2017届高三数学理科二模金卷分项汇编8：立体几何(含答案)

1 【备战 2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】 专题 立体几何 一、选择题 1 【 2017安徽马鞍山二模】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A. 25 B. 26 C. 32 D. 36 3m 【答案】 C 【解析】 由三视图可知，该几何体是以俯视图为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥，如图，由勾股定理可得 2, 由正弦定理可得底面外接圆直径 22 4 ,s 0r 设球半径为 R ，则由勾股定理得2 2 24 4 3 2R A B r ，该几何体的外接球的表面积 为 32, 故选 C. 2 【 2017安徽马鞍山二模】 将正方形 20 的二面角，则折后的直线 平 2 面 ） A. 12B. 33C. 22D. 33案】 A 【解析】 3 【 2017重庆二诊】 已知棱长为 3 的正方体1 1 1 1A B C D A B C D内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1该圆柱侧面积的最大值为（ ） A. 928 B. 924 C. 23 D. 32 【答案】 D 【解析】 3 如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过 A 点的三个面相切， 且切点分别在线段11,C 线段1 ， 112A ，圆柱上底面的圆心为1O，半径即为121 1 3 263 3 2 2O F D F ， 211 13A O A C，由12/O E O A O A O O E ，则圆柱的高为 13 2 3 2 2A O r ， 2323 2 9 242 3 2 2 4 2 4 24 2 8r r r r 侧 。 4 【 2017湖南娄底二模】 在体积为 V 的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是 2 的等腰直角三角形，则 V 的最小值是（ ） A. 43 B. 32C. 3 D. 12 【答案】 B 4 点睛： 2三视图中 “ 正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽 ” ，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据 5 【 2017河北唐山二模】 正方体1 1 1 1A B C D A B C D棱长为 6， O 点在棱 ，且 2C ，过 O 点的直线与直线1 11 ， N 两点，则 （ ） A. 3 13 B. 95 C. 14 D. 21 【答案】 D 【解析】 根据题意作图，由图可知： 111 1 113C F N N D， 1 3， 13， 221 1 1 1 1 2 1 3A F A B B F ， 22 7E N E F F N 故113E F E M N， 21，故选 D. 点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，空间想象能力以及线面平行的判定及性质定理，准确画出图形是解决本题的关键，难度一般；由三角形相似可得1 3由勾股定理可得1,F，再次利用三角形相似113E F E M N，从而可得结果 . 6 【 2017河北唐山二模】 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ） 5 A. 24 B. 24 3 C. 24 D. 24 2 【答案】 A 【解析】 由三视图可知：该几何体是以 2为边长正方体从右下前方挖去 18个球，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为 22112 2 6 3 2 4 2 2 448 ，故选 A. 7 【 2017安徽淮北二模】 某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为 1的正方形，则该几何体中最长的棱长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 3 【答案】 A 【解析】 几何体为一个三棱锥 中 1 , 3 , 2 , 2 , 2 , 5A B B C C D D A A C B D ， ，因此最长的棱长是 5 ，选 A. 6 点睛： 2三视图中 “ 正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽 ” ，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据 8【 2017江西 4月质检】 如图，直三棱柱1 1 1 B C中， 1 2 1C， 90 ，外接球的球心为 O ，点 E 是侧棱1有下列判断： 直线 直线11 三棱锥1E 体积为定值；1C的最小值为 22. 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 C 9 【 2017江西 4月质检】 一个三棱锥的三视图如图（图中小正方形的边长为 1），若这个三角棱锥的顶点都在同一个球的球面上，则这个球的表面积是（ ） 7 A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】 B 【解析】 由三视图可知，三棱锥的底面是一斜边为的等腰直角三角形，且过直角顶点的侧棱垂直底面，该侧棱长为，可以把该棱锥补成一个底面边长为 22，侧棱长为的正四棱柱，外接球的直径为8 8 1 6 4 2 ，所以表面积为 32 ，故选 10 【 2017福建 4月质检】 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ） A. 72B. 4 C. 92D. 5 【答案】 D 【解析】 根据三视图可得该几何体由一个圆柱和一个半球组成，故该几何体表面积为： 1+ 2 + + 4 = 54 点睛：将三视图还原为立体图形便可很容易解决，要注意面积公式的准确性 11 【 2017四川宜宾二诊】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 8 A. 10 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】 B 【解析】 由题意得，在俯视图中（如图所示），过点 C 作 D ，则 2, 且 1 , 3 , 3A B A E E D , 所以俯视图的面积为 1 1 1 51 2 3 2 32 2 2S ， 所以构成四棱锥的体积为 1 1 1 5 6 1 53 3 2V S h ，故选 B. 12【 2017四川宜宾二诊】 三棱锥 A 内接于半径为 的 球 O ， 球心 O ，当三棱锥 A 积取得最大值时，三棱锥 A 的表面积为 A. 6 4 3 B. 8 2 3 C. 4 6 3 D. 8 4 3 【答案】 D 9 二、填空题 13 【 2017安徽淮北二模】 中国古代数学经典 九 章 算 术 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（ 若三棱锥P 为鳖臑 ,且 平面 2,B又该鳖臑的外接球的表面积为 24 ，则该鳖臑的体积为 _ 【答案】 83【解析】 由题意得 222 4 4 6 ,所以由 22 2 2 2P A A B B C R 得 10 24 4 2 4 , 4B C B C ，,因此鳖臑的体积为 1 1 82 2 4 3 ，14 【 2017福建 4月质检】 在三棱锥 S 中， 是边长为 3的等边三角形， 3 , 2 3S A S B，二面角 S 的大小为 120 ，则此三棱锥的外接球的表面积为_ 【答案】 21 点睛：画出草图分析几何关系即可得出结论 15 【 2017福建 4月质检】 用一根长为 12 的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是 _ 【答案】 6 【解析】 设正三棱柱的底边长为，高为 y,则 6 3 12，由基本不等式可得6 3 1 2 2 6 3 2 3 6x y x y x y x y 故三棱柱的侧面积最大值为 6 点睛：对于小题的最值问题首先要想到基本不等式，然后写出表达式求解即可 三、解答题 16 【 2017安徽阜阳二模】 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P 中， E 为 中点， , 9 0 ,A D B C A B C P A 平面 , 2 , 2 , 2 3 , 4A B C D P A A D A B B C . 11 （ 1）求证： 面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 . 【答案】 （ ）见解析 ;（ ） 4214. 【解析】 试题分析：（ ）先取 点 F ，利用三角形中位线性质得 /B ，再根据梯形性质得 /B ，即得面面平行，最后根据面面平行定义可得线面平行，（ ）求线面角，一般利用空间向量数量积进行求解，先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与平面法向量的夹角，最后根据线面角与向量夹角关系确定所求角 . 试题解析：（ ）取 点 F ，连接 ,F 四 边 形 是直角梯形， /B 又 /B ， /D E F P A B 平 面 平 面 D E D E F 平 面 /D E P A B 平 面 （ ）建立如图空间直角坐标系，则 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 2 3 , 4 , 0 , 3 , 2 , 1A P D C E 设 ,n x y z 是平面 一个法向量 . 则 0 1 , 3 , 30n P D C 12 42s i n c o s ,14n A F 17【 2017广东佛山二模】 如图，矩形 ， 4， 2， E 在 上，且 1，将 到 的位置，使得平面 平面 （ ）求证： D ； （ ）求二面角 D 的余弦值 . 【答案】 （ ）见解析 ;（ ） 4 2121. 【解析】 试题分析：（ I）连接 点 O ，根据对应边成比例可证得两个直角三角形 ,此证得 D ，而 E ，故 平面 ，所以 D .（ （ I）知 平面 以 O 为原点联立空间直角坐标系，利用平面 和平面 方向量，计算两个半平面所成角的余弦值 . （ ）因为平面 平面 由（ ）知， 平面 以 O 为原点，建立空间直角坐标系 O 如图所示 . 13 在 中，易得 25， 45 15 所以 4 , 0, 05A， 80, , 05B， 20, 0,5D， 则 48, , 055， 820 , ,55 ， 设平面 的法向量 1 ,n x y z，则 1100n D ，即48 05582 055 ，解得 24， 令 1y ，得 1 2,1, 4n ， 显然平面 一个法向量为 2 0, 0,1n . 所以121212c o s , 4 4 2 1212 1 1 ，所以二面角 D 的余弦值为 4 2121 . 18 【 2017安徽马鞍山二模】 已知圆柱1，高为 ， 点 出发沿着圆柱的侧面到达点 D，其距离最短时在侧面留下的曲线 如图所示将轴截面时针旋转 (0 ) 后，边11 相交于点 P () 求曲线 长度； () 当2时，求点1距离； () 证明：不存在 (0 ) ，使得二面角 D 的大小为4 【答案】 () 2 () 不存在 14 【解析】 试题分析： () 在侧面展开图中根据几何性质求解； () 建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 用空间向量点到直线距离公式求解； () 假设存在满足要求的 (0 ) ，在空间坐标系中求出法向量，根据空间向量夹角余弦公式，列出关于(0 ) 的方程，看是否有解即可 . 试题解析： () 在侧面展开图中为 长，其中 ， 的长为 2 ; 注：本题也可以使用等积法求解 () 假设存在满足要求的 (0 ) ， 15 在（ 坐标系中， ,P ， s i n , c o s 1 , ， 设平面 1 1 1,m x y z，则 11 1 120 10yx s i n y c o s z ， 取 1得 s 0m ， 又平面 1, 0, 0k ， 由二面角 D 的大小为4， 则2212c o s ,2s i s i n ( 0 )2 ， 0 时，均有 ，与上式矛盾 所以不存在 (0 ) 使得二面角 D 的大小为4 19【 2017重庆二诊】 如图，矩形 ， 22， 2， M 为 中点，将 到 的位置， M （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 E 为 的中点，求二面角 E 的余弦值 16 【答案】 （ ）由见解析； （ ） 55. 【解析】 【试题分析】（）先用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再运用面面垂直的判定定理推证；（）依据题设建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，再运用空间向量的数量积公式求解： （ ）由题知，在矩形 ， 45A M D B M C ， 90 ，又 M ， 面 ， 面 面 ； （ ）由（ ）知，在平面 内过 M 作直线 A ，则 平面 故以 M 为原点， ,B 别为 ,的正方向建立空间直角坐标系， 则 0,0,0M ， 2,0,0A ， 0,2,0B ， 1,0,1D ， 于是 11,1,22E， 2, 0, 0， 11,1,22 ， 设平面 法向量为 ,m x y z ，则 20 11022xx y z 令 1y ，得平面 一个法向量 0,1, 2m ，显然平面 的一个法向量为 0,1,0n ， 故 1c o s ,5，即二面角 E 的余弦值为 55. 20 【 2017湖南娄底二模】 如图，四棱锥 P 的底面 平行四边形，侧面 边长为 2的正三角形， D 7 , 3. 17 （ ）求证：平面 平面 （ ）设 Q 是棱 的点，当 面 ，求二面角 A 的余弦值 . 【答案】 （ ）见解析 ; （ ） 23. 【解析】 试题分析：（ ）要证平面 平面 只需证 平面 可 . （ ）分别以 在直线为轴、 y 轴、轴建立空间直角坐标系如图，求平面 一个法向量和平面 一个法向量求解即可 . （ ）连结 设 D E ，则 E 为 中点，连结 当 面 ， Q ，所以 Q 是 中点 . 由（ ）知， 两垂直，分别以 在直线为轴、 y 轴、轴建立空间直角坐标系如图，则 0, 6, 0B 、 2, 6 , 0C 、 1,0,0D 、 0, 0, 3P ， 由 P 、 C 坐标得 631, ,22Q，从而 1, 6 , 0 ， 630 , ,22 ， 18 设 ,n x y z 是平面 一个法向量，则由 00n Q得 6063 022， 取 1y ，得 6 , 1, 2n ，易知平面 一个法向量是 1 0, 0,1n ， 所以111c o s , 23， 由图可知，二面角 A 的平面角为钝角，故所求余弦值为 23. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于 “ 四破 ” ：第一，破 “ 建系关 ” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破 “ 求坐标关 ” ，准确求解相关点的坐标；第三，破 “ 求法向量关 ” ，求出平面的法向量；第四，破 “ 应用公式关 ”. 21 【 2017河北唐山二模】 在四棱锥 P 中，底面 平行四边形， 3， 22， 45 ， P 点在底面 的射影 E 在线段 ，且 2， 2A ， F 为 中点， M 在线段 ，且 D （ ）当 23时，证明：平面 平面 （ ）当平面 平面 成的二面角的正弦值为 255时，求四棱锥 P 的体积 19 【答案】 （ ）见解析 ;（ ） 83. 试题解析：（ ）证明：连接 作 /C 交 点 N ，则四边形 平行四边形， 1E，在 中， 2， 22， 45 ，由余弦定理得 2 所以 2 2 2B E E C B C，从而有 C . 在 中， F ， M 分别是 中点， 则 /N ， /C ， 因为 C ，所以 B . 由 平面 平面 得 M ，又 B ， B E， 得 平面 又 平面 所以平面 平面 （ ）以 E 为坐标原点， 在直线分别为轴， y 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 1,0,0A ， 0,0,2P ， 0,2,0C ， 3, 2,0D ， 1, 0, 2， 1 3 , 2 , 0A M A C C D . 平面 一个法向量为 0, 0,1m . 设平面 法向量为 ,n x y z ， 由 0AP n ， 0AM n ，得 2 0 , 1 3 2 0 , 令 2x ，得 2 , 3 1, 1n . 20 由题意可得， c o s , 21555 3 1， 解得 13， 所以四棱锥 P 的体积 1833P A B C M A B C P E 梯 形. 22 【 2017安徽淮北二模】 如图，三棱柱1 1 1 B C中，四边形11二面角11C A B B为6， 1. （ ）求证：平面1平面1（ ）求二面角1A A C B的余弦值 . 【答案】 （ 1）见解析（ 2） 1co 【解析】 试题分析：（ 1）先由三棱柱性质将线面垂直1 1 1 1C B A A B B 面转化为11C B A A B B 面，再由11C B A A B B 面得线线垂直1B，又由11 B,最后根据线面垂直判定定理得线面垂直11 面, 根据面面垂直判定定理得平面1平面1 2）求二面角的大小，一般借助空间向量数量积求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系求二 21 面角 . （ 2） 由题意得11正三角形， 取11，连 D, 则11 B,又11B易得11 B,则 为二面角11C A B B的平面角， 因 1, =6,所以 3, 所以1 1 1 1 2A B B B A B过11, 作1C,垂足为 E ,连 则 为二面角1A A C B的平面角， 又 5 ,35O E A O得 455以 1co 另：建系用向量法相应给分。 23 【 2017江西 4月质检】 如图，四棱锥 P 中，侧面 底面 /C ， C ， 3C, 2， 26P D P A，点 F 在棱 ，且 2P ， 22 点 E 在棱 ，且 /面 （ 1）求证： 平面 （ 2）求二面角 P 的余弦值 . 【答案】 （ 1）详见解析（ 2） 63【解析】 试题分析：连接 点 G ，根据三角形相识，可得 1， 2，由勾股定理可得 是直角三角形，进而得 D ，再由面面垂直判定定理可得结论；（ 2）以 在直线分别为轴， y 轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面 法向量与平面 法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果 . （ 2）因为 C ， /C ，所以 /D ，有 B ，如图，以 在直线分别为轴， y 轴，轴建立空间直角坐标系， 23 则 1,0,0A ， 0,3,0B ， 2,3,0C ， 22 2P E P A A E ，所以 0, 0, 2P ， 所以 1 2 20 , 0 , 2 , 1 ,3 3 3E F E P P C 2 2 2,1,33， 设平面 法向量为 ,n x y z ， 则 2 2 2 033n E F x y z ， 0n E B y ，令 1z ，则 2x ，所以 2 , 0,1n ， 又因为平面 法向量 1, 0, 0， 所以 26c o s ,31 2 1n E A ， 即所求二面角的余弦值是 63. 24【 2017福建 4月质检】 如图，三棱柱1 1 1 B C中， 01 1 1 1 16 0 , 4B A A C A A A A A C ， 2， ,C 的中点 . （ 1）在平面 过点 A 作 /面1C 于点 M ，并写出作图步骤，但不要求证明 . （ 2）若侧面11 侧面11直线11 24 【答案】 （ 1）见解析（ 2） 3913【解析】 （ 1）如图，在平面11点 A 作1/ ，连结 在1，作1/Q 于点 H ，连结 延长交 点 M ，则 所求作直线 . （ 2）连结11,C， 01 1 1 1 14 , 6 0A A A C A C C A A ， 11正三角形 . P 为111A， 又 侧面11 侧面11面11 面1 1 1 1面111面11 在平面11 作1A交1 ， 分别以11,A y 轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 P ， 25 则 10 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 2 , 0 , 0 , 4 , 2 3P A A C， 1 0, 0, 2 3C. Q 为 中点， 点 Q 的坐标为 0, 3, 3 ， 1