2017年高考押题卷理科数学（一）含答案解析

理 科 数 学（一） 本试题卷共 6 页， 23 题 (含选考题 )。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 第 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知复数 z 是一元二次方程 2 2 2 0 的一个根，则 z 的值为（ ） A 1 B 2 C 0 D 2 2已知集合 | 1 4 ，集合 | 2 ,B y y x x A ，集合 2| l x ，则集合（ ） A | 1 1 B | 1 1 C | 1 2 D | 1 2 3已知等差数列 6S ，9 1 1 1 3 60a a a ，则13 ） A 66 B 42 C 169 D 156 4世界最大单口径射电望远镜 2016 年 9 月 25 日在贵州省黔南州落成启用，它 被誉为 “中国天眼 ”，从选址到启用历经 22 年， 址从开始一万多个地方逐一审查为了加快选址工作进度，将初选地方分配给工作人员若分配给某个研究员 8 个地方，其中有三个地方是贵州省的，问：某月该研究员从这 8个地方中任选 2 个地方进行实地研究，则这个月他能到贵州省的概率为（ ） A 328B 1528C 37D 9145某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ） A 43B 75 C 55 D 7 2 5 （ 第 5 题 图 ） （第 6 题 图 ） 6 如图 ，在三棱锥 A 中 ， 面 45 ， 30 ， 120 ， 40，则 （ ） A 10 B 20 C 30 D 40 7 已 知 函 数 y f x ， 满 足 y f x和 2y f x是 偶 函 数 ， 且 13f ，设 F x f x ，则 (3)F （ ） A 3B 23C D 438已知抛物线 2 20y p x p，过点 4,0C 作抛物线的两条切线 A 、 B 为切点，若直线 过抛物线 2 2y 的焦点， 的面积为 24 ，则以直线 准线的抛物线标准方程是（ ） A 2 4 B 2 4 C 2 8 D 2 8 9根据 右边 流程图输出的值是（ ） A 11 B 31 C 51 D 79 10在长方体1 1 1 1A B C D A B C D中，1 1 1 1 1,2A A A D a A B a ，点 P 在线段1异面直线 1三棱锥11C 的体积为（ ） A 3433323a （第 9 题 图 ） 11 已知函数 s i n ( )f x x 0 , , 02 的周期为 ，将函数 y 轴向上平移一个单位得到函数 1，对 任意 的 ,3 1 2x 恒成立，当 取得最小值时，4g的值是（ ） A 12B 1 C 32D 2 12 已知函数 2 ln xf x ，有下列四个命题 ； 函数 函数 , 0 0 , 是单调函数； 当 0x 时，函数 0恒 成立 ； 当 0x 时，函数 其中正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务 现从 6 辆黄色共享单车和 4 辆蓝色共享单车中任取 4 辆进行 检查 ，则至 少有两个蓝色共享单车的取法种数是 _ 14如图所示，在南海上 有 两座灯塔 ，这两座 灯塔之间的距离为 60 千米，有个货船从岛 P 处出发前往距离 120 千米岛 Q 处， 行驶 致一 半 路程时 刚好 到达 M 处 ，恰巧 M 处在灯塔 A 的 正南方， 也 正好在 灯塔 B 的正 西方，向量 则 P _ （ 第 14 题 图 ） 15若 x ， y 满足约束条件 1 3030 ，设 224x y x的最大值点为 A ，则经过点 A 和 ( 2, 3)B 的直线方程为 _ 16 已知数列 *, *kN ， 2k ，且 为 常数 ） ， 若 首项为 0，则 _ 三、解答题：解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 在 中，设向量 s i n s i n s i B C ， s i n s i n s i B C ，3 s i n s i nm n A B （ 1）求 C 的值； （ 2） 求 的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 某研究所设计了一款智能机器人，为了检验设计方案中机器人动 作完成情况现委托某工厂生产 500 个机器人模型，并对生产的机器人进行编号： 001， 002， ， 500，采用系统抽样的方法抽取一给容量为 50 个机器人样本试验小组对 50 个机器人样本的动作个数进行分组，频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题： 分组 机器人数 频率 50， 60) 60， 70) 10 70， 80) 10 80， 90) 90， 100 6 （ 1） 补全频率分布表 ， 画出频率分布直方图； （ 2）若随机抽的号码为 003，这 500 个 机器人分别放在 A， B， C 三个房间，从 001 到 200 在 A 房间，从201 到 355 在 B 房间，从 356 到 500 在 C 房间，求 B 房间被抽中的人数是多少？ （ 3）从动作个数不低于 80 的机器人中随机选取 2 个机器人，该 2 个机器人中动作个数不低于 90 的机器人数记为 ，求 的分布列与数学期望 19 （本小题满分 12 分） 已知正方体1 1 1 1A B C D A B C D的棱长为 1， S 是11M 是 的点，且 （ 1）求证： 面 2）求平面 平面 角的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 221（ a b 0）的离心率为 12，其中一个顶点是双曲线2219 16的焦点， （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）过点 (0,3)P 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A， B，过点 A， B 分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 x x （ a 是常数）， （ 1）求函数 y f x 的单调区间； （ 2）当 0,16x 时，函数 a 的取值范围 请考生在 22、 23题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第 一题计分。 22 （本小题满分 10 分） 已知在直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 12222 ， 曲线 221 s i n 8， （ 1） 写出 2的普通方程； （ 2） 若 2交于两点 A， B，求 值 23 （本小题满分 10 分） 已知函数 2 13f x x， （ 1） 若不等式 f x x a - 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 2） 若对于实数 x， y，有 113， 1233y ，求证 : 23 理科数学（一）答案 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 【答案】 B 【解析 】 因为 2 2 2 0 ，所以 1 ，所以 221 1 2z 故 选 B 2 【答案】 A 【解析】 根据题意可得 | 2 , | 2 1B y y x x A y y ， 2| l x | 2 1 0 | 1 2x x x x x ，则 | 1 1 故 选 A 3 【答案 】 D 【解析】 因为3 6S，所以2 2a ，因为9 1 1 1 3 60a a a ，所以11 20a ，所以公差1 1 2 21 1 2 ，所以 1 2 1 12 0 2 2 2a a d ， 所以1 1 313 1 3 ( )22 1213( )156 故 选 D 4 【答案】 D 【解析】 1 1 25 3 32288C C C 9C C 1 4P 故 选 D 5 【答案】 B 【解析】 此三视图的几何体如图： 2D， 5A B A C， 22， 3， 2A B C B C ，5 ， 2 2 2 10c o 0A B B D A B B D ， 3 1 0s i ， 1 3 1 05 2 2 32 1 0 ， 75S 故 选 B 6 【答案】 D 【解析】 根据题意可得，设 ，则 3BD a ， ，在 中， 120 ，40， 由 余 弦 定 理 得 2 2 2 2 c o B C C D B C C D B C D ， 即： 2 223 4 0 2 4 0 c o s 1 2 0a a a ， 整理得： 2 2 0 8 0 0 0 ，解得 40a 或20a （舍），所以 40 故 选 D 7 【答案】 B 【解析】 因为 y f x为偶函数，所以 f x f x ，所以 f x f x ，所以 y f x 为偶函数，又 2y f x是偶函数，所以 22f x f x ，当 1x 时， 13， 2 3 3 3 2 3 2 1 3F f f f f 故 选 B 8 【答案】 D 【解析】 由抛物线的对称性知， AB x 轴，且 焦点弦，故 2AB p ，所以 1 242224，解得 12p （舍去）或 4 ，所以焦点坐标为 2,0 ，直线 方程为 2x ，所以 以直线 准线的抛物线标准方程是 2 8 故 选 D 9 【答案】 D 【解析】 当 2n 时，2122， 22121 32 ， 当 3n 时，3224， 33231 112 ， 当 4n 时，4328， 44341 312 ， 当 5n 时，542 16， 55451 792 ， 输出 故 选 D 10 【答案】 B 【解析】 因为 所以 角可化为 角，显然当 P 与 A 重合时， 异面直线 以1 1 1 131 1 1 1 1113 2 3C P A D C A D A B A A A D 故选 B 11 【答案】 C 【解析】 因为 T ，则 2 ，所以 s i n ( 2 )f x x ，所以 s i n ( 2 ) 1g x x ，所以函数 s i n ( 2 ) 1 1g x x ，所以 2 ) 0x ，所以 2 22k x k ，kZ ；又 ,3 1 2x ，所以 2 2,36x ， 2 2,36x ，所以2 3 06 ，所以 36 ，又 ,02 ，所以 ,03 ，所以 取得 最小值 3时 ， 3s i n ( 2 ) 14 4 3 2g ，所以 4g的值是 32 故 选 C 12 【答案】 B 【解析】 函数 , 0 0 , ， 2 ln xf x ， 不满足函数奇偶性定义，所以函数 所以 错误； 取 1x ， 1x ， 1f 11f，所以函数 , 0 0 , 不是单调函数，所以 错误； 当0x 时， 2 ln xf x ， 要使 0， 即 2 ，即 3 ， 令 3 x x x， 213g x x x， 0， 得 3 13x ， 所以 10, 3上 递减，在3 1,3上 递增，所以 3 1 03g x g ， 所以 正确； 当 0x 时，函数 2 ln x 的 零点 即为 2 xx x的 解，也就是 3 ， 3 等价于函数 3f x x 与函数 x x图像有交点， 在同一 坐标系画出这两个函数图像，可知他们只有一个交点 ， 所以 是正确的 故 选 B 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题 为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13 【答案】 115 【解析】 分三类，两辆蓝色共享单车，有 2246C C 90种，三辆蓝色共享单车，有 3146C C 24种，四辆蓝色共享单车，有 44，根据分类计数原理可得，至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是 90+24+1 115 14 【答案】 3600 【解析】 由 题意可知， Q ， 所以 P A M M Q B M M P A M B M A M M P B M M Q M P M Q 0 A M M P B M M P M P M P 2M P A M B M M P 2M P A B M P 3600 15 【答案】 3 5 9 0 【解析】 在直角坐标系中，满足不等式组 1 3030 可行域为： 22 2 24 2 4z x y x x y 表示点 2,0P 到可行域的点的距离的平方减 4如图所示，点 3,0 到点 2,0 的距离最大，即 3,0A ，则经过 A ， B 两点直线方程为3 5 9 0 16 【答案】 11 【解析】 若 2k ，则 1 2 3 4, , ,a a a a d a a d q a a d q d ， 由 21 3 2a a a，得 a d ， 由 22 4 3a a a，得 2a d q a d q d ， 联立两式，得 01或 21，则 11 ，经检验均合题意 若 3k ，则1 2 3, , 2a a a a d a a d ，由 21 3 2a a a，得 2 2a d a a d ，得 0d ，则经检验适合题意 综上 ，满足条件的 11 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 【答案】 （ 1） C 3， （ 2） 3 ,32 【解析】 （ 1） 由 3 s i n s i nm n A B ， 2 2s i n s i n s i n 3 s i n s i C A B ， 1 分 由正弦定理，等式可为 2 2 3a b c a b ， 2 2 2a b c a b ， 3 分 由余弦定理可得 2 2 2c o b cC 122， C 3 6 分 （ 2）由（ 1）可知， 23，所以 23， 7 分 2 s i n s i 33c o s s i 133 c o s s i 3 s i n 6 A， 10 分 203A， 5 6 6 6A ， 3 3 s i n 326 A， 的取值 范围 为 3 ,32 12 分 18 （本小题满分 12 分） 【答案】 （ 1）见 解析，（ 2） 16， （ 3） 613 【解析】 （ 1）频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题： 分组 机器人数 频率 50， 60) 4 60， 70) 10 70， 80) 10 80， 90) 20 90， 100 6 4 分 （ 2） 系统抽样的分段间隔为 50050 10，在随机抽样中，首次抽到 003 号，以后每隔 10 个抽到一个，则被抽中的机器人数构成以 3 为首项， 10 为公差的等差数列，故可分别求出在001 到 200 中有 20 个，在 201 至 355 号中共有 16 个 6 分 （ 3）该 2 个机器人中动作个数不低于 90 的机器人数记为 ， 的取值为 0， 1， 2， 7 分 所以 220226C 38( 0 )C 6 5P ， 112 0 62264( 1 )C 6 5P ， 26226C 3( 2 )C 6 5P ， 所以 的分布列 0 1 2 P 38652465365 11 分 数学期望 3 8 2 4 3 60126 5 6 5 6 5 1 3E 12 分 19 （本小题满分 12 分） 【答案】 （ 1） 见 解析，（ 2） 35 【 解析 】 （ 1） 证明：由题意可知， 于 O，由题意知 平面 O 为坐标原点， ,C 在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立坐标系 图， 则高 1，于是 S(0， 0， 1)， D( 22， 0， 0)， A（ 0， 22， 0） ， C（ 0， 22， 0），所以 2 , 0 , 12 ， 0 , 2 , 0 ，所以 0C，即 因为 以 面 5 分 （ 2）根据题意可知， 2 , 0 , 02B ， 2 , 0 , 12 ， 20 , , 12 ， 20 , , 12，则 2 , 0 , 12， 设平面 法向量为1 1 1 1( , , )n x y z， 则 1100n A ，所以11112 022 02 ，所以解得1 1 122x y z ， 令1 1 122 1x y z ，解得 112 , 2 ， 所以法向量1 ( 2 , 2 ,1)n ， 7 分 设 平面 法向量为2 2 2 2( , , )n x y z， 则 2200n C ，所以22222 022 02 ，所以解得2 2 222x y z ， 令2 2 222 1x y z ，解得 222 , 2 ， 所以法向量2 ( 2 , 2 ,1)n ， 9 分 所以123，125，所以两个法向量的夹角余弦值为 1212123c o s ,5 11 分 所以 平面 平面 角的余弦值 为 35 12 分 20 （本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1） 224 125 75， （ 2） 254y 【 解析】 （ 1）由题意可知双曲线 2219 16的焦点 (5,0) ， ( 5,0) ， 所以椭圆的 C： 221中 a 5， 1 分 根据 12解得 c 52，所以 2 754b ， 3 分 所以椭圆的标准方程为 224 125 75 4 分 （ 2）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 3y ，另设 11,A x y， 22,B x 11,A x 线的方程为 1 1 1y y k x x ，与 椭圆 C： 224 125 75联立 ： 1 1 122412 5 7 5y y k x ， 消去 y 可得 ： 2221 1 1 1 1 1 1 14 3 8 4 7 5 0k x k k x y x k x y ， 由 0 ， 得 2 221 1 1 1 1 1 1 18 4 4 3 4 7 5 0k k x y k k x y ， 化简 可得： 2 2 21 1 1 1 1 14 1 0 0 8 4 7 5 0x k x y k y 由 22114 12 5 7 5，可得 2211164 1 0 0 3 ， 22114 7 5 3 ， 所以 上式可化为： 2 2 21 1 1 1 1 116 8 3 03 y k x y k x ， 21 1 14 3 0y k x，11134xk y ， 所以 椭圆在点 A 处的切线方程为： 114 12 5 7 5xx ， 7 分 同理 可得椭圆在点 B 的切线方程为： 224 12 5 7 5x x y y ， 8 分 联立方程 ，消去 x 得：112 241754175x，解得 212 1 1 2754 x y x y ， 9 分 而 A， B 都在直线 l 上，所以有 221133y ，所以2 1 1 2 2 133x y x y x x ， 所以 2 1 2 12 1 1 2 2 17 5 7 5 254 1 2 4x x x xy x y x y x x ， 即 此 时 的 交 点 的 轨 迹 方 程 为254y ； 11 分 当直线 l 的斜率不存在时，直线的方程为 x 0， 则 5 3 5 30 , , 0 ,22 ，则椭圆在点A 处的切线方程为： 532y ，椭圆在点 B 的切线方程为： 532y ，此 时无交点 综上所述，交点的轨迹方程为 254y 12 分 21 （本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1） 见 解析 ； （ 2） 0a 或 12,8 【解析】 （ 1）根据题意可得，当 a 0 时， 2 1f x x，函数在 0, 上是单调递增的，在 ,0 上是单调递减的 1 分 当 a 0 时， 222 e e e 2a x a x a xf x x x a a x x （ ） （ ）， 因 为 0， 令 2 20g x a x x ， 解得 x 0 或 2 3 分 当 a 0 时，函数 2 2g x a x x 在 ,0 ， 2 ,a上有 0，即 0 ，函数 y f x 单调递 减 ；函数 2 2g x a x x 在 20,a上有 0，即 0 ，函数 y f x 单调递 增 ； 4 分 当 a 0 时，函数 2 2g x a x x 在 2,a， 0, 上有 0，即 0 ，函数 y f x 单调递 增 ； 函数 2 2g x a x x 在 2,0a上有 0，即 0 ，函数 y f x 单调递 减 ； 5 分 综上所述，当 a 0 时，函数 y f x 的单调递增区间 0, ，递减区间为 ,0 ； 当 a 0 时，函数 y f x 的单调递 减 区间为 ,0 ， 2 ,a，递 增 区间为 20,a； 当 a 0 时，函数 y f x 的单调递 增 区间为 2,a， 0, ，递 减 区间为2,0a； 6 分 （ 2） 当 a 0 时， 2 1= 0f x x可得