高考数学二轮复习 第2部分 八大难点突破 难点5 复杂数列的通项公式与求和问题学案

难点五复杂数列的通项公式与求和问题(对应学生用书第71页)数列在高考中占重要地位，应当牢记等差、等比的通项公式，前n项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等数列求和问题中，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题一、数列的通项公式数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前n项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点1由数列的递推关系求通项由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法：(1)an1anf (n)型，采用叠加法(2)f (n)型，采用叠乘法(3)an1panq(p0，p1)型，转化为等比数列解决2由Sn与an的关系求通项anSn与an的关系为：an【例1】(2017江苏省南京市迎一模模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2an(nN*)(1)证明：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)若bn(2n1)an2n1，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式2 010的n的最小值解(1)证明：当n1时，2a1a11，a11.2anSnn，nN*，2an1Sn1n1，n2，两式相减得an2an11，n2，即an12(an11)，n2，数列an1为以2为首项，2为公比的等比数列，an12n，an2n1，nN*；(2)bn(2n1)an2n1(2n1)2n，Tn32522(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n1，两式相减可得Tn3222222322n(2n1)2n1，Tn(2n1)2n12，2 010可化为2n12 010，2101 024,2112 048满足不等式2 010的n的最小值为10.点评利用anSnSn1求通项时，注意n2这一前提条件，易忽略验证n1致误，当n1时，a1若适合通项，则n1的情况应并入n2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示二、数列的求和常见类型及方法(1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项和；(4)anbncn，数列bn，cn分别是等比数列和等差数列，采用错位相减法求和【例2】(扬州市2017届高三上学期期末)已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且对任意nN*，an1an2(bn1bn)恒成立(1)若Ann2，b12，求Bn；(2)若对任意nN*，都有anBn及成立，求正实数b1的取值范围；(3)若a12，bn2n，是否存在两个互不相等的整数s，t(1st)，使，成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：56394102】解(1)因为Ann2，所以an即an2n1，故bn1bn(an1an)1，所以数列bn是以2为首项，1为公差的等差数列，所以Bnn2n(n1)1n2n.(2)依题意Bn1Bn2(bn1bn)，即bn12(bn1bn)，即2，所以数列bn是以b1为首项，2为公比的等比数列，所以anBnb1b1(2n1)，所以，因为所以，所以恒成立，即b13，所以b13.(3)由an1an2(bn1bn)得：an1an2n1，所以当n2时，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12n2n1232222n12，当n1时，上式也成立，所以An2n242n，又Bn2n12，所以2，假设存在两个互不相等的整数s，t(1st)，使，成等差数列，等价于，成等差数列，即，即1，因为11，所以1，即2s2s1，令h(s)2s2s1(s2，sN*)，则h(s1)h(s)2s20所以h(s)递增，若s3，则h(s)h(3)10，不满足2s2s1，所以s2，代入得2t3t10(t3)，当t3时，显然不符合要求；当t4时，令(t)2t3t1(t4，tN*)，则同理可证(t)递增，所以(t)(4)30，所以不符合要求所以，不存在正整数s，t(1st)，使，成等差数列点评裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项从而达到求和的目的要注意的是裂项相消法的前提是数列中的每一项均