七年级数学思维探究（24）认识三角形（含答案）

1893年，在喀山大学树立起 世界上第一个数学家的塑像，这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧 几何的创始人之一罗巴 切夫斯基（ 1792 1856 ），他发现了一个逻辑完整性和严密性可以和欧几 里得几 何相媲美的新的几何世界 非欧几何 他 为非欧几何的存在和发展奋斗了 30 多年，被誉为“几何学中的哥白尼” 24 认识三角形 解读课标 从房屋的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中处处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用 认识三角形，就是认识三角形的概念及基本要素 边与角，与边与角相关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有广泛的应用 代数化及分类讨论法是解与三角形基本要素相关问题的重要方法 代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类讨论即按边或 角 对三角形进行分类 问题解决 例 1 在 中，高 在直线 想 交于 O 点，若 不是直角三角形，且 60A ，则 _度 试一试 因三角形的高不一定在三角形内部，这样 形状应分两种情况讨论 例 2 如图，将纸片 沿着 叠压平，则 （ ） A 12A B 1 22A C 1 13A D 1 124A 试一试 在折叠动态变化中，不变关系是 B C A E D A D E ，这是解本例的关键 例 3 （ 1） 如图， C 于 D ， 分 ，试探寻 与 C 、 B 的关系 （ 2） 如图，若将点 A 在 移动到 F ， C 于 D ，其他条件不变，那么 与 C 、 D是否还有 （ 1） 中的关系？说明理由 （ 3） 请你提出一个类似的问题 试一试 对于 （ 2） ，通过作辅助线，将问题转化为 （ 1） 例 4 如图，已知 A 为 x 轴负半轴上一点， B 为 x 轴正半轴上一点， 0 , 2C ， 3 , 2D （ 1） 求 的面积； （ 2） 如图，若 C ，作 的平分线交 P ，交 Q ，判断 与 的大小关系，并证明你的结论； （ 3） 如图，若 A D C D A C ，点 B 在 x 轴正半轴上运动， 的平分线 延长线于点 E ，在 B 点的运动过程中， 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由 21 试一试 对于 （ 3） ， 能否用 E 的式子表示？由数到形，分解出基本图形是解题的关键 例 5 在三角形纸片内有 2008个点，连同三角形纸片的 3 个 顶点，共有 2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上 问：以这 2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？ 解法一 我们不妨先退一步，考察三角形内有一个点、两个点、三个点的简单情形，有下表所示的关系： 三角形的点数 可连线得到小三角形的个数 1 3 2 5 3 7 4 9 不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到 3 个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有 2008个点时，连接可得到小三角形的个数为： 3 2 2 0 0 8 1 4 0 1 7 =（个） 解法二 整体核算法 设连线后把原三角形分割成 n 个小三角形，则它们的内角和为 180n ，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供 360 的内角， 2008个点共提供内角2008 360，于是得方程 1 8 0 3 6 0 2 0 0 8 1 8 0n ，解得 4017n ，即这 2008个点能将原三角形纸片分割成 4017个小三角形 角平分线 角平分线是联系角与角之间关系的纽带，当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通 性 的组图 例 6 （ 1） 如图，已知 中的两内角平分线交于 P 点，两外角平分线交于 M 点，一内角平分线与一外角平分线交于 N 点 试分别探究 、 M 、 N 与 A 关系 ； （ 2） 如图，在凹四边形 ，已知 与 的平分线交于点 E ，求证：2 分析与解 （ 1） 1902B P C A ， 1902 ， 12 （ 2） 凹四边形 似“规形”，易证 B D C A B C 图可分解为两个“规形 ”， 、 别平分 、 ， xy 可设 A B E D B E x ， A C E D C E y 由 （ 1） 得 E A x y ， D E x y ， -得 D E E A ， 2 数学冲浪 知识技能广场 1 一 副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边 ， 于点 M 若 100 ，则 _度 2 一 副三角板，如图所示叠放在一起，则图中 1 的度数为 _ 3 如图， 中， 80A ，剪去 A 后，得到四边形 则 12 _ 4 如图，在 中， A ， 的平分线与 的平分线交于点 1A ，得 1A ； 1的平分线与 1的平分线相交于点 2A ，得 2A ；， 2008A 的平分线与 2008A 的平分线相交于点2009A ，得 2009A ，则 2009A_ 5 如图， 中， A 、 B 、 C 的外角分别记为 、 、 若 : : 3 : 4 : 5 ，则 :A B C （ ） A 3:2:1 B 1:2:3 C 3:4:5 D 5:4:3 C A 1A 2如图， 中 的平分线， 的邻补角的平分线 若 20 ， 50 ，则 （ ） A 70 B 80 C 90 D 100 7 在等腰 中， C ，一边上的中线 这个三角形的周长分为 15和 12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 （ ） A 7 B 11 C 7 或 11 D 7 或 10 8 如图， 中， A B D D B E E B C ， A C D D C E E C B ，若 145 ，则 于 （ ） A 100 B 105 C 110 D 115 9 如图，已知射线 射线 相垂直， B 、 A 分别为 一 动点， 、 的平分线交于 C 问： B 、 A 在 运动过程中， C 的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由 10 如图，已知 中， ， D 为 上一点， E 为直线 一点，且 （ 1） 求证： 2B A D C D E ， （ 2） 如图，若 D 在 反向延长线上，其他条件不变， （ 1） 中的结论是否仍成立？证明你 的 结论 思维方法天地 11 在 中， 50A ，高 于 O ，且 O 不与 B 、 C 重合，则 的度数为 _ 12 如图，已知 C ， 45 2B ， 4 5 3 ， 分 ，则 _ 3 如图， 分 交 F ， 分 交 E ， 交于 G ，如果 42A ，38C ，那么 P 的度数为 _ 14 如图，已知 中， A ， 分 ， 别为 的两外角的平分线，给出下列结论： D ； 1902 ； C 其中正确结论的个数是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 15 如图， 31 ，又 的平分线 的平分线 交于 E 点，则 为 （ ） A B C D 20 16 如图， 中， 90 ， C ， 的平分线 点 F ， 分 给出下列结论： ； ； ； F 其中正确的结论是（ ） A B C D 17 平面内的四条线段 尾顺次连接，已知 24 ， 42 1） 如图，若 与 的平分线交于点 M ，求 的值； （ 2） 如图，点 E 在 延长线上， 的平分线和 的平分线交于点 N ，求 的值 18 如图，在 中， 分 交 F ，延长 G ， 分 ，且 点，若 30A ， 75 （ 1） 求证： D F E A D E ； （ 2） 求 E 的度数； （ 3） 若在图中作 与 的平分线交于 1E ，作 1与 1的平分线交于 2E ，作 2与2的平分线交于 3E ，依此类推， 与 的平分线交于 1，请用含有 n 的式子表示1 的度数 应用探究乐园 19 把一副学生用三角板 （ 30 、 60 、 90 和 45 、 45 、 90 ） 如图放置在平面直角坐标系中，点A 在 y 轴正半轴上，直角边 y 轴重合，斜边 y 轴重合，直角边 x 轴于 F ，斜边 x 轴于 G ， O 是 点， 8 （ 1） 把图中的 绕 A 点顺时针旋转 度得图，此时 的面积是 10， 的面积是 8 ，分别求 F 、 H 、 B 三点的坐标； （ 2） 如图，设 的平分线和 的平分线交于点 M ， 的平分线和 的平分线交于点 N ，当 绕 A 点转动时， 的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值 30 45 0 问题提出 以 n 边形的他个顶点和它内部的 m 个点，共 个点作为顶点，可把原 n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 问题探究 为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形 入 手： 探究 一：以 的三个顶点和它内部的 1个点 P ，共 4 个点为顶点，可把 分割成多少个互不重叠的小三角形？ 如图，显然，此时可把 分割成 3 个互不重叠的小三角形 探究二：以 的三个顶点和它内部的 2 个点 P ， Q ，共 5 个点为顶点，可把 分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图 的内部，再添加 1个点 Q ，那么点 Q 的位置会有两种情况： 一种情况，点 Q 在图分割成的某个小三角形内部，不妨假设点 Q 在 内部，如图 ； 另一种情况，点 Q 在图分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点 Q 在 ，如图 显然，不管哪种情况，都可把 分割成 5 个互不重叠的小三角形 探究三：以 的三个顶点和它内部的 3 个点 P ， Q ， R 共 6 个点为顶点，可把 分割成 _个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图 探究四：以 的三个顶点和它内部的 m 个点，共 3m 个顶点，可把 分割成 _个互不重叠的小三角形 探究拓展：以四边形的 4 个顶点和它内部的 m 个点，共 4m 个顶点，可把四边形分割成 _个互不重叠的小三角形， 问题解决 以 n 边形的挖个顶点和它内部的 m 个点，共 个顶点，可把 分割成 _个互不重叠的小三角形 实际应用 以八边形的 8 个顶点和它内部的 2012个点，共 2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算） 45 30 图 图 图 24 认识三角形 问题解决 例 l 当 为锐角三角形时， 120 ；当 为钝角三角形时， 60 例 2 B 180B C A E D A D E A ，又 1 2 3 6 0B C A E D A D E ，得 2 1 8 0 1 2 3 6 0A ，化简得 1 122A 例 3 （ 1） 12D A E C B ； （ 2）过 A 作 C 于 G ，则 12E F D E A G C B ； （ 3）略 例 4 （ 1） 3 （ 2）可证明 C P Q C Q P （ 3） B ，可证明 1 12 2 C A B C 为定值 数学冲浪 1 85 2 75 3 260 4200925 A 6 C 7 C 8 C 9 19 0 4 52C A O B ，为一定值 10 （ 1）证明略；（ 2）（ 1）中的结论仍然成立 11 50 或 130 12 126 13 40 如图，由对顶三角形性质得 122 1 2 2 ，解得 40P 14 D 15 B 16 C 17 （ 1）可证明 1 332A M C A B C A D C （ 2）可证明 1 1 8 0 1 2 32A N C B