高中数学 第二章 统计 2_2 用样本估计总体 2_2_2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学案 新人教a版必修3

22.2用样本的数字特征估计总体的数字特征预习课本P36，思考并完成以下问题(1)如何根据样本数据的频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？ (2)如何理解众数、中位数、平均数与极端数据的关系？ (3)平均数向我们提供了样本数据的重要信息，平均数会使我们作出对总体的片面判断吗？ (4)方差、标准差有什么区别与联系？ 1众数、中位数、平均数的概念(1)众数：一组数据中出现次数最多的数(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数2三种数字特征的比较名称优点缺点众数体现了样本数据的最大集中点；容易计算它只能表达样本数据中很少的一部分信息；无法客观地反映总体的特征中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；容易计算，便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数代表性较好，是反映数据集中趋势的量一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变数据越“离群”，对平均数的影响越大3.标准差、方差的概念与计算公式(1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s .(2)方差： 标准差的平方s2叫做方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数点睛(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小(2)标准差、方差的取值范围：0，)标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性1下列说法不正确的是()A方差是标准差的平方B标准差的大小不会超过极差C若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0D标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散解析：选D标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散210名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()AabcBbcaCcab Dcba解析：选D将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则平均数a(101214215216173)14.7，中位数b15，众数c17，显然abc，选D.3奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为()A减少计算量B避免故障C剔除异常值D活跃赛场气氛解析：选C因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平4样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为_解析：由题意知(a0123)1，解得a1.所以样本方差为s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.答案：2众数、中位数、平均数的计算典例某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？解(1)甲群市民年龄的平均数为15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征(2)乙群市民年龄的平均数为15(岁)，中位数为6岁，众数为6岁由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算活学活用(广东高考)已知样本数据x1，x2，xn的均值5，则样本数据2x11,2x21，2xn1的均值为_解析：由条件知5，则所求均值02125111.答案：11标准差(方差)的计算及应用典例甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数；(2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？解(1)甲(86786591047)7(环)，乙(6778678795)7(环)(2)由方差公式s2(x1)2(x2)2(xn)2，得s3，s1.2.(3)甲乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当又ss，说明甲战士射击情况波动比乙大因此，乙战士比甲战士射击情况稳定从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛计算标准差的5步骤(1)求出样本数据的平均数.(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi(i1,2，n)(3)求出xi(i1,2，n)的平方值(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差(5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差活学活用从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42；乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？解：(1)甲(25414037221419392142)30030(cm)，乙(27164427441640401640)31031(cm)所以甲乙即乙种玉米苗长得高(2)s(2530)2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2(3930)2(2130)2(4230)2(2512110049642561218181144)1 042104.2(cm2)，s2(2731)23(1631)22(4431)23(4031)21 288128.8(cm2)所以s0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.10.03(x70)，所以x73.3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高长方形底边的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值中位数在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；表示样本数据所占频率的等分线平均数平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点活学活用为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则(1)这20名工人中一天生产该产品数量在55,75)的人数是_(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为_(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为_解析：(1)在55,75)的人数为(0.040100.02510)2013.(2)设中位数为x，则0.2(x55)0.040.5，x62.5.(3)0.2500.4600.25700.1800.059064.答案：(1)13(2)62.5(3)64层级一学业水平达标1甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是()A63B64C65 D66解析：选A甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数分别是36和27，则中位数之和是362763.2下列说法中，不正确的是()A数据2,4,6,8的中位数是4,6B数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4C一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据D8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是解析：选A数据2,4,6,8的中位数为5，显然A是错误的，B、C、D都是正确的故选A.3已知一组数据，现将每个数据都加上m，则新的一组数据的平均数与原来一组数的平均数相比()A扩大到m倍B增加m倍C数值不变 D增加m解析：选D设原来一组数据为x1，x2，xn，平均数，那么加上m后得到的一组新数据为x1m，x2m，xnm，其平均数mm.故答案为D.4如图是一次考试结果的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为()A46 B36C56 D60解析：选A根据题中统计图，可估计有4人成绩在0,20)之间，其考试分数之和为41040；有8人成绩在20,40)之间，其考试分数之和为830240；有10人成绩在40,60)之间，其考试分数之和为1050500；有6人成绩在60,80)之间，其考试分数之和为670420；有2人成绩在80,100)之间，其考试分数之和为290180，由此可知，考生总人数为48106230，考试总成绩为402405004201801 380，平均数为46.5某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩解：(1)由图可知众数为65，第一个小矩形的面积为0.3，设中位数为60x，则0.3x0.040.5，得x5，中位数为60565.(2)依题意，平均成绩为550.3650.4750.15850.1950.0567，故平均成绩约为67.层级二应试能力达标1.如图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是()A56分B57分C58分D59分解析：选B易得甲得分的中位数是32，乙得分的中位数是25，其和为322557.2在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()A9.4,0.484 B9.4,0.016C9.5,0.04 D9.5,0.016解析：选D9.5，s2(0.1240.22)0.016.3如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则()A.AB，sAsB B.AB，sAsBC.AB，sAsB D.AB，sAsB解析：选B由图易得AB，又A波动性大，B波动性小，所以sAsB.4为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则()Amem0 Bmem0Cmem0 Dm0me解析：选D由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为me5.5.又众数为m05，平均值(324351066738292102)，m0me.5五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a_，这五个数的标准差是_解析：由3，得a5；由s2(13)2(23)2(33)2(43)2(53)22，得标准差s.答案：56某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：等待时间(分钟)0,5)5,10)10,15)15,20)20,25频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值_.解析：(2.547.5812.5517.5222.51)9.5.答案：9.57某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_解析：(1)(78795491074)7.(2)s2(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(77)2(47)24，所以s2.答案：(1)7(2)28从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)频率分布直方图如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为：800.06900.261000.381100.221200.08100.质量指标值的样本方差为：s2(80100)20.06(90100)20.26(100100)20.38(110100)20.22(120100)20.08104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定9(广东高考)某工厂