矩阵的Kronecker乘积的性质与应用.doc

矩阵Kronecker乘积的性质与应用 摘要 按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。 本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker积进行介绍和必要的说明。之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。 矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程 Properties and Applications of matrix Kronecker productAbstract According to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation.Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations 目录摘要IAbstractII第一章 矩阵的Kronecker积11.1 矩阵的Kronecker积的定义11.2 矩阵的Kronecker积的性质1第二章 Kronecker积的有关定理及推论6第三章 矩阵的拉直93.1矩阵的拉直的定义93.2矩阵的拉直的性质9第四章 矩阵的Kronecker积与矩阵方程114.1矩阵的Kronecker积与Lyapunov矩阵方程114.2矩阵的Kronecker积与一般线性矩阵方程134.3矩阵的Kronecker积与矩阵微分方程14参考文献16致谢18符号说明 实数域 复数域 零矩阵 Kronecker积 18第一章 矩阵的Kronecker积1.1 矩阵的Kronecker积的定义定义1.1设矩阵，矩阵，定义A和B的Kronecker积（或直积，张量积）为：可以看出，其结果是一个矩阵，同时也是一个以为子块的分块矩阵.例1.1 设，则由此可见，与具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker积不满足交换律. 1.2 矩阵的Kronecker积的性质虽然Kronecker积不满足交换律，但是具有以下一些性质：性质1.2.1 设矩阵，矩阵，则（这个O为矩阵）.证明：略.性质1.2.2 设k为任一常数，矩阵，矩阵，则.证明：不失一般性，设，则：，根据Kronecker积的定义可以得到：， ， 即，.所以.性质1.2.3 设A，B为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则，.证明：不失一般性，设，则：，根据Kronecker积的定义可以得到： (1.1)*， (1.2)*， (1.3)*，由(1.2)*，(1.3)*得： (1.4)*，由(1.1)*，(1.4)*可得：.同理设可证：.性质1.2.4 设矩阵，矩阵，矩阵，则证明：不失一般性，设，则： 得证.性质1.2.5设矩阵，矩阵，矩阵,矩阵，则证明：不失一般性，设，则：得证.性质1.2.6 设矩阵可逆， 且矩阵可逆，则可逆，且.证明：(这里I与数的乘法中的1起到相同的作用)，故.性质1.2.7 设矩阵，矩阵，则证明： 得证.同理可证：.性质1.2.8 两个正交（酉）矩阵的Kronecker积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵，矩阵.因为A，B都是正交（酉）矩阵，所以有，.由性质1.2.7和性质1.2.5可得：.故. 得证.第二章 Kronecker积的有关定理及推论定理2.2.2 设矩阵，矩阵，则. 证明：设rank A=r，rank B=s，A，B的标准形分别为：， 其中，1，2)均为非奇异矩阵，则由性质1.2.5和1.2.6可以得： 所以 得证.定理2.2.3 设矩阵，矩阵，对于向量和，若x是A关于特征值的一个特征向量，y是A关于特征值的一个特征向量，则是对应特征值的一个特征向量.证明：因为x，y都是非零向量，所以xy也是非零向量，由性质1.2.2和性质1.2.5可得：.所以，是对应特征值的一个特征向量.推论2.2.4 设矩阵，矩阵，对于向量和，若A的特征值是，；B的特征值是，则的特征值为，（k重根算k个）.定理2.2.5 设矩阵，矩阵，对于向量和，若x是A关于特征值的一个特征向量，y是A关于特征值的一个特征向量，则是对应特征值的一个特征向量. 证明：由性质1.2.3，性质1.2.5可以得到：，故.所以，是对应特征值的一个特征向量.推论2.2.6 设矩阵，矩阵，对于向量和，若，是A关于特征值，的特征向量， ，是B关于特征值，的特征向量，则的个特征值为.(s=1，2，m；t=1，2，n).例2.2 设矩阵，矩阵，对于向量和，若，是A关于特征值，的特征向量， ，是B关于特征值，的特征向量，证明：矩阵的特征值是，对应的特征向量为.(i=1，2，m；j=1，2，n).证明：由性质1.2.3和性质1.2.5可得：，故有：所以，矩阵的特征值是，对应的特征向量.定理2.2.7 设矩阵，矩阵，则证明：由Kronecker积和迹的定义可得：得证.定理2.2.8 设矩阵，矩阵，则 证明：设A的特征值为，B的特征值为，由推论2.2.4可得：得证.第三章 矩阵的拉直3.1矩阵的拉直的定义定义3.1 设，定义矩阵A的按行拉直为：即矩阵A的拉直是一个元的列向量，它是由矩阵A所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：，则矩阵A的拉直为.3.2矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质：性质3.2.1 设矩阵，矩阵，k和l是常数，则=. 证明：略.性质3.2.2 设，则=.证明：左边= (a(t)，a(t)，a(t)，a(t)，a(t)，a(t) =(a(t)，a(t)，a(t)，a(t)，a(t)，a(t) )= =右边，得证.性质3.2.3设矩阵，矩阵，矩阵，则.证明：设，其中，是的第行，则，所以 得证.推论3.2.4 设矩阵，矩阵，矩阵，则有.(+).第四章 矩阵的Kronecker积与矩阵方程4.1矩阵的Kronecker积与Lyapunov矩阵方程设矩阵，矩阵，矩阵，解Lyapunov矩阵方程：AX+XB=F.第一步：将方程两边拉直，由推论3.2.4可得： . (4.1)第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.1)有解的充要条件是： ，det(AI+ IB)0，即A和(-B)没有公共的特征值或者说A和B无互为相反数的特征值.例4.1 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ，(2) ，解：(1) 首先计算A和B的特征值，解得：，解得：.观察有无互为相反数的特征值发现，A和B没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. ，： . (4.1)设，计算，将A，X，C代入(4.1)得：，计算得到：，根据矩阵的乘法的定义可以求得：.故矩阵方程AX+XB=C的唯一解为：.(2) 同样先计算A和B的特征值，解得：，解得：. 通过观察可知：. ，.将矩阵方程两边拉直，： . (4.1)设，计算，将A，X，C代入(4.1)得：， -计算得到：，根据矩阵的乘法的定义可以求得：.故矩阵方程AX+XB=C的通解为： (c为任意常数).4.2矩阵的Kronecker积与一般线性矩阵方程设矩阵，矩阵，矩阵，：(r = 1，2，).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质3.2.3可以得到： . (4.2)第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.2)有解的充要条件是： .即的所有特征值均不为0.例4.2 设A和C都是nn矩阵，A的特征值（i=0，1，2，n）（实数），求证：矩阵方程有唯一解.证明： ，化简得到： .由定义3.1可知：的个特征值是0，1，2，n).故：的个特征值是：，1，2，n).即是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程有唯一解.例4.3 在下列条件下解矩阵方程.已知：，.解：将矩阵方程两边拉直得到： . (4.3)* 设，计算和 代入(4.3)*得到：.计算化简得：.根据矩阵的乘法的定义可以求得：.计算，所以方程有唯一解：.4.3矩阵的Kronecker积与矩阵微分方程设，求下列矩阵微分方程初值问题的解： (4.3)引理：设A，矩阵，则，.证明：因为性质1.2.5可得：.同理可证：.将矩阵微分方程(4.3)两边拉直，由推论3.2.4可以得到： (4.4)由引理可得：，又因为，故 (4.5)这就是微分方程(4.3)的解.例4.4 求解下列矩阵微分方程的初值问题： (4.6)已知：，.解：可计算得到：，.由(4.5)式可以得到：.即(4.6)的解为. 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker积的性质，Lyapunov，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献1矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社.2014.1.2矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社.2012.5.3矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社.2012.10.4矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社.2015.3.5矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.6H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.7高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.8常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.2005.4（2012.12重印）.9矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（2014.6重印）.10线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社.2015.8.11线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社.2015.1.12矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社.2013.8.13线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社.2012.2.14矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.15矩阵论导教导学导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社.2014.8.16矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社.2015.5.17矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.18矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.19线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社.2014.7.20矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.21线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社.2006.11.（2015.2重印）.22线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社.2014.10.23线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社.2013.4.24线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社.2014.8.25线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社.2012.10.26高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社.2014.9.27线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.28线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.29线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.2012.1（2012.7重印）.30线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社.2013.7.31线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社.2013.8.32线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社.2014.5.33线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.2013.2（2013.11重印）.34跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社.2014.1.35线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，2014.7.36线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社.2012.8.37线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社.2012.8.38工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社.2014.6.39矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社.2013.10.40矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社.1995.8.41矩阵分析及其应用. 曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社.2007.8.42矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社.2011.8.致谢 通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。此次写作过程中，得到了很多同学的帮助，但是帮助最大的还是指导老师刘喜富老师。刘老师不但知识渊博，而且很有耐心，对我不懂的地方细心的讲解，把论文的目的，结构，性质等也介绍得很详细，让我能够更有效率，更专心的写论文。写论文不是简单的事情，它需要自