高中数学 第四章 函数应用 4_2 实际问题的函数建模学案 北师大版必修1

4.2 实际问题的函数建模非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对*百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。核心必知1实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容2用函数模型解决实际问题(1)数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合(2)常用到的五种函数模型：直线模型：一次函数模型ykxb(k0)，图像增长特点是直线式上升(x的系数k0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型ykx(k0)反比例函数模型：y(k0)型，增长特点是y随x的增大而减小 指数函数模型：yabxc(b0，且b1，a0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b1，a0)，常形象地称为指数爆炸对数函数模型，即ymlogaxn(a0，a1，m0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a1，m0)幂函数模型，即yaxnb(a0)型，其中最常见的是二次函数模型：yax2bxc(a0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(a0)在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等3函数建模(1)定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模(2)过程：如下图所示问题思考1用水清洗一堆蔬菜上残留的农药对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)试规定f(0)的值，并解释f(0)的实际意义提示：f(0)1，表示没用清水清洗时，蔬菜上的农药将保持原样2某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用常用五种函数模型中的哪种？提示：对数型函数3今有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则最佳体现这些数据关系的函数模型是下列四个函数中的哪个？ulog2t；u2t2；u；u2t2.提示：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它散点图如图所示，由散点图可知，图像不是直线，排除项；图像不符合对数函数的图像特征，排除项；当t3时，2t22326，4，由表格知当t3时，u4.04，模型u能较好地体现这些数据关系讲一讲1.某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(tN)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(tN)(天)之间的关系如下表：第t天5152030Q件35252010(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)根据表中提供的数据，确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额每件的销售价格日销售量)尝试解答(1)由已知可得：P(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为Qt40(0t30，tN)(3)由题意y当0t25，t10时，ymax900，当25t30，t25时，ymax(2570)29001 125，故当t25时，日销售金额最大且最大值为1 125元在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型练一练1甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？解：(1)由图可知，直线y甲kxb经过(1,1)和(6,2)，可求得k0.2，b0.8.y甲0.2(x4)同理可得y乙4.故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为261.231.2(万只)；(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只；(3)设第x年规模最大，即求y甲y乙0.2(x4)40.8x23.6x27.2的最大值函数图像对称轴为x2， 因为xN，当x2时，y甲y乙31.2，即第二年规模最大，为31.2万只讲一讲2我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？尝试解答(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v0，可得05log2，解得Q10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧量Q80代入所给公式，得v5log25log2815(m/s)即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：(1)解函数关系已知的应用题确定函数关系式yf(x)中的参数，求出具体的函数解析式yf(x)；讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案(2)解函数关系未知的应用题阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解练一练2某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？解：设此商品每个售价为x元时，每日利润为y元，当18x30(当提价12元时销售量为零，故x30)时，有y605(x18)(x10)5(x20)2500.即在商品提价时，当x20时，每日利润y最大，最大利润是500元当10490，此商品的售价应定为每个20元讲一讲318世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？尝试解答由数值对应表作散点图如图由图采用指数型函数作模型，设f(x)abxc.代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得：()()得b2，代入，得解得f(x)2x.f(5)5.2，f(6)10，符合对应表值，f(4)2.8，f(7)19.6，所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处在土星外面是天王星，它与太阳的距离大约是19.6天文单位对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据练一练3某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式yf(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？解：(1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上，设此直线为ykxb，y3x150(xN)，经检验点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y3x150(xN)(2)依题意有Py(x30)(3x150)(x30)3(x40)2300，当x40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求yf(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数yf(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米错解(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为2002005%200(15%)；经过2年后木材蓄积量为200(15%2)；经过x年后木材蓄积量为200(15%x)所以yf(x)200(15%x)(xN)；(2)函数图像如图所示设x年后木材蓄积量为300万立方米则200(15%x)300，所以x5%1，x10.所以，经过10年，木材蓄积量达到300万立方米错因第x年的木材蓄积量不是200(15%x)，而是200(15%)x，是指数型函数关系，而不是倍数关系正解(1)现有木材蓄积量为200万立方米经过1年后木材蓄积量为2002005%200(15%)；经过2年后木材蓄积量为200(15%)200(15%)5%200(15%)2；所以经过x年后木材蓄积量为200(15%)x.所以yf(x)200(15%)x(xN)(2)作函数yf(x)200(15%)x(x0)图像，如图所示：x0123y200210220.5231.5作直线y300，与函数y200(15%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值因为8x09，则取x09，所以经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是()A分段函数 B二次函数C指数函数 D对数函数解析：选A根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数2据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()Ay0.95m By(10.05)mCy0.9550xm Dy(10.0550x)m解析：选A根据已知得：ym(15%).3.(江西高考)如右图，|OA|2(单位：m)，|OB|1(单位：m)，OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至点A后停止设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)0)，则函数yS(t)的图像大致是()解析：选A由余弦定理知，cos AOB，求得AB.由已知可知：当t1时，所围成的图形为与三角形ABO相似的三角形，S(t)t2tsin t2，对应的函数图像为开口向上的抛物线的一部分；存在t0，使得当1t0时，甲乙两质点停止运动，S(t)的值恒定不变，对应图像为平行于x轴的直线4.如图表示某人的体重与年龄的关系：体重随年龄的增长而增加；25岁之后体重不变；体重增加最快的是15岁至25岁；体重增加最快的是15岁之前上述判断正确的是_(填序号)解析：由图像易知在50岁之后体重在减轻；25岁之后体重变化不大，但也有改变；在0至15间的线段斜率明显大于在15至25间的线段斜率，故体重增加最快的是15岁之前，正确答案：5某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1)(a为初始量)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到_只解析：由题意知，x1时，y100，即alog22100，a100，y100log2(x1)，当x7时，y100log28300.答案：3006某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？解：(1)对甲茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为802x元，则y1与x之间的函数关系式为：y1x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为8075%60元，则y2与x之间的函数关系式为：y260x(x0，xN)(2)y1y22x280x60x2x220x00x10.答：茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少一、选择题1某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y3x4，则当产量为4时，利润y等于()A4元B16元C85元 D不确定解析：选C当x4时，y34485.2某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t时的距离，下列图像中能大致表示sf(t)的函数关系的为()解析：选C由题中所述，只有C符合题意3在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()Ayabx ByabxCyax2b Dya解析：选B在坐标系中描出表中各点，知拟合函数为yabx.4已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是()Ax60t50t(0t6.5)BxCxDx解析：选D根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可二、填空题5经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数日销售量为f(t)2t100，价格为g(t)t4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)_.解析：日销售额Sf(t)g(t)(2t100)(t4)答案：(2t100)(t4)6一个高中研究性学习小组对本地区2013年至2015年快餐公司发展情况进行了调查，制成该地区快餐公司个数的函数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均情况条形图(如下图)根据图中提供的信息，可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭_万盒解析：根据题意知，三年内共销售盒饭为：30451.5902277.5，平均每年销售盒饭92.5万盒答案：92.57在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m时，球到达最高点，此时球高3 m，已知球门高2.44 m，_踢进球门(填“能”或“否”)解析：建立如图所示的坐标系，拋物线经过点(0,0)，顶点为(6,3)设拋物线解析式为ya(x6)23，把x0，y0代入得a，y(x6)23.当x10时，y(106)232.44.球能射进球门答案：能8某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_解析：总利润L(Q)40QQ210Q2 000年序最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公倾)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(Q300)22 500，故当Q300时，总利润最大值为2 500万元答案：2 500万元三、解答题9某企业根据企业现状实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的.设该企业裁员x人后纯收益为y万元(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？解：(1)裁员x人后，企业员工数为(200x)人，每人每年创纯利润(10.01x)万元，企业每年需付给下岗工人0.4x万元，则y(200x)(10.01x)0.4x0.01x20.6x200.200x200x50，x的取值范围为0x50，且xN；(2)y0.01(x30)2209，0x50，且xN，当x30时，y取得最大值209.该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元10为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示.(1)描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型yf(x)，并画出图像；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？解：(1)描点作图如下：(2)从图中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yabx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用计算器可算得a2.4，b1.8.这样，我们得到一个函数模型：y2.41.8x.作出函数图像如图，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y2.41.825，求得y47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公倾1.函数的零点(1)函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)确定函数yf(x)的零点，就是求方程f(x)0的实数根(3)一般地，如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不间断的一条曲线，并且f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0(a，b)，使得f(x0)0，这个x0也就是方程f(x)0的根(4)一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)0来说，我们可以将它与函数yf(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解(5)判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程f(x)0与函数yf(x)联系起来，并利用函数的图像和性质找零点，从而求出方程的根对于如何判断函数在某区间内是否有零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图像在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0.2实际问题的函数建模解决应用问题的一般程序是：(1)审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为典例1函数f(x)的零点个数为()A0B1C2 D3解析法一：当x0时，由f(x)x22x30，得x11(舍去)，x23；当x0时，由f(x)2ln x0，得xe2，所以函数f(x)的零点个数为2.法二：在坐标系中作出函数f(x)的图像，由图像知，有两个零点答案C借题发挥函数的零点问题常见的有：求零点大小、判断零点个数及零点所在大致区间三类问题常用的解法有解方程法，判定定理法及数形结合法对点训练1在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C. D.解析：选C因为fe43e20，所以f(x)ex4x3的零点所在的区间为.2已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0，f(x2)0解析：选B函数f(x)在(，1)，(1，)上是增函数又x0是f(x)的一个零点，且x1(1，x0)，x2(x0，)，f(x1)0，f(x2)0.典例2已知二次函数f(x)x2(m1)x2，在0,1上有且只有一个零点，求实数m的取值范围解(1)当方程x2(m1)x20，在0,1上有两个相等的实根时，有解得m12，1m3，此种情况不存在(2)当方程x2(m1)x20有两个不相等实根时，有且只有一根在0,1上，有即m4.综上所述，实数m的取值范围m4.借题发挥(1)解决此类问题，通常是结合图像，从判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值、图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的条件(2)函数问题与方程问题可以相互转化，结合使用数形结合的方法解决问题对点训练3已知函数f(x)(xa)(xb)1(ab)，且m，n是方程f(x)0的两个根(mn)，则实数a，b，m，n的大小关系可能是_解析：由函数f(x)(xa)(xb)1，我们可以看到a，b为g(x)(xa)(xb)的零点，且f(a)f(b)1，f(m)f(n)0，如图，则应有amnb.答案：amnb4已知函数f(x)x2xm的两个零点都在区间(0,2)内，求实数m的取值范围解：函数f(x)x2xm的对称轴为直线x.若使两个零点都在区间(0,2)内，需满足即解得0m，故m的取值范围为.典例3某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元设每套设备实际月租金为x元(x270元)，月收益为y元(总收益设备租金收入未租出设备费用)(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x为何值时，月收益最大？最大值是多少？解(1)设每套设备实际月租金为x元(x270元)时，未租出的设备为套，则未租出的设备费用为元；租出的设备为套，则月租金总额为元所以yx200.1x265x540.(2)由(1)得y0.1x265x5400.1(x325)211 102.5.则当x325时，y取最大值为11 102.5，即当每套设备实际月租金为325元时，月收益达到最大值11 102.5元借题发挥解决这类问题需要根据题中量与量之间的关系，选取恰当的变量作为自变量，利用已知的等量关系或隐含的等量关系建立函数模型，然后利用函数知识求解对点训练5医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表.天数123456病毒细胞个数12481632已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，lg 20.301 0)解：(1)由题意知病毒细胞个数y关于天数n(nN)的函数关系式为y2n1(nN)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则2n1108，两边取对数，解得n27.6，即第一次最迟应在第27天注射该种药物；(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为2262%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为2262%2x.由题意2262%2x108，两边取对数得26lg 2lg 22xlg 28，解得x6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物6某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图、图、图所示，其图中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系，图中的拋物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系，图中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)，国外市场的日销售量g(t)，每件产品的销售利润q(t)与第一批产品的上市时间t的函数关系式；(2)第一批产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？解：(1)f(t)g(t)t26t(0t40)q(t)tN.(2)日销售利润h(t)q(t)f(t)g(t)当0t20时，易知h(t)在区间0,20上递增h(t)maxh(20)6 000.当20t30时，h(t)926 400.当t27时，h(t)maxh(27)6 399.当30t40时，h(t)h(30)6 300.综上h(t)maxh(27)6 399.所以第27天这家公司的日销售利润最大，最大为6 399万元（时间：90分钟 满分120分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在区间(0,1)上有零点的一个函数为()Af(x)x21Bf(x)x32x3Cf(x)x32x2 Df(x)x22x3解析：选Cf(0)f(1)0验证知只有C符合此条件2函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：选B逐个验证知：f(1)30，f(0)20010，f(1)f(0)0.3方程logx2x1的实数根的个数为()A0 B1C2 D不确定解析：选B令y1logx，y22x1，作出图像，由图像可知，两函数的图像只有一个公共点，所以方程logx2x1有一个实数根4用二分法求函数f(x)x3x2的零点时，初始区间大致可选为()A(0,2) B(1,2)C(2,3) D(2,4)解析：选Bf(0)40，f(1)10，f(2)70，f(3)0，f(4)0，则有f(1)f(2)0.5某水果市场规定，批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3 000元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为x千克，小王付款后剩余现金y元，则y与x之间的函数关系为()Ay3 0002.5x(100x1 200)By3 0002.5x(100x1 200)Cy3 000100x(100x1 200)Dy3 000100x(100x1 200)解析：选Ay30002.5x，由得100x1 200.6函数yx与函数ylg x的图像的交点的横坐标(精确到0.1)约是()A1.3 B1.4C1.5 D1.6解析：选D设f(x)lg xx，经计算f(1)0，f(2)lg 20，所以方程lg xx0在1,2内有解应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知D符合要求7若函数f(x)3ax12a在(1,1)上存在零点，则a的取值范围是()A1a BaCa1 Da1或a解析：选D由题意知：f(1)f(1)0，而(15a)(a1)0，或得a1或a.8若函数f(x)是偶函数，定义域为xR|x0且f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有()A唯一一个 B两个C至少两个 D无法判断解析：选B由已知条件，得f(2)0，画出函数f(x)的大致图像如下图所示，可知f(x)有两个零点9若x0是方程xx的解，则x0属于区间()A. B.C. D.解析：选C令f(x)xx，f(1)10，f0，f0，f0，f(x)在内有零点10一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元这位个体户为获利最大，则这批货()A月初售出好B月末售出好C月初或月末售出一样D由成本费的大小确定解析：选D设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100(x100)2.4%；若月末售出时，可获利为1205115(元)；比较100(x100)2.4%1152.4%(x525)当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11函数yx2axb的零点为2和3，则函数f(x)bx2ax1的零点是_解析：由23a,23b得a5，b6，f(x)6x25x1，令f(x)0，得6x25x10，x1，x2.答案：、12用二分法求方程x346x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为_解析：设f(x)x36x24，显然f(0)0，f(1)0，又f36x240，下一步可断定方程的根所在区间为.答案：13已知关于x的方程x22(m3)x2m140的两实根一个比3小，一个比3大，则m的取值范围是_解析：设f(x)x22(m3)x2m14，则所求转化为f(x)与x轴的交点分别在点(3,0)的两侧时m的取值范围借助f(x)的图像可知，只需f(3)0即可，由f(3)96(m3)2m140，解得m的取值范围是m.答案：14.某批发商批发某种商品的单价P(单位：元/千克)与数量Q(单位：千克)之间的函数关系如图所示，现此零售商仅有现金2 700元，他最多可购买这种商品_千克解析：由题意可得批发这种商品所需费用y(元)与数量Q(千克)之间的函数关系式为y从而易得30502 70030100，故该零售商购买这种商品的数量应在50与100之间，故所购商品的数量最多为90千克答案：90三、解答题(本大题共4小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)画出函数f(x)x2x1的图像，并利用二分法说明方程x2x10在0,2内根的情况解：图像如图所示因为f(0)10，f(2)10，所以方程x2x10在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)10，所以f(1)f(2)0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)0.250，所以f(1.5)f(2)0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)0.312 50，所以f(1.5)f(1.75)0，根在区间(1.5，1.75)内，这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根16(本小题满分12分)已知关于x的函数y(m6)x22(m1)xm1恒有零点(1)求m的取值范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为4，求m的值解：(1)当m60即m6时，函数为y14x5显然成立当m60时，由4(m1)24(m6)(m1)36m200，得m，当m且m6时，二次函数有零点综上所述，m.(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有x1x2，x1x24，4.解得m3，且当m3时，m60，0，符合题意m的值为3.17(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 012xlog2 012x，试确定f(x)在R上的零点个数解：函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.log2 0122,2 0121，log2 0121,2 0121，f0，f0，f(x)2 012xlog2 012x在区间内存在零点易知f(x)在(0，)上是单调增函数，f(x)在(0，)内有且只有一个零点，根据奇函数的对称性可知，函数f(x)在(，0)内有且只有一个零点综上可知函数在R上的零点个数为3.18(本小题满分14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？解：(1)设投资债券收益与投资额的函数关系为f(x)k1x，投资股票的收益与投资额的函数关系为g(x)k2，由图像得f(1)k1，g(1)k2，f(x)x(x0)，g(x)(x0)(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20x万元yf(x)g(20x)(0x20)令t，则yt(t24t20)(t2)23.所以当t2，即x16时，收益最大，ymax3万元模块综合检测(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(新课标全国卷)已知集合Mx|3x1，N3，2，1,0,1，则MN()A2，1,0,1B3，2，1,0C2，1,0 D3，2，1解析：选C由交集的意义可知MN2，1,02函数f(x)的定义域是()A4，) B(10，)C(4,10)(1