高中数学 第三章 不等式 3_4 不等式的实际应用学案 新人教b版必修5

34不等式的实际应用学习目标1.能根据实际情境建立不等式模型，并能用相关知识作出解答.2.掌握一元二次不等式与均值不等式在实际问题中的应用知识链接下列各命题正确的有_(1)(x1)(2x)0的解集是x|1x2；(2)x2 9的解集是x|3x0的解集是x|x3；(5)不等式ax2bxc0的解集是全体实数的条件是a0且b24ac0(x1)(x3)0，所以解集是x|x3；对于(5)，当ab0且c0也满足题意，故不正确预习导引1解不等式的应用题解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解所列出的不等式(组)，最后再结合问题的实际意义写出答案2一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2bxc0(a0)恒成立ax2bxcq0，方案第一次(提价)第二次(提价)甲p%q%乙q%p%丙(pq)%(pq)%经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？解设商品原价为a，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N甲、N乙、N丙，则N甲a(1p%)(1q%)，N乙a(1q%)(1p%)，N丙a1(pq)%1(pq)%a(1)2.显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a(1)2与a(1p%)(1q%)的大小N甲N丙a11(2pqp2q2)(pq)2N甲，按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大规律方法一般说来，谁优、谁劣、谁省，哪一种方案更好，涉及比较的应用题，常常作差比较得出正确结论跟踪演练1有一批货物的成本为A元，如果本月初出售，可获利100元，然后可将本利都存入银行已知银行的月利息为2%，如果下月初出售，可获利120元，但货物贮存要付5元保管费，试问是本月初还是下月初出售好？并说明理由解若本月初出售到下月初获利为m元，下月初出售获利为n元则m100(100A)2%1020.02A.n1205115，故nm130.02A，令nm0，得A650.当A650元时，本月初、下月初出售获利相同当A650元时，nm0即nm，本月初出售好当Am，下月初出售好要点二均值定理在实际生活中的应用例2提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)解(1)由题意知，当0x20时，v(x)60；当x200，v0；当20x200时，设v(x)axb.由已知，得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)根据题意，由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，当x20时，其最大值为60201 200；当200，100，S100.S的最大允许值是100 m2.(2)取得此最大值的条件是40x90y，而xy100，由此求得x15，即铁栅的长应是15 m.要点三一元二次不等式在生活中的应用例3某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)由题意得y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0x1)，整理得y6 000x22 000x20 000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0x，所以投入成本增加的比例应在(0，)范围内规律方法不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键跟踪演练3在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲0.1x0.01x2，S乙0.05x0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任解由题意列出不等式S甲0.1x0.01x212，解得x30.S乙0.05x0.005x210.解得x40.由于x0，从而得x甲30 km/h，x乙40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任要点四不等式的恒成立问题例4设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求实数m的取值范围解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10.若m0，4m0.4m0.故实数m的取值范围是(4,0(2)方法一要使f(x)m5在x1,3上恒成立就要使m(x)2m60时，g(x)在x1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.综上所述：实数m的取值范围是(，)方法二当x1,3时，f(x)m5恒成立，即当x1,3时，m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m.函数y在1,3上的最小值为，只需m 即可故实数m的取值范围是(，)规律方法有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)首先考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解跟踪演练4当a为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R?解当a210时，a1或1.若a1，则原不等式为10，恒成立若a1，则原不等式为2x10，即x，不合题意，舍去当a210时，即a1时，原不等式的解集为R的条件是解得a Dx答案B解析由题意知A(1x)2A(1a)(1b)，即x11.2若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2(0x240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ()A100台 B120台 C150台 D180台答案C解析y25x0.1x25x3 0000，x250x30 0000，解得x150或x200(舍去)3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里答案5解析设仓库到车站距离为x公里，则y1，y2k2x且 k120，k2，则两项费用之和Sx8(万元)，当且仅当x.即x5公里时，两项费用之和最小为8万元4某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与单价P元之间的关系为P1602x，生产x件所需成本为C50030x元，该厂日产量多大时，每天获利不少于1 300元？解由题意得(1602x)x(50030x)1 300，化简得x265x9000，解得20x45.答该厂每天产量在20件至45件之间时，每天获利不少于1 300元. 1解不等式实际应用题的解题思路2建立一元二次不等式模型求解实际问题操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解3应用均值不等式解决实际问题(1)理解题意，