七年级数学思维探究（23）相交线与平行线（含答案）

阿基米德，公元前 287 年出生在意大利西西里岛的叙拉古， 11岁时在被称为“智慧之都”的希腊中心亚历山大城学习，他博阅群书，钻研几何原本 阿基米德通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演绎方法推出许多杠杆命题，并给出严格的证明，其中就有著名的“阿基米德原理”，阿基米德是兼数学家与力学家的伟大学者，享有“力学之父”的美称。 23 相交线与平行线 解读课标 在我们生活中存在大量的图形，它们为人类带来无穷无尽的直觉源泉，相交线与平行线随处可见，它们构成同一平面内两条直线的基本位置关系，它们的性质和位置关系是认识和学习其他图形性质的基础 相交线与平行线都与角相关：两直线相交，对顶角相等；两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 我们还可以用 角之间的关系来判断两直线是否平行 与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用，有以下两方面应用： 1 角的计算与证明； 2 两直线位置关系的确定 问题解决 例 1 如图，已知 E ， 90 ， 140 ， 则 _ 试一试 、 、 表面上看很难联系起来，过 C 点作 E ，问题就迎刃而解了 例 2 如图， A B C D E F G H ， G ，点 C 在 ，点 F 在 ，设与 相等的角的个数为 m （不包括 本身），与 互补 的角的个数为 n ，若 ，则 的值是 （ ） A 8 B 9 C 10 D 11 试一试 略 例 3 如图，已知 12 ， ，求证： 试一试 从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系是解这类问题的基本思路 例 4 如图， 两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在 A 、 C 两点，点 E 是橡皮筋上一点，拽动 E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索 A 、 C 、 之间具有怎样的关系？并说明理由 一试 这是一道结论开放的探究性问题，由于 E 点位置的不确定性，可引起对 E 点不同位置的分类讨论（如夹在 间或之外、内折或外折等），这是解本例的关键 例 5 平面上有 7 条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点 （ 1） 你能画出各直线之间的交点个数为 n 的图形吗？其中 n 分别为 6 ， 12， 15 （ 2） 请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 分析与解 设 7 条直线交点的个数为 n ，则 0 21n （为什么？） （ 1） 如图， 得 到的交点个数为 6 个；如图，得到的交点个数为 21 个；如图、，得到的交点个数分别为 12、 15 （ 2） n 的大小直接取决于 7 条直线中互相平行的直线的数量，因为 7 条直线中可能有： 一组平行线（ 2 条； 3 条； 4 条； 5 条； 6 条； 7 条）； 二组平行线（ 2 条， 2 条； 2 条， 3 条； 2 条， 4 条； 2 条， 5 条； 3 条， 3 条； 3 条， 4 条）； 三组平行线（ 2 条， 2 条， 2 条； 2 条， 2 条， 3 条）； 没有平行线， 所以当我们探求本题的完整的答案时，可以分为上述四种情况，分别加以研究 实际上本题的答案共有 15个，即 0n ， 6 ， 8 ， 10， 12， 14， 15， 15， 16， 17， 18， 18， 19， 20 ， 21 ，其中重复数字表示交点 个数相等但图形不同的答案 平移变换 例 6 平面上有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于 31 分析 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多 证明 在平面上任取一点 O ，过 O 点分别作这 6 条直线的平行线 1l ， 2l ， 3l ， 4l ， 5l ， 6l ，则由平行线的特性，知 1l ， 2l ， 3l ， 4l ， 5l ， 6l 之间互成的角与原来的 6 条直线 1l ， 2l ， 3l ， 4l ， 5l ， 6l 之间互成的角相等 现在我们考虑 1l ， 2l ， 6l 的情况，我们只考察 1l 与 2l ， 2l 与 3l ， 5l 与 6l ， 6l 与 1l 所成的角，由图不难发现这 6 个角成一个平角，即这 6 个角的和为 180 假设这 6 个角没有一个小于 31 ，则这 6 个角都大于或等于 31 ，从而这 6 个角的和至少为 31 6 186 ，这是不可能的，所以，这 6 个角中至少有一个小于 31 ， 不妨设 1l 与 2l 所成的角小于 31 ，则原来的直 图 图 图 线 1l 与 2l 所成的角也必小于 31 数学冲浪 知识技能广场 1 如图，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角 1 74 ， 那么 吸管与易拉罐下部夹角 2_度 2 如图，已知 D ， 1 130 ， 2 30 ，则 C_ 3 将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，与 1 互余的角是 _ 4 如图， G ， F ，则图中与 1 相等的角（不含 1 ）有 _个；若 1 50 ，则_ 5 在 A 、 B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从 A 地测得 B 地的走向是南偏东 52 ，现 A 、 B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则 B 地所修公路的走向应该是 （ ） A 北偏西 52 B 南偏东 52 C 西偏北 52 D 北偏西 38 6 如图，直线 ，将含有 45 角的三角板 直角顶点 C 放在直线 m 上，若 1 25 ，则 2 的度数为 （ ） A 20 B 25 C 30 D 35 7 如图，已知 D ，那么 A C （ ） 212134561 360 B 270 C 200 D 180 8 如 图， D 、 G 是 中 上的任意两点， C ， C ，则图中相等的角共有 （ ） A 4 对 B 5 对 C 6 对 D 7 对 9 如图，已知 B ， : : 2 : 3 : 4 ，求 、 D 、 B 的度数 10 如图，已知 12 ，求证： D 思维方法天地 11 如图， ，长方形 顶点 B 在直线 m 上，则 _ 12 如图，已知 D ， 120 ， 35 ，则 _ 3 某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可能是 _ 第一次向左拐 40 ，第二次向右拐 40 ；第一次向右拐 50 ，第二次向左拐 130 ；第一次向右拐 70 ，第二次向左拐 110 ；第一次向左拐 70 ，第二次向左拐 110 14 已知两个角的两边分别平行，其中一个角为 40 ，则另一个角的度数为 _ 15 如图， E ，则 2 3 1 的度数等于 （ ） A 90 B 120 C 150 D 180 16 如 图，已知 D ， 分 ， 且 E ，则 与 D 的关系是 （ ） A 3 B 180 C 90 D 2 17 探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于 O 点的灯泡发出的两束光线 灯碗反射后平行射出，如果图中 ，则 的度数为 （ ） A 180 B C 12 D 90 18 如图，两直线 行，则 1 2 3 4 5 6 （ ） A 630 B 720 C 800 D 900 19 已知 D ， 90 （ 1） 如图，当 分 时，求证： 分 ； 2） 如图，移动直角顶点 E ，使 ，求证： 2 20 如图，已知 F ， 12 ，求证： F 应用探究乐园 21 （ 1） 如图， 12A ，则 12 _ 如图， 13A ，则 1 2 3A A A _ 如图， 14A ，则 1 2 3 4A A A A _ 如图， 15A ，则 1 2 3 4 5A A A A A _ 从上述结论中你发现了什么规律？请在图，图，图中选一个 证 明你的结论 （ 2） 如图， 1 A ，则 1 2 3 A A _ （ 3） 利用上述结论解决问题：如图已知 D ， 和 的平分线相交于 F ， 140E ，求 的 度数 22 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等 D 21A 3A 2A 1A 4A 3A 2A 1A 5A 4A 3A 2A 1 1A 2A 3A 4A 5A 6A 1） 如图，一束光线 m 射到平面镜 a 上，被 a 反射到平面镜 b 上，又被 b 反射，若被 b 反射出的光线 m 平行，且 1 50 ，则 2_， 3_ （ 2） 在 （ 1） 中，若 1 55 ，则 3_；若 1 40 ，则 3_； （ 3） 由 （ 1） 、（ 2） ，请你猜想：当两平面镜 a 、 b 的夹角 3_时，可以使任何射到平面镜 a 上的光线 m ，经过平面镜 a 、 b 的两次反射后，入射光线 m 与反射光线 n 平行 请说明理由 321问题解决 例 1 80B C F A B C ， 1 8 0 4 0D C F C D E ， 40B C D B C F D C F ， 例 2 D 例 3 先证 E ，再证 C . 例 4 如图，可分别得到下列关系（证法同） C ； 360A E C A C ； A ； C C ； A . 数学冲浪 1. 106 3. 2 、 3 、 4 130 . 72， 108D ， 144B 13. 或 140 9.（ 1）略；（ 2）证法较多，如过 E 点作 B 或作 平分线 . K ，延长 于 H 点，则 1 2 1 8 0B C K ，因 12 ，故