高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第80讲 圆锥曲线中的最值和范围问题的解法

第80讲 圆锥曲线中的最值和范围问题的解法【知识要点】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于： 通过参数简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题. （5）利用数形结合分析解答.【方法讲评】方法一几何法解题方法结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.【例1】已知动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为（1）求动点的轨迹方程； （2）若已知，在动点的轨迹上且，求实数的取值范围 解得，故所求的轨迹方程为. 【方法点评】本题就是利用了椭圆的几何性质来构造不等式求参数的取值范围.【反馈检测1】已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点（）求椭圆的标准方程；（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围；（）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值 方法二函数解题方法把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.【例2】已知抛物线的焦点到准线的距离为.过点作直线交抛物线与两点(在第一象限内).(1)若与焦点重合,且.求直线的方程;(2)设关于轴的对称点为.直线交轴于. 且.求点到直线的距离的取值范围. (2)可求.故为等腰直角三角形,设. 即.设 从而, 即, 又.点到直线的距离为【点评】函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视. 【反馈检测2】已知分别为椭圆的上、下焦点,是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点, 且（1）求椭圆的方程;（2）与圆相切的直线交椭于,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围. 方法三基本不等式解题方法先建立函数的模型，再利用基本不等式求函数的最值.【例3】已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，有一个顶点为，（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围. （1）当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，； （2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为, 由方程组 消去， 并整理得， 设, 又有，则 ， ， ， .且 综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是： 【点评】利用基本不等式求函数的最值时，要注意创设情景，保证一正二定三相等.【反馈检测3】设椭圆中心在原点，焦点在轴上，短轴长为4，点（2，）在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设动直线交椭圆于两点，且，求的面积的取值范围.（3）过（）的直线:与过（）的直线:的交点（）在椭圆上，直线与椭圆的两准线分别交于两点，求的值. 方法四三角函数解题方法先建立三角函数的模型，再利用三角函数的性质分析解答.【例4】椭圆的切线与两坐标轴分别交于两点 ， 求的最小面积 . 【点评】（1）写出椭圆参数方程，设切点为，可得切线方程.（2）建立三角函数模型后，再利用三角函数的性质分析解答. 【反馈检测4】椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是_. 方法五数形结合法解题方法一般先找到“数”对应的“形”，再利用几何分析的方法解答. 【例5】给定点，已知是椭圆上的动点，是右焦点，当取得最小值时，试求点的坐标. 【点评】数形结合的关键是找到“数”对应的“形”，再利用几何分析解答.【反馈检测5】已知椭圆 和直线:，在上取一点 ，经过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆 ，求在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 . 【反馈检测6】双曲线的左焦点为，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第80讲：圆锥曲线中的最值和范围问题的解法参考答案 【反馈检测1答案】（）; （）或;（）详见解析【反馈检测1详细解析】（）由题意得： 所以 又因为点在椭圆上，所以，可解得所以椭圆标准方程为 （）由题意：设点，,因为不在坐标轴上，所以直线的方程为化简得： 同理可得直线的方程为 【反馈检测2答案】（1） ；（2） 【反馈检测2详细解析】（1）由题知,所以,又由抛物线定义可知,得,于是易知,从而,由椭圆定义知,得,故,从而椭圆的方程为 （2）设,则由知,且, 又直线与圆相切,所以有,由,可得 【反馈检测3答案】（1）；（2）；（3）8.【反馈检测3详细解析】（1）因为椭圆: （过（2，） ，故可求得2，2 椭圆的方程为 （2）设，当直线斜率存在时设方程为，解方程组得，即，则，即（*），要使，需使，即，所以， 即 将它代入（*）式可得到的距离为又将及韦达定理代入可得 （3）点P（）在直线:和：上，故点（）（）在直线上故直线的方程，上 又（）在椭圆：有故168 【反馈检测4答案】（）【反馈检测4详细解析】由椭圆的知焦点为（,0）,（,0）.设椭圆上的点可设为.为钝角 = 解得： 点横坐标的取值范围是（）.【反馈检测5答案】，. 【反馈检测6答案】9【反馈检测6详细解析】