高考数学 热点难点突破技巧 第05讲 函数的零点问题处理方法1

第05讲：函数的零点问题处理方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数（，把使成立的实数叫做函数（的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的数学概念有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图像与轴的交点的横坐标，即：方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点.（3）零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在使得，这个也就是方程的根.函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有是函数在区间内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决.二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法.（2）给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间，验证，给定精确度.第二步：求区间的中点.第三步：计算：若=0，则就是函数的零点；若，则令 （此时零点）若，则令（此时零点）第四步：判断是否达到精确度即若，则得到零点值或，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程的根的分布讨论一元二次方程的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：（1）的符号； （2）对称轴的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入.五、方法总结1、函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.2、高考考查单调函数的零点时，一般要找到两个变量，并且要证明.这是一个难点，一般利用放缩法证明.【方法讲评】方法一方程法使用情景方程可以直接解出来.解题步骤先解方程，再求解.【例1 】已知函数区间内有零点，求实数的取值范围. 【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的一元二次函数要比较敏感，看到它就要想到因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数在区间上的零点个数是（ ）A4 B5 C6 D 7 方法二图像法使用情景函数是一些简单的初等函数（反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再根据函数的单调性画出函数的图像分析.【例2】（2016年北京高考文科）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件. （2）当时，所以令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，使得由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点 （3）当时，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点当时，只有一个零点，记作当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增所以不可能有三个不同零点 【点评】（1）本题的第2问是用数形结合解答的，画图分析得只有满足极大值大于零且极小值小于零，则函数图像与轴会有三个不同的交点，函数有三个不同零点.(2)本题的第3问， ，是一个二次函数，但是由于该二次函数与轴的交点的个数不确定，所以要就判别式分类讨论，分类讨论时结合数形结合比较直观地看到函数的单调性，从而得到零点的个数. 【例3】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数.（1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围. (2) 若由（1）知至多有一个零点. 若，由（1）知当时，取得最小值，.（i）当时，=0，故只有一个零点.（ii）当时，由于0，即，故没有零点.（iii）当时，即.故在只有一个零点.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当时，要先判断的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是要说明，这里利用了放缩法，丢掉了.(3) 当时，要判断上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是，再放缩证明0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性. 【反馈检测2】已知函数，其中为实数，常数.(1) 若是函数的一个极值点，求的值；(2) 当时，求函数的单调区间；(3) 当取正实数时，若存在实数，使得关于的方程有三个实数根，求的取值范围.方法三方程图像法使用情景函数比较复杂，不方便解方程，也不容易求函数的单调性.解题步骤先令,重新构造方程,再画函数的图像分析解答.【例4】【2017江苏，14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上, 其中集合，则方程的解的个数是 . 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8 【点评】直接求方程的解的个数比较困难，所以转化为方程的解的个数. 所以要先化出函数和函数的图像，再分析它们的交点个数，即得到方程的解的个数.【例5】函数 （1）当时，若函数与的图象有且只有3个不同的交点，求实数的值的取值范围；（2）讨论的单调性【解析】（1）当时，由题得，两式相减得，故令，故当时，；当时， ；当时，；，故【点评】（1）由于函数与函数的图像不好画，即使能画出来，也不方便研究两个函数图像的交点个数，所以把交点转化成方程组的解来解答，再转化成方程的解来解答，再分离参数化成的形式，利用数形结合分析解答. （2）对于一个函数如果不方便解方程，也不方便画图，则可以尝试利用重新构造方程，再分别画出函数和函数的图像分析解答.【例6】函数的零点个数是 个. 当时， 所以函数在上只有一个零点.综上所述，函数零点个数为2.【点评】（1）函数是一个分段函数，求出每一段的函数的零点个数再相加即可. （2）上面一段宜选用解方程的方法求零点，因为它可以整理成一个关于的一元二次方程. 下面的一段宜选用图像法求零点.因为它的单调性比较容易求得. (3)要想灵活选择，主要取决于熟练生巧. 【反馈检测3】设函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数与图象的交点个数 高考数学热点难点突破技巧第05讲：函数的零点问题处理方法参考答案【反馈检测1答案】 【反馈检测2答案】（1）；（2）的单调增区间是，；的单调减区间是，；（3）的取值范围是.【反馈检测2详细解析】(1) 因为是函数的一个极值点，所以，即.而当时，可验证：是函数的一个极值点.因此. (2) 当时，令得，解得，而.所以当变化时，、的变化是极小值极大值因此的单调增区间是，；的单调减区间是，； (3) 当取正实数时，令得，当时，解得.在和上单调递增，在上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值，极小值，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当时，当时，.因此当时，关于的方程一定总有三个实数根，结论成立；当时，的单调增区间是，无论取何值，方程最多有一个实数根，结论不成立.因此所求的取值范围是. 【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是, 单调递减区间是；（2）【反馈检测3详细解析】（1）函数的定义域为 （2）令,问题等价于求函数的零