高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第92讲 极坐标常见题型解法

第92讲 极坐标常见题型解法【知识要点】一、在平面内取一个定点为极点，引一条射线为叫做极轴，再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.对于平面内的点，设， ，称、为点的极径、极角，有序数对就叫做的极坐标.二、一般地，当极角的取值范围是时，平面上的点(除去极点)就与极坐标建立一一对应的关系，否则点与极坐标就不是一一对应.极点的极坐标是，其中极角是任意角.三、负极径的规定：在极坐标系中，极径允许取负值，当时，点位于极角的终边的反向延长线上，且，可以表示为，或 四、直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到： （求点的直角坐标的公式），（求点的极坐标的公式）.五、球坐标系：设是空间任意一点，在平面的射影为，连接，记， 与轴正向所夹的角为，在平面的射影为，轴按逆时针方向旋转到时所转过的最小正角为，点的位置可以用有序数组表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组叫做点的球坐标，其中，.空间点的直角坐标与球坐标之间的变换关系为：；六、柱坐标系：设是空间任意一点，在平面的射影为，用 表示点在平面上的极坐标，点的位置可用有序数组，表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组叫点的柱坐标，其中，空间点的直角坐标与柱坐标之间的变换关系为：.【题型讲评】题型一求点的直角坐标解题步骤一般直接代入公式即可，代公式时注意“”与“”对应，“”与“”对应.其中经常用到三角恒等变换的诱导公式“纵变横不变，符号看象限”.【例1】点的极坐标为，则它的直角坐标为 .【点评】把极坐标化成直角坐标时，要求我们对三角函数的诱导公式很熟练很准备，否则就有可能计算出错.如本题中的，就要计算准确.【反馈检测1】若点的极坐标为，则点的直角坐标是（ ）A B C D 题型二求点的极坐标解题步骤一般直接代公式解出即可.注意两点：（1）极角一般取；（2）求极角时，一定要先通过点定出极角所在的象限位置，再通过求出极角的大小.即先定位，后定量.如果点不在象限里面，则直接写出它的极坐标.【例2】点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）A B C D【点评】这种题最容易出错的是极角的大小，必须向定位，后定量.本题中极角和位置相同，所以极角在第二象限，又，所以极角【反馈检测2】点，则它的极坐标是（ ）A B C D题型三求曲线直角方程的极坐标方程解题步骤一般先代入公式，再化简整理即可.其中常用到辅助角公式.【例3】 把方程化为极坐标方程.【解析】 .【点评】把直角坐标方程化成极坐标方程时，一般要利用辅助角公式化简,以达到最简的目的.【反馈检测3】已知圆的方程为，求该圆的极坐标方程.题型四求曲线的直角坐标方程解题步骤一般先代公式，再化简整理即可.【例4】极坐标方程和参数方程 (为参数)所表示的图形分别为()A圆、直线 B直线、圆 C圆、圆 D直线、直线【点评】把极坐标方程化成直角坐标方程时，注意技巧，可以方程的两边同时乘以，得到，这样便于代公式.【反馈检测4】极坐标方程表示的曲线为（ ）A极点 B极轴 C一条直线 D两条相交直线题型五求曲线的极坐标方程解题步骤方法一：一般先把已知条件中的所有条件化成直角坐标，求出曲线的直角坐标方程，再把求出的直角坐标方程化为极坐标方程.方法二：建系设点列式化简.一般选第一种方法解答.【例5】 在极坐标系中，圆过极点，且圆心的极坐标是()，则圆的极坐标方程是（ ）A B C D【点评】本题选择的是第一种方法，先把所有的条件化成直角坐标，求出直角坐标方程，再把直角坐标方程化成极坐标.【反馈检测5】已知曲线的参数方程为（为参数），曲线在点处的切线为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程.【例6】在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动.（I）求圆的极坐标方程；（II）若在直线上运动，且，求动点的轨迹方程.【解析】（I）QMCOXP设圆上任意一点，则在三角形中，由余弦定理得即：整理即可得圆的极坐标方程为：（II）设,，依题意可知：代入得化简得：动点的轨迹方程为：【点评】本题就是选择的方法二求的曲线的极坐标方程.其中多涉及到解三角形的知识（正弦定理和余弦定理）.【反馈检测6】在极坐标系中，已知圆的圆心半径,求圆的极坐标方程.题型六极坐标和其它知识的综合解题步骤一般先化成直角坐标，再利用涉及的相关知识分析解答.【例7】在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.【点评】（1）极坐标可以和很多知识整合，整合最多的是解析几何.（2）本题的第二问比较巧妙，计算线段的长度时，没有计算两个端点的坐标，因为这样的计算量比较大. 直接用两个端点的极径之差来求线段的长度，因为两个端点的极角相等.【反馈检测7】在直角坐标系中，直线（为参数， ）与圆相交于点，以为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线与圆的极坐标方程；（2）求的最大值【反馈检测8】已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为则直线被圆所截得的弦长为 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第92讲：极坐标常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解答】，则点的直角坐标是.故选.【反馈检测2答案】C【反馈检测2详细解答】,所以，故选C.【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解答】由题得【反馈检测4答案】【反馈检测4详细解析】，即或，表示的是两条相交直线.所以选择.【反馈检测5答案】【反馈检测6答案】【反馈检测6详细解析】方法一：设点，在中，由余弦定理可知，即方法二：圆的圆心为直角坐标方程为即，将代入上式，得【反馈检测7答案】（1）；（2）.【反馈检测8答案】