式系数的和之比为 64，则 n= 6（ 4 分）甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 种 7若圆锥的侧面展开图是半径为 2心角为 270的扇形，则这个圆锥的体积为 8若数列 所有项都是正数，且 + + + =n（ n N*），则（ ） = 9如图，在 ， B=45， D 是 上的一点， ， ， ，则 长为 10有以下命题： 若函数 f（ x）既是奇函数又是偶函数，则 f（ x）的值域为 0； 若函数 f（ x）是偶函数，则 f（ |x|） =f（ x）； 若函数 f（ x）在其定义域内不是单调函数，则 f（ x）不存在反函数； 若函数 f（ x）存在反函数 f 1（ x），且 f 1（ x）与 f（ x）不完全相同，则 f（ x）与 f 1（ x）图象的公共点必在直线 y=x 上； 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 11设向量 =（ 1， 2）， =（ a， 1）， =（ b， 0），其中 O 为坐标原点， a 0， b 0，若 A、 B、 C 三点共线，则 + 的最小值为 12如图，已知正三棱柱 底面边长为 2为 5质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 的最短路线的长为 二、选择题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13 “x 2”是 “4”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 14若无穷等差数列 首项 0，公差 d 0， 前 n 项和为 以下结论中一定正确的是（ ） A 调递增 B 调递减 C 最小值 D 最大值 15给出下列命题： （ 1）存在实数 使 （ 2）直线 是函数 y=象的一条对称轴 （ 3） y= x R）的值域是 1 （ 4）若 ， 都是第一象限角，且 ，则 其中正确命题的题号为（ ） A（ 1）（ 2） B（ 2）（ 3） C（ 3）（ 4） D（ 1）（ 4） 16如果对一切实数 x、 y，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， B 3， + ） C 2 ， 2 D 3， 3 三、解答题（共 5 小题，满分 76 分） 17（ 14 分）如图，已知 平面 平面 成的角为 30，且 C=2； （ 1）求三棱锥 A 体积； （ 2）设 M 为 中点，求异面直线 成角的大小（结果用反三角函数值表示） 18（ 14 分）在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且 8 （ I）求角 A 的大小； （ 若 a= ， b+c=3，求 b 和 c 的值 19（ 14 分）某地要建造一个边长为 2（单位： 正方形市民休闲公园 其中的区域 挖成一个池塘， 如图建立平面直角坐标系后，点 D 的坐标为（ 1， 2），曲线 函数 y=象的一部分，对边 一点 M 在区域作一次函数 y=kx+b（ k 0）的图象，与线段 于点 N（点 N 不与点 D 重合），且线段 曲线 且只有一个公共点 P，四边形 绿化风景区： （ 1）求证： b= ； （ 2）设点 P 的横坐标为 t， 用 t 表示 M、 N 两点坐标； 将四边形 面积 S 表示成关于 t 的函数 S=S（ t），并求 S 的最大值 20（ 16 分）已知函数 f（ x） =9x 2a3x+3： （ 1）若 a=1， x 0， 1时，求 f（ x）的值域； （ 2）当 x 1， 1时，求 f（ x）的最小值 h（ a）； （ 3）是否存在实数 m、 n，同时满足下列条件： n m 3； 当 h（ a）的定义域为 m， n时，其值域为 若存在，求出 m、 n 的值，若不存在，请说明理由 21（ 18 分）已知无穷数列 各项都是正数，其前 n 项和为 满足：a1=a， 1，其中 a 1，常数 r N； （ 1）求证： 一个定值； （ 2）若数列 一个周期数列（存在正整数 T，使得对任意 n N*，都有 =称 周期数列， T 为它的一个周期，求该数列的最小周期； （ 3）若数列 各项均为有理数的等差数列， 3n 1（ n N*），问：数列的所有项是否都是数列 的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例 2017 年上海市嘉定区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（共 12 小题， 1题 4 分， 7题 5 分，共 54 分） 1设集合 A=x|x 2| 1， x R，集合 B=Z，则 A B= 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用 交集定义求解 【解答】 解： |x 2| 1，即 1 x 2 1，解得 1 x 3，即 A=（ 1， 3）， 集合 B=Z， 则 A B=2， 故答案为： 2 【点评】 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用 2函数 y=x ）（ 0）的最小正周期是 ，则 = 2 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 根据三角函数的周期性及其求法即可求值 【解答】 解： y=x ）（ 0）， T= =， =2 故答案是： 2 【点评】 本题主要考查了三角函数的周 期性及其求法，属于基础题 3设 i 为虚数单位，在复平面上，复数 对应的点到原点的距离为 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出 【解答】 解：复数 = = = 对应的点 到原点的距离 = = 故答案为： 【点评】 本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4若函数 f（ x） =x+1） +a 的反函数的图象经过点（ 4， 1），则实数 a= 3 【考点】 反函数 【分析】 由题意可得函数 f（ x） =x+1） +a 过（ 1， 4），代入求得 a 的值 【解答】 解：函数 f（ x） =x+1） +a 的反函数的图象经过点（ 4， 1）， 即函数 f（ x） =x+1） +a 的图象经过点（ 1， 4）， 4=1+1） +a 4=1+a， a=3 故答案为： 3 【点评】 本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题 5已知（ a+3b） n 展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 n= 6 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 令二项式中 的 a=b=1 得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和 2n，据已知列出方程求出 n 的值 【解答】 解：令二项式中的 a=b=1 得到展开式中的各项系数的和 4n 又各项二项式系数的和为 2n 据题意得 ，解得 n=6 故答案： 6 【点评】 求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n属于基础题 6甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有 60 种 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 间接法： 先求所有两人各选 修 2 门的种数， 再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案 【解答】 解：根据题意，采用间接法： 由题意可得，所有两人各选修 2 门的种数 00， 两人所选两门都相同的有为 0 种，都不同的种数为 0， 故只恰好有 1 门相同的选法有 100 10 30=60 种 故答案为 60 【点评】 本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题 7若圆锥的侧面展开图是半径为 2心角为 270的扇形，则这个圆锥的体积为 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案 【解答】 解：设此圆锥的底面半径为 r，由题意，得： 2r= 2， 解得 r= 故圆锥的高 h= = ， 圆锥的体积 V= 故答案为： 【点评】 本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解 8若数列 所有项都是正数，且 + + + =n（ n N*），则（ ） = 2 【考点】 数列的求和；极限及其运算 【分析】 利用数列递推关系可得 利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出 【解答】 解： + + + =n（ n N*）， n=1 时， =4，解得6 n 2 时，且 + + + =（ n 1） 2+3（ n 1），可得： =2n+2， （ n+1） 2 =4（ n+1） （ ） = =2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了数列递推 关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 9如图，在 ， B=45， D 是 上的一点， ， ， ，则 长为 【考点】 余弦定理 【分析】 先根据余弦定理求出 值，即可得到 值，最后根据正弦定理可得答案 【解答】 解：在 ， ， ， ， 由余弦定理得 = ， 20， 0 在 ， ， B=45， 0， 由正弦定 理得 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理属基础题 10有以下命题： 若函数 f（ x）既是奇函数又是偶函数，则 f（ x）的值域为 0； 若函数 f（ x）是偶函数，则 f（ |x|） =f（ x）； 若函数 f（ x）在其定义域内不是单调函数，则 f（ x）不存在反函数； 若函数 f（ x）存在反函数 f 1（ x），且 f 1（ x）与 f（ x）不完全相同，则 f（ x）与 f 1（ x）图象的公共点必在直线 y=x 上； 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 函数 f（ x）既是奇函数又是偶函数，则 f（ x） =0 利用偶函数的定义和性质判断 利用单调函数的定义进行判断 利用反函数的性质进行判断 【解答】 解： 若函数 f（ x）既是奇函数又是偶函数，则 f（ x） =0，为常数函数，所以 f（ x）的值域是 0， 所以 正确 若函数为偶函数，则 f（ x） =f（ x），所以 f（ |x|） =f（ x）成立，所以 正确 因为函数 f（ x） = 在定义域上不单调，但函数 f（ x）存在反函数，所以 错误 原函数图象与其反函数图象的交点关于直线 y=x 对称，但不一定在直线 y= 比如函数 y= 与其反函数 y=1（ x 0）的交点坐标有（ 1， 0），（ 0，1）， 显然交点不在直线 y=x 上，所以 错误 故答案为： 【点评】 本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强 11设向量 =（ 1， 2）， =（ a， 1）， =（ b， 0），其中 O 为坐标原点， a 0， b 0，若 A、 B、 C 三点共线，则 + 的最小值为 8 【考点】 基本不等式 【分析】 A、 B、 C 三点共线，则 = ，化简可得 2a+b=1根据 + =（ + ）（ 2a+b），利用基本不等式求得它的最小值 【解答】 解：向量 =（ 1， 2）， =（ a， 1）， =（ b， 0），其中 a 0， b 0， = =（ a 1， 1）， = =（ b 1， 2）， A、 B、 C 三点共线， = ， ， 解得 2a+b=1， + =（ + ）（ 2a+b） =2+2+ + 4+2 =8，当且仅当 a= ， b= ，取等号， 故 + 的最小值为 8， 故答案为： 8 【点评】 本题主要考查两个向量共 线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题 12如图，已知正三棱柱 底面边长为 2为 5质点自 着三棱柱的侧面绕行两周到达 13 【考点】 多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【分析】 将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径 【解答】 解：将正三棱柱 侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示， 在展开图中，最短距离是六个矩形 对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值 由已知求得矩形的长等于 6 2=12，宽等于 5，由勾股定理 d= =13 故答案为： 13 【点评】 本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法 二、选择题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13 “x 2”是 “4”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 先求出 4 的充要条件，结合集合的包含关系判断即可 【解答】 解：由 4，解得： 2 x 2， 故 x 2 是 4 的必要不充分条件， 故选： B 【点评】 本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题 14若无穷等差数列 首项 0，公差 d 0， 前 n 项和为 以下结论中一定正确的是（ ） A 调递增 B 调递减 C 最小值 D 最大值 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 Sn=d= n，利用二次函数的单调性即可判断出结论 【解答】 解： Sn=d= n， 0， 最小值 故选： C 【点评】 本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 15给出下列命题： （ 1）存在实数 使 （ 2）直线 是函数 y=象的一条对称轴 （ 3） y= x R）的值域是 1 （ 4）若 ， 都是第一象限角，且 ，则 其中正确命题的题号为（ ） A（ 1）（ 2） B（ 2）（ 3） C（ 3）（ 4） D（ 1）（ 4） 【考点】 正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域 【分析】 （ 1）利用辅助角公式将 可判断（ 1）； （ 2）根据函数 y=象的对称轴方程可判断（ 2）； （ 3）根据余弦函数的性质可求出 y= x R）的最大值与最小值，从而可判断（ 3）的正误； （ 4）用特值法令 ， 都是第一象限角，且 ，可判断（ 4） 【解答】 解：（ 1） ， （ 1）错误； （ 2） y=象的对称轴方程为 ， k= 1， ， （ 2）正确； （ 3）根据余弦函数的性 质可得 y=最大值为 ， 其值域是 1，（ 3）正确； （ 4）不妨令 ，满足 ， 都是第一象限角，且 ，但 4）错误； 故选 B 【点评】 本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题 16如果对一切实数 x、 y，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， B 3， + ） C 2 ， 2 D 3， 3 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 将不等式 恒成立转化为 + 成立，构造函数 f（ y） = + ，利用基本不等式可求得 f（ y） ，于是问题转化为 2 恒成立通过对 0、 0、 三类讨论， 可求得对应情况下的实数 a 的取值范围，最后取其交集即可得到答案 【解答】 解： 实数 x、 y，不等式 恒成立 + 成立， 令 f（ y） = + ， 则 f（ y） 当 y 0 时， f（ y） = + 2 =3（当且仅当 y=6 时取 “=”）， f（ y） ； 当 y 0 时， f（ y） = + 2 = 3（当且仅当 y= 6 时取 “=”），f（ y） 3， f（ y） 存在； 综上所述， f（ y） 所以， 3，即 2 恒成立 若 0， a 恒成立，令 t，则 0 t 1，再令 g（ t） =t+ （ 0 t 1），则 a g（ t） 由 于 g（ t） =1 0， 所以， g（ t） =t+ 在区间（ 0， 1上单调递减， 因此， g（ t） g（ 1） =3， 所以 a 3； 若 0，则 a 恒成立，同理可得 a 3； 若 ， 0 2 恒成立，故 a R； 综合 ， 3 a 3 故选： D 【点评】 本题考查恒成立问题，将不等式 恒成立转化为 + 成立是基础，令 f（ y） = + ，求得 f（ y） 是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于 难题 三、解答题（共 5 小题，满分 76 分） 17（ 14 分）（ 2017上海一模）如图，已知 平面 平面 成的角为 30，且 C=2； （ 1）求三棱锥 A 体积； （ 2）设 M 为 中点，求异面直线 成角的大小（结果用反三角函数值表示） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角 【分析】 （ 1）由 平面 平面 此能求出三棱锥 A体积 （ 2）以 C 为原点， x 轴， y 轴，过 C 作平面 垂 线为 z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线 成角的大小 【解答】 解：（ 1）如图，因为 平面 所以 以 平面 因为 平面 平面 成的角为 30，故 0， 由 C=2，得 ， ， =2 ， =2 ， 则 = = = （ 2）以 C 为原点， x 轴， y 轴，过 C 作平面 垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 A（ 0， 2， 2）， D（ 2 ， 0， 0）， C（ 0， 0， 0）， B（ 0， 2， 0）， M（ ）， =（ 2 ， 2， 2）， =（ ）， 设异面直线 成角为 ， 则 = = = 异面直线 成角的大小为 【点评】 本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题 18（ 14 分）（ 2017上海一模）在 ， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且 8 （ I）求角 A 的大小； （ 若 a= ， b+c=3，求 b 和 c 的值 【考点】 余弦定理；解三角形 【分析】 （ I）在 有 B+C= A，由条件可得： 41 B+C） 4=7，解方程求得 值，即可得到 A 的值 （ 余弦定理 及 a= ， b+c=3，解方程组求得 b 和 c 的值 【解答】 解：（ I）在 有 B+C= A，由条件可得： 41 B+C） 4=7，（ 1 分） 又 B+C） = 44=0 （ 4 分） 解得 ， （ 6 分） （ （ 8 分） 又 （ 10 分） 由 （ 12 分） 【点评】 本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题 19（ 14 分）（ 2017上海一模）某地要建造一个边长为 2（单位： 正方形市民休闲公园 其中的区域 挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点 D 的坐标为（ 1， 2），曲线 函数 y=象的一部分，对边 一点 M 在区域 作一次函数 y=kx+b（ k 0）的图象，与线段于点 N（点 N 不与点 D 重合），且线段 曲线 且只有 一个公共点 P，四边形 绿化风景区： （ 1）求证： b= ； （ 2）设点 P 的横坐标为 t， 用 t 表示 M、 N 两点坐标； 将四边形 面积 S 表示成关于 t 的函数 S=S（ t），并求 S 的最大值 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 （ 1）根据函数 y=点 D，求出解析式 y=2 ，消去 =0 即可证明 b= ； （ 2）写出点 P 的坐标（ t， 2代入 直线 方程，用 t 表示出直线方程为 y=42 y=0，求出 M 的坐标；令 y=2 求出 N 的坐标； 将四边形 面积 S 表示成 关于 t 的函数 S（ t），利用基本不等式求出S 的最大值 【解答】 （ 1）证明：函数 y=点 D（ 1， 2）， 代入计算得 a=2， y=2 由 ，消去 y 得 2b=0， 由线段 曲线 且只有一个公共点 P， 得 =（ k） 2 4 2 b=0， 解得 b= ； （ 2）解：设点 P 的横坐标为 t，则 P（ t， 2 直线 方程为 y=kx+b， 即 y=过点 P， =2 解得 k=4t； y=42 y=0，解得 x= ， M（ ， 0）； 令 y=2，解得 x= + ， N（ + ， 2）； 将四边形 面积 S 表示成关于 t 的函数为 S=S（ t） =2 2 2 +（ + ） =4（ t+ ）； 由 t+ 2 = ，当且仅当 t= ，即 t= 时 “=”成立， 所以 S 4 2 ；即 S 的最大值是 4 【点评】 本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目 20（ 16 分）（ 2017上海一模）已知函数 f（ x） =9x 2a3x+3： （ 1）若 a=1， x 0， 1时，求 f（ x）的值域； （ 2）当 x 1， 1时，求 f（ x）的最小值 h（ a）； （ 3）是否存在实数 m、 n，同时满足下列条件： n m 3； 当 h（ a）的定义域为 m， n时，其值域为 若存在，求出 m、 n 的值，若不存在，请说明理由 【考点】 函数的最值及其几何意义；函数的值域 【分析】 （ 1）设 t=3x，则 （ t） =2=（ t a） 2+3 （ t）的对称轴为 t=a，当 a=1 时，即可求出 f（ x）的值域； （ 2）由函数 （ t）的对称轴为 t=a，分类讨论当 a 时，当 a 3 时，当 a 3 时，求出最小值，则 h（ a）的表达式可求； （ 3）假设满足题意的 m， n 存在 ，函数 h（ a）在（ 3， + ）上是减函数，求出h（ a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论 【解答】 解：（ 1） 函数 f（ x） =9x 2a3x+3， 设 t=3x， t 1， 3， 则 （ t） =2=（ t a） 2+3 称轴为 t=a 当 a=1 时， （ t） =（ t 1） 2+2 在 1， 3递增， （ t） （ 1）， （ 3） ， 函数 f（ x）的值域是： 2， 6； （ ） 函数 （ t）的对称轴为 t=a， 当 x 1， 1时， t ， 3， 当 a 时， h（ a） =（ ） = ； 当 a 3 时， h（ a） =（ a） =3 当 a 3 时， h（ a） =（ 3） =12 6a 故 h（ a） = ； （ ）假设满足题意的 m， n 存在， n m 3， h（ a） =12 6a， 函数 h（ a）在（ 3， + ）上是减函数 又 h（ a）的定义域为 m， n