2017年上海市青浦区高考数学二模试卷含答案解析

2017 年上海市青浦区高考数学二模试卷 一、填空题（本大题共 12 小题，满分 54 分，第 1每题 4 分，第 7每题 5 分） 1已知集合 A=x|x 1， x R，集合 B=x|x 2， x R，则 A B= 2已知复数 z 满足（ 2 3i） z=3+2i（ i 为虚数单位），则 |z|= 3函数 f（ x） = 的最小正周期是 4已知双曲线 =1（ a 0）的一条渐近线方程为 y=2x，则 a= 5若圆柱的侧面展开图是边长为 4正方形，则圆柱的体积为 果精确到 6已知 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值是 7直线 （ t 为参数）与曲线 （ 为参数）的交点个数是 8已知函数 f（ x） = 的反函数是 f 1（ x），则 f 1（ ） = 9设 f（ x） =1+x+（ 1+x） 2+（ 1+x） n（ x 0， n N*）的展开式中 x 项的系数为 = 10生产零件需要经过两道工序，在第一、 p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是 p= 11已知函数 f（ x） =x|x a|，若对任意 2， 3， 2， 3， 有，则实数 a 的取值范围为 12对于给定的实数 k 0，函数 f（ x） = 的图象上总存在点 C，使得以 C 为圆心， 1为半径的圆上有两个不同的点到原点 ，则 二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 13设 a， b R，则 “a+b 4”是 “a 1 且 b 3”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 14如图， P 为正方体 交点，则 该正方体各个面上的射影可能是（ ）A B C D 15如图， 圆 O 的直径且 ， C 为圆上不同于 A、 B 的任意一点，若 C 上的动点，则（ + ） 的最小值是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 16设 ， 1， 2， ， 10 的一个排列，则满足对任意正整数 m， n，且 1 m n 10，都有 xm+m xn+n 成立的不同排列的个数为（ ） A 512 B 256 C 255 D 64 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。 17如图，在正方体 ， E、 F 分别是线段 中点 （ 1）求异面直线 成角的大小 （ 2）求直线 平面 成角的大小 18某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为 （ ），墙 长度为 6 米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记 （ 1）若 = ，求 周长（结果精确到 ）； （ 2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积 面积尽可能大，问当 为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积 19已知抛物线 p 0），其准线方程为 x+1=0，直线 l 过点 T（ t， 0）（ t 0）且与抛物线交于 A、 B 两点， O 为坐标原点 （ 1）求抛物线方程，并证明： 的值与直线 l 倾斜角的大小无关； （ 2）若 P 为抛物线上的动点，记 |最小值为函数 d（ t），求 d（ t）的解析式 20对于定义域为 D 的函数 y=f（ x）， 如果存在区间 m， n D，其中 m n，同时满足： f（ x）在 m， n内是单调函数； 当定义域是 m， n时， f（ x）的值域也是 m， n 则称函数 f（ x）是区间 m， n上的 “保值函数 ”，区间 m， n称为 “保值区间 ” （ 1）求证：函数 g（ x） =2x 不是定义域 0， 1上的 “保值函数 ” （ 2）若函数 f（ x） =2+ （ a R， a 0）是区间 m， n上的 “保值函数 ”，求 a 的取值范围 （ 3）对（ 2）中函数 f（ x），若不等式 |x） | 2x 对 x 1 恒成立，求实数 21已 知数列 ，已知 ， a2=a， =k（ an+）对任意 n N*都成立，数列 前 n 项和为 （ 1）若 等差数列，求 k 的值； （ 2）若 a=1， k= ，求 （ 3）是否存在实数 k，使数列 公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项， 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有 k 的值；若不存在，请说明理由 2017 年上海市青浦区高考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 12 小题，满分 54 分，第 1每题 4 分，第 7每题 5 分） 1已知集合 A=x|x 1， x R，集合 B=x|x 2， x R，则 A B= （ 1，2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据交集的运算性质计算即可 【解答】 解： A=x|x 1， x R， B=x|x 2， x R， 则 A B=（ 1， 2）， 故答案为：（ 1， 2） 2已知复数 z 满足（ 2 3i） z=3+2i（ i 为虚数单位），则 |z|= 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数模的计算公式计算 【解答】 解：由（ 2 3i） z=3+2i，得 ， |z|=|i|=1 故答案为： 1 3函数 f（ x） = 的最小正周期是 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 利用行列式的运算，同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期 【解答】 解：函数 f（ x） = =4 5 5 = 最小正周期是 =， 故答案为： 4已知双曲线 =1（ a 0）的一条渐近线方程为 y=2x，则 a= 3 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为 y= x，结合题意可得 =2，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】 解：根据题意，双曲线的方程为： =1（ a 0）， 则其渐近线方程为： y= x， 若其一条渐近线方程为 y=2x，则有 =2， 解可得 a=3； 故答案为： 3 5若圆柱的侧面展开图是边长为 4正方形，则圆柱的体积为 5.1 果精确到 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 由圆柱的侧面展开图是边长为 4 的正方形知该圆柱的高 为 4，底面周长为 4，由此求出底面圆的半径 r，再计算该圆柱的体积 【解答】 解： 圆柱的侧面展开图是边长为 4 的正方形， 该圆柱的高 h=4， 底面周长 2r=4， 底面半径 r= ； 该圆柱的体积为： V= 4= = 故答案为： 已知 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值是 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可 【解答】 解：由已知不等式组得到平面区域如图： 目标函数 z=2x+y 变形为 y= 2x+z， 此直线经过图中 B 时在 y 轴截距最大， 由 得到 B（ 1， 1）， 所以 z 的最大值为 2+1=3； 故答案为： 3 7直线 （ t 为参数）与曲线 （ 为参数）的交点个数是 2 【考点】 直线的参数方程；椭圆的参数方程 【分析】 直线与曲线的参数方程，化为普通方程，联立可得 1318x 27=0，即可得出结论 【解答】 解：直线 （ t 为参数）与曲线 （ 为参数），普通方程分别为 x+y 1=0， =1， 联立可得 1318x 27=0， =（ 18） 2 4 13 （ 27） 0， 交点个数是 2， 故答案为： 2 8已知函数 f（ x） = 的反函数是 f 1（ x），则 f 1（ ） = 1 【考点】 反函数 【分析】 由题意， x 0， 2x= ，求出 x，即可得出结论 【解答】 解：由题意， x 0， 2x= ， x= 1， f 1（ ） = 1 故答案为 1 9设 f（ x） =1+x+（ 1+x） 2+（ 1+x） n（ x 0， n N*）的展开式中 x 项的系数为 = 【考点】 数列的极限；二项式定理 【分析】 根据题意，分析可得， f（ x） =（ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） n 中 x 的系数分别为 1、 而可求得则 入 ，计算可得答案 【解答】 解：根据题意， f（ x） =（ 1+x） +（ 1+x） 2+（ 1+x） n 中 x 的系数分别为 1、 则 +31+2+3+n= ； 则 ， 故答案为 10生产零件需要经过两道工序，在第一、 p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是 p= 【考点】 相互独立事 件的概率乘法公式 【分析】 利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式列出方程组，能求出 p 的值 【解答】 解： 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为 p， 每道工序产生废品相互独立， 经过两道工序得到的零件不是废品的概率是 由题意得： （ 1 1 p） = 解得 p= 故答案为： 11已知函数 f（ x） =x|x a|，若对任意 2， 3， 2， 3， 有，则实数 a 的取值范围为 3， + ） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据凸函数和凹函数的定义，作出函数 f（ x）的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：满足条件有 的函数为凸函数， f（ x） = ，作出函数 f（ x）的图象， 由图象知当 x a 时，函数 f（ x）为凸函数，当 x a 时，函数 f（ x）为凹函数， 若对任意 2， 3， 2， 3， 有 ， 则 a 3 即可， 故实数 a 的取值范围是 3， + ）， 故答案为： 3， + ） 12对于给定的实数 k 0，函数 f（ x） = 的图象上总存在点 C，使得以 C 为圆心， 1为半径的圆上有两个不同的点到原点 ，则 （ 0，2） 【考点】 函数的图象 【分析】 根据题意得：以 C 为圆心， 1 为半径的圆与原点为圆心， 1 为半径的圆有两个交点，即 C 到原点距离小于 2，即 f（ x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于 2，设出 C 坐标，利用两点间的距离公式表示出 C 到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于 3 列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得到 k 的范围 【解答】 解：根据题意得： | 1+1=2， 设 C（ x， ）， | ， 2，即 0 k 2， 则 k 的范围为（ 0， 2） 故答案为：（ 0， 2） 二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 13设 a， b R，则 “a+b 4”是 “a 1 且 b 3”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 a 1 且 b 3， a+b 4；反之不成立，例如取 a= 1， b=6即可判断出结论 【解答】 解：由 a 1 且 b 3， a+b 4；反之不成立，例如取 a= 1， b=6 “a+b 4”是 “a 1 且 b 3”的必要而不充分条件 故选： B 14如图， P 为正方体 交点，则 该正方体各个面上的射影可能是（ ）A B C D 【考点】 平行投影及平行投影作图法 【分析】 由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点 P、 把它们连接起来，即， 该正方体各个面上的射影 【解答】 解：由题意知， P 为正方体 中心， 则从上向下投影时，点 P 的 影子落在对角线 ，故 下底面上的射影是线段 第一个图形； 当从前向后投影时，点 P 的影子应落在侧面 中心上， A 点的影子落在 故 面 的射影是三角形，是第四个图形； 当从左向右投影时，点 P 的影子应落在侧面 中心上， A 点的影子落在 故 面 的射影是三角形，是第四个图形 故选 C 15如图， 圆 O 的直径且 ， C 为圆上不同于 A、 B 的任意一点，若 C 上的动点，则（ + ） 的最小值是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据条件，可设 ，从而得出 ，并且 0 x 1，这样便可得出 ，配方即可求出 8（ x）的最小值，从而得出答案 【解答】 解：设 ，则 ， 0 x 1； ； = = =8（ x） = ； 时， 取最小值 2 故选： C 16设 ， 1， 2， ， 10 的一个排列，则满足对任意正整数 m， n，且 1 m n 10，都有 xm+m xn+n 成立的不同排列的个数为（ ） A 512 B 256 C 255 D 64 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 利用归纳推理求出 n 的最大值分别为 2， 3， 4 时的排列个数，然后推出本题的结果 【解答】 解：如果 n=2 时，满足题意的排列个数是 2，即 1， 2 或 2， 1；即 21 如果 n 的最大值为 3，则排列个数为 4；分别为： 1， 2， 3； 2， 1， 3； 1， 3， 2；3， 2， 1； 4 个即 22 如果 n 的最大值为 4，则满足题意的排列个数为 8；分别为： 1， 2， 3， 4； 2， 1，3， 4； 2， 1， 4， 3； 1， 3， 2， 4； 1， 2， 4， 3，； 3， 1， 2， 4； 1， 4， 3， 2； 4，3， 2， 1；共 8 个，即 23 如果 n 的最大值为 5，则满足题意的排列个数为 16；分别为： 1， 2， 3， 4， 5； 2，1， 3， 4， 5； 2， 1， 4， 3， 5； 2， 1， 3， 5， 4； 2， 1， 5， 4， 3； 1， 2， 4， 3，5； 1， 2， 3， 5， 4； 1， 2， 5， 4， 3； 1， 3， 2， 4， 5； 1， 3， 2， 5， 4； 1， 4，3， 2， 5； 1， 5， 4， 3， 2； 3， 2， 1， 4， 5； 3， 2， 1， 5， 4； 4， 3， 2， 1， 5；5， 4， 3， 2， 1；即 24 所以：设 ， 1， 2， ， 10 的一个排列，则满足对任意正整数 m，n，且 1 m n 10， 都有 xm+m xn+n 成立的不同排列的个数为： 29=512 故答案为： 512 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。 17如图，在正方体 ， E、 F 分别是线段 中点 （ 1）求异面直线 成角的大小 （ 2）求直线 平面 成角的大小 【考点】 直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角 【分析】 建立如图所示的坐标系，利用向量方法，即可求出所求角 【解答】 解：（ 1）建立如图所示的坐标 系，设正方体的棱长为 2，则 E（ 1， 2， 0），F（ 0， 1， 1）， A（ 2， 0， 0）， 2， 0， 2）， =（ 1， 1， 1）， =（ 0， 0， 2）， 异面直线 成角的余弦值为 | = ， 异面直线 成角的大小为 （ 2）平面 法向量为（ 1， 0， 0）， 直线 平面 成角的正弦值为 | |= ， 直线 平面 成角的大小为 18某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所 示，已知已有两面墙的夹角为 （ ），墙 长度为 6 米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记 （ 1）若 = ，求 周长（结果精确到 ）； （ 2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积 面积尽可能大，问当 为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 （ 1）在 ，由正弦定理可得 可求 周长； （ 2）利用余弦定理列出关系式，将 c， 值代入并利用基本不等式求出 用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时 的值 【解答】 解：（ 1 ）在 ，由正弦定理可得 =2 ，=3 + ， 周长为 6+3 +3 （ 2）在 ，由余弦定理： 02=a2+2 a2+6， 36+ab=a2+2 36， S C 9 ， 此时 a=b， 等边三角形， =60，（ S 19已知抛物线 p 0），其准线方程为 x+1=0，直线 l 过点 T（ t， 0）（ t 0）且与抛物线交于 A、 B 两点， O 为坐标原点 （ 1）求抛物线方程，并证明： 的值与直线 l 倾斜角的大小无关； （ 2）若 P 为抛物线上的动点，记 |最小值为函数 d（ t），求 d（ t）的解析式 【考点】 抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系 【分析】 （ 1）由题意可知 p=2，求得抛物线方程，当直线斜率存在时，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 的值与直线 （ 2）利用点到直线的距离公式及二次函 数的性质即可求得 |最小值，求得d（ t）的解析式 【解答】 解：（ 1）由题意可知：准线方程 x= 1，则 = 1，则 p=2， 抛物线的标准方程为： x， 证明：若直线 l 的斜率不存在，则其方程为 x=t，代入 x 得， A（ t， 2 ）， B（ t， 2 ）， 则 =4t， 则若直线 l 的斜率存在，设其斜率为 （ k 0），则 l 的方程为 x=my+t， 联立 ，整理得： 44t=0 设 A（ B（ 则 y1+k， 4t， t）（ t） =y1+t2= =4t， 综上， 的值 4t 与直线 l 倾斜角的大小无关； （ 2）设 P（ x， 2 ），则丨 2=（ x t） 2+（ 2 0） 2=2（ t 2） x+ x 0）， 由二次函数的性质可知：当对称轴 x=t 2 0，即 0 t 2 时，当 x=0 时，丨 小值为 t， 当 t 2 0 时，即 x=t 2 时，取最小值，丨 取最小值，最小值为 2 ， d（ t）的解析式， d（ t） = 20对于定义域为 D 的 函数 y=f（ x），如果存在区间 m， n D，其中 m n，同时满足： f（ x）在 m， n内是单调函数； 当定义域是 m， n时， f（ x）的值域也是 m， n 则称函数 f（ x）是区间 m， n上的 “保值函数 ”，区间 m， n称为 “保值区间 ” （ 1）求证：函数 g（ x） =2x 不是定义域 0， 1上的 “保值函数 ” （ 2）若函数 f（ x） =2+ （ a R， a 0）是区间 m， n上的 “保值函数 ”，求 a 的取值范围 （ 3）对（ 2）中函数 f（ x），若不等式 |x） | 2x 对 x 1 恒成立，求实数 范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）根据函数单调性的定义以及 “保值函数 ”的定义判断即可； （ 2）由 f（ x）的定义域和值域都是 m， n，问题等价于方程 2a2+a） x+1=0有两个不等的实数根，根据根的判别式判断即可； （ 3）由不等式 |x） | 2x 对 x 1 恒成立，令 h（ x） =2x+ ，易证 h（ x）在1， + ）递增，同理 g（ x） = 2x1， + ）递减，求出函数 h（ x） 函数 g（ x） 立不等关系，解之即可求出 a 的范围 【解答】 解：（ 1） g（ x） =2x=（ x 1） 2 1， x 0， 1时， g（ x） 1， 0， 根据函数 g（ x）不是定义域 0， 1上的 “保值函数 ” （ 2）由 f（ x）的定义域和值域都是 m， n得 f（ m） =m， f（ n） =n， 因此 m， n 是方程 2+ =x 的两个不相等的实数根， 等价于方程 2a2+a） x+1=0 有两个不等的实数根， 即 =（ 2a2+a） 2 40 解得 a 或 a ； （ 3） x） =2a2+a ，则不等式 |x） | 2x 对 x 1 恒成立， 即 2x 2a2+a 2x 即不等式对 x 1 恒成立， 令 h（ x） =2x+ ，易证 h（ x）在 1， + ）递增， 同理 g（ x） = 2x1， + ）递减， h（ x） h（ 1） =3， g（ x） g（ 1） = 1， ， a 1 且 a 0 21已知数列 ，已知 ， a2=a， =k（ an+）对任意 n N*都成立，数列 前 n 项和为 （ 1）若 等差数列，求 k 的值； （ 2）若 a=1， k= ，求 （ 3）是否存在实数 k，使