高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3_1_2 复数的几何意义学案 新人教b版选修1-2

3.1.2复数的几何意义明目标、知重点1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.1.复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数与点、向量间的对应复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b)；复数zabi(a，bR)平面向量(a，b).2.复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|.情境导学我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？探究点一复数与复平面内的点思考1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答任何一个复数zabi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应.小结建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.思考2判断下列命题的真假：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限.答根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z00i0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以是真命题，是假命题；对于非纯虚数zabi，由于a0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b0时，z所对应的点在实轴上，故是假命题.例1在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上，分别求实数m的取值范围.解复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20.解得m2或m1.(2)由题意得1m0，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方.(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或m，所以当m1或m时，复数z对应的点在直线xy40上.探究点二复数与向量思考1复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系.思考2怎样定义复数z的模？它有什么意义？答复数zabi(a，bR)的模就是向量(a，b)的模，记作|z|或|abi|.|z|abi|可以表示点Z(a，b)到原点的距离.例2已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围.解方法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，).方法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知：a，|z1|z2|.跟踪训练3(1)当复数z1sin icos ，z223i，试比较|z1|与|z2|的大小；(2)求满足条件2|z|3的复数z在复平面上表示的图形.解(1)|z1|sin icos | ，|z2|23i|，且，|z1|z2|.(2)如图是以原点O为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周.1.在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析zi2i22i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.2.当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析复数z在复平面内对应的点为Z(3m2，m1).由m0，m10.所以点Z位于第四象限.故选D.3.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为()A.2i B.2iC.12i D.12i答案B解析A(1,2)关于直线yx的对称点B(2,1)，向量对应的复数为2i.4.在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，则实数m的值为_.答案9解析z(m3)2i表示的点在直线yx上，m32，解之得m9.呈重点、现规律1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思