高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第48讲 简单几何体表面积和体积的求法

第48讲 简单几何体表面积和体积的求法【知识要点】一、扇形的面积（其中代表扇形的弧长，代表扇形的半径，代表扇形的圆心角的弧度数，代表扇形圆心角的度数）,.二、多面体的表面积就是把多面体表面的各个面的面积加起来.名称侧面积()全面积()体 积()棱 柱棱柱直截面周长直棱柱棱锥棱锥各侧面积之和正棱锥棱台棱台各侧面面积之和(+)正棱台表中表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长.三、旋转体的面积和体积公式旋转体的面积公式不能直接求，所以一般利用展开法求得. 全面积和表面积是同一个概念,指围成几何体的各面的面积之和.名称圆柱圆锥圆台球表中分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径， 分别表示圆台 上、下底面半径，表示球的半径.四、与球有关的几个结论：1、与球的截面有关的问题，常用到公式2、长方体的外接球的直径3、求三角形的外接圆的半径常用正弦定理，求三角形的内切圆的半径常用公.4、平面几何里解与圆的弦有关的问题常解半半弦三角形，立体几何里解与球有关的弦的问题常解半半半圆心距三角形. 5、解答与球有关的问题，一般先要找到球心，再解三角形.五、求几何体的面积和体积的方法方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法.方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法.【方法讲评】方法一公式法使用情景几何体是规则的几何体解题步骤先求出几何体表面积和体积公式中的基本量，再代入几何体的表面积和体积公式.【例1】已知中，将沿折起，使 变到，使平面平面（1）试在线段上确定一点，使平面；（2）试求三棱锥的外接球的半径与三棱锥的表面积【解析】（2）由（1）可知，设三棱锥的外接球半径为，可知， 所以三棱锥的表面积为【点评】(1)求三棱锥的外接球半径时，是把三棱锥放到长方体中得到的，这种技巧是求几何体外接球常用的一种方法，我们称之为“模型法”（2）求几何体的表面积时，首先要弄清它的表面是由哪几个部分组成的？再要弄清每一部分是什么几何图形，最后计算每一个图形的面积.否则会把简单的问题复杂化或出现错误.本题的三棱锥的的表面是由四个三角形组成，且每一个三角形都是直角三角形(需要证明). 【反馈检测1】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为和中点.（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的表面积.【例2】已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，, 则球的表面积为（ ） A B C D【点评】本题要求外接球的半径，所以要先求截面圆的半径，所以要先利用余弦定理求再利用正弦定理求外接圆的半径.【反馈检测2】【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_【例3】(2016新课标）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是（ ）A B C D【解析】由题意为直角三角形， 【点评】（1）本题就是求球的半径的最大值，需要先求内切圆的半径的最大值. 本题所求的内切圆的半径为2，所以半径为2的球不可能放在该直三棱柱中，因为它太高，把棱柱上面“拱穿了”，所以球半径的最大值为. (2)如果本题求出的内切圆的半径为1，此时棱柱内的球的半径应该为1，不能取，因为取时，球把棱柱的侧面“拱破了”.所以一定要把内切圆的半径和棱柱的高结合起来分析.【反馈检测3】如图，则图中的阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为_方法二割补法（分割补形法）使用情景几何体是不规则的几何体，或者直接求比较困难.解题步骤先分割或补形，再求分割的各部分的面积和体积或求补形后的几何体的体积，最后求出所求的几何体的体积.【例4】如图，几何体中， 平面， 是正方形， 为直角梯形， ， ， 的腰长为的等腰直角三角形（）求证： ；（）求几何体的体积.【解析】（）证明：因为是腰长为的等腰直角三角形，所以.因为平面，所以. 又，所以.又，所以平面.所以.【点评】求不规则的几何体的体积，常用割补法. 几何体是一个不规则的几何体，根据图形可以分解为四棱锥和三棱锥，几何体的体积就迎刃而解了.【反馈检测4】如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，平面，.（1）求证：平面平面；（2）求该组合体的体积.方法三转换法使用情景一般是三棱锥.解题步骤先变换三棱锥的顶点，再求几何体的体积.【例5】如图所示，在正方体中， 分别为棱， 的中点，且正方体的棱长为.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.因为平面，所以平面平面.【点评】（1）要直接求三棱锥的体积，底面积还比较好求，但是高比较难求，所以要变通.如果换成,三棱锥的高也不是很方便求. (2) 因为，所以平面平面，所以到平面的距离等于到平面的距离.所以利用“同底等高的两个锥体的体积相等”，得到，但是此时三棱锥的高也不容易求，所以还要第二次变换，这时三棱锥的体积就容易求了. （3）利用三棱锥的“变顶点法”结合“同底等高的两个锥体的体积相等”是求解体积问题的有效方法之一. 变换顶点，可以直接在三棱锥的四个顶点内部变换，也可以利用平行关系再变换成其它顶点. 【例6】如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，（）求证：；（）求三棱锥的体积【解析】（）设为的中点，连接， 又平面，且，平面，又平面 （）连接，在中，为的中点，【点评】(1)求三棱锥的体积，如果把作底面，则点到底面的高不易求得，比较复杂，所以这时我们要寻找简单高效的方法. 如果把作底面，求点到底面的距离就方便多了，因为可以证明就是点到底面的距离.把三棱锥的体积转化成三棱锥的体积是本题的关键. (2)本题就是利用了转化化归的思想，把复杂的问题化归成简单的问题. 【反馈检测5】如下图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，,.（1）证明：平面平面；（2）当正四棱锥的高为1时，求几何体的体积. 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第48讲:简单几何体表面积和体积的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）证明见解析；（2）【反馈检测2答案】【反馈检测2详细解析】取的中点，连接.因为 所以因为平面平面，所以平面.设, 所以，所以球的表面积为【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得，所以旋转所形成几何体的体积【反馈检测4答案】（1）证明见解析；（2）.【反馈检测5答案】（1）证明见解析；（2）.【反馈检测5详细解析】（1）证明：直三棱柱中，平面，所以，又，所以平面，平面，所以平面平面.（2）由（1）平面，取