高考数学二轮复习第一部分专题五解析几何第二讲椭圆双曲线抛物线的定义方程与性质教案

第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质考情分析圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考热点，多以选择、填空考查，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程求法，难度中档偏下.年份卷别考查角度及命题位置2017卷双曲线的性质及应用T5椭圆的综合应用T12卷双曲线离心率的范围T5抛物线的方程及应用T12卷椭圆的离心率求法T11已知双曲线的渐近线求参数T142016卷椭圆的离心率求法T5卷直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率求法T122015卷椭圆与抛物线的简单性质T5双曲线的几何性质T16卷双曲线的标准方程T15真题自检1(2017高考全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A.B.C. D.解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以APx轴，又PFx轴，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以(1,0)，(0，3)，所以0，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.故选D.答案：D2(2017高考全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a.由题意，圆心到直线bxay2ab0的距离为a，即a23b2.又e21，所以e，故选A.答案：A3(2016高考全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PEx轴，则k()A. B1C. D2解析：y24x，F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)，得k2.故选D.答案：D4(2016高考全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.故选A.答案：A椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程方法结论1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：2a(2a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系3抛物线方程中p的几何意义为焦点到准线的距离题组突破1(2017河南八市联考)已知点M(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是()A.B3C. D2解析：抛物线的准线方程为x，依据抛物线的定义，得|QM|QF|xQ3|，选C.答案：C2(2017合肥质检)若双曲线C1：1与C2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b()A2 B4C6 D8解析：由题意得，2b2a，C2的焦距2c4c2b4，故选B.答案：B3(2017广东五校联考)设椭圆E：1(ab0)的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E上在第二象限内的点，直线BO交E于点C.若直线BF平分线段AC，则E的离心率为_解析：设AC的中点为M，连接OM，AB，则OM为ABC的中位线，B，F，M在一条线上，于是OFMAFB，且，即，解得e.答案：4(2017高考全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.解析：因为双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所以a5.答案：5误区警示1注意易混椭圆与双曲线中a2、b2、c2的关系2已知双曲线的一条渐近线ymx(m0)，则要注意判断其焦点位置后，才能说明|m|，还是，从而再利用e 求离心率3对于形如yax2(a0)，求焦点坐标与准线时注意先化为标准方程直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系方法结论弦长问题设直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线AB的斜率存在(设为k)，则|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0)，其中|x1x2|，|y1y2|；若直线AB的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长典例(1)(2017洛阳模拟)已知抛物线C：x24y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若230，则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为_解析：法一：依题意得，抛物线的焦点F(0,1)，准线方程是y1，因为2()()0，即20，所以F，A，B三点共线设直线AB：ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由，得x24(kx1)，即x24kx40，x1x24；又20，因此2x1x20.由解得x2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为(y11)(y21)(y1y2)1(xx)11.法二：依题意得，抛物线的焦点F(0,1)，准线方程是y1，因为2()()0，即20，所以F，A，B三点共线不妨设直线AB的倾斜角为，0，|FA|m，点A的纵坐标为y1，则有|FB|2m.分别由点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1，作AMBB1于M，则有|AA1|AF|m，|BB1|FB|2m，|BM|BB1|AA1|m，sin ，|AF|y112|AF|sin ，|AF|，同理|BF|y21，|AF|BF|，因此弦AB的中点到抛物线C的准线的距离等于(y11)(y21)(y1y2)1(|AF|BF|).答案：(2)(2017合肥质检)已知点F为椭圆E：1(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.求椭圆E的方程；设直线1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围解析：由题意，得a2c，bc，则椭圆E为1.由，得x22x43c20.直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，44(43c2)0c21，椭圆E的方程为1.由得M(1，)，直线1与y轴交于P(0，2)，|PM|2，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，|PM|2|PA|PB|，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依题意得：x1x2，且48(4k21)0，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，(1)，k2，1.综上所述，的取值范围是，1)类题通法直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想，化归思想及数形结合思想，着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成xmyb的形式；(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系；(3)涉及弦的问题，一般要用到弦长公式|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.演练冲关已知抛物线x22py上点P处的切线方程为xy10.(1)求抛物线的方程；(2)设A(x1，y1)和B(x2，y2)为抛物线上的两个动点，其中y1y2且y1y24，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求ABC面积的最大值解析：(1)设点P(x0，)，由x22py得y，y，切线的斜率为1，1且x010，解得p2，抛物线的方程为x24y.(2)设线段AB的中点M(x3，y3)，则x3，y3，kAB(x1x2)，直线l的方程为y2(xx3)，即2xx3(4y)0，l过定点(0,4)x22xx32x80，得4x4(2x8)02x32，|AB|x1x2|，C(0,4)到AB的距离d|CM|，SABC|AB|d 8，当且仅当x4162x，即x32时取等号，SABC的最大值为8.圆锥曲线与其他知识的交汇圆锥曲线与方程是解析几何的核心部分，是高考重点考查的内容，且所占分值较大，近年高考中，圆锥曲线与圆、平面向量、解三角形、不等式等知识交汇命题，成为命题的热点和难点典例(2017武汉调研)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：设实轴长为2a，虚轴长为2b，令AOF，则由题意知tan ，在AOB中，AOB1802，tanAOBtan 2，|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，设|OA|md，|AB|m，|OB|md，OABF，(md)2m2(md)2，整理，得dm，tan 2，解得2或(舍去)，b2a，ca，e.答案：C类题通法平面向量与圆锥曲线的交汇问题多考查平面向量的应用，通过运算沟通数与形的转化，从而使问题解决演练冲关(2017贵阳模拟)双曲线1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内