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第06讲:导数中的双参数问题的处理【知识要点】 对于导数中的单参数问题(零点问题、恒成立问题和存在性问题),大家解答的比较多,一般利用分离参数和分类讨论来分析解答. 对于双参数这些问题,大家如何处理呢?一般利用下面分离次参法和反客为主法两种方法处理.【方法讲评】方法一分离次参法使用情景不等式中含有两个参数(主参数和次参数)和一个自变量,并且次参数比较容易分离.解题步骤一般先分离次参,变成单参数的问题处理.【例1】已知函数(1)若函数与函数在点处有共同的切线,求的值;(2)证明:;(3)若不等式对所有,都成立,求实数的取值范围【解析】(1),与在点处有共同的切线,即, 设,故在上是增函数,在上是减函数,故,;(3)由题得不等式对所有的,都成立,因为,所以,所以,即所以,所以【点评】对于不等式,里面有两个参数和一个自变量,形式比较复杂,所以我们可以想到转化和化归的思想,想方法把双参数变成单参数,这个方法就是分离参数. 由于题目求的是的范围,所以我们称是主参数,是次参数.第(3)问首先分离次参,最后得到了的取值范围,因此这种方法可以称为“分离次参法”. 【反馈检测1】已知,设函数.(1)存在,使得是在上的最大值,求的取值范围;(2)对任意恒成立时,的最大值为1,求的取值范围.方法二反客为主法使用情景含有两个参数和一个自变量,但是次参数系数有正有负,不便分离.解题步骤把次参数看成自变量,把自变量看成参数,构造一次函数解答.【例2】已知函数若不等式对所有,都成立,求实数的取值范围 因为,所以 所以令所以函数在上是增函数,在上是减函数,所以所以 综合得.【点评】(1)在中,是自变量,要求的范围,所以是主参,是次参.(2)对于不等式,由于,有正有负,不便分离次参,所以我们要构造一次函数反客为主,中把次参看成自变量,把看作参数,利用一次函数的性质分析解答.(3)一次函数在上恒成立,只须满足.(4)对于“分离次参”的题目,也可以利用反客为主的方法解答.【反馈检测2】已知函数,.()讨论的单调性;()对于任意,任意,总有,求的取值范围. 【反馈检测3】已知函数.(1)当时,解关于的不等式;(2)若对任意及时,恒有成立,求实数的取值范围. 高中数学热点难点突破技巧第06讲:导数中的双参数问题的处理参考答案【反馈检测1答案】(1);(2) . 当时,在单调递增,在递减,在单调递增,即,当时, 在单调递增,在单调递减,满足条件,综上所述:时,存在,使得是在上的最大值.(2)对任意恒成立,即对任意恒成立,因为的最大值为1,所以,所以,恒成立,由于,则,当时,则,若,则在上递减,在上递增,则,在上是递增的函数.,满足条件,的取值范围是.【反馈检测2详细解析】()则当时,恒成立,即递减区间为,不存在增区间;当时,令得,令得,递减区间为,递增区间;综上:当时,递减区间为,不存在增区间;当时,递减区间为,递增区间;()令,由已知得只需即若对任意,恒成立,即令,则设,则在递减,即在递减即的取值范围为【反馈检测3答案】()() (2)由题意知对任意及时,恒有成立,等价于,当时,由得,因为,所以,从而在上是减函数,所以,所以,即,因为,所以,所以实数的取值范围为. 非常感谢上级领
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