高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法同步配套教学案 新人教a版选修4-5

一 数学归纳法 对应学生用书P39数学归纳法(1)数学归纳法的概念：先证明当n取第一值n0(例如可取n01)时命题成立，然后假设当nk(kN，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法(2)数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：证明当n取第一个值n0(如取n01或2等)时命题正确；假设当nk(kN，kn0)时结论正确，证明当nk1时命题也正确由此可以断定，对于任意不小于n0的正整数n，命题都正确 对应学生用书P39利用数学归纳法证明恒等式例1证明：当n2，nN时，.思路点拨注意到这是与正整数n有关的命题，可考虑用数学归纳法证明证明(1)当n2时，左边1，右边.当n2时，等式成立(2)假设nk(k2，kN)时等式成立，即：(1)当nk1时，.当nk1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n2，nN等式成立利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设1在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n，均有12成立时，(1)第一步检验的初始值n0是什么？(2)第二步归纳假设n2k时(kN)等式成立，需证明n为何值时，方具有递推性；(3)若第二步归纳假设nk(k为正偶数)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立解：(1)n0为2.此时左边为1，右边为2.(2)假设n2k(kN)时，等式成立，就需证明n2k2(即下一个偶数)时，命题也成立(3)若假设nk(k为正偶数)时，等式成立，就需证明nk2(即k的下一个正偶数)时，命题也成立2求证：1(nN)证明：(1)当n1时，左边1，右边1，所以左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，即1.则当nk1时，1.这就是说，当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对任何xN等式都成立用数学归纳法证明整除问题例2求证：x2ny2n(nN)能被xy整除思路点拨本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(xy)有困难，故可考虑用数学归纳法证明证明(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)能被xy整除(2)假设nk(k1，kN)时，x2ky2k能被xy整除，那么当nk1时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1时，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证3用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN)能被9整除证明：当n1时，47127能被9整除命题成立假设nk时命题成立，即(3k1)7k1能被9整除，当nk1时，(3k3)17k113k1377k17(3k1)7k1217k(3k1)7k118k7k67k217k(3k1)7k118k7k277k，由归纳假设(3k1)7k1能被9整除，又因为 18k7k277k也能被9整除，所以3(k1)17k11能被9整除，即nk1时命题成立则可知对所有正整数n命题成立4用数学归纳法证明：1(3x)n(nN)能被x2整除证明：(1)n1时，1(3x)(x2)，能被x2整除，命题成立(2)假设nk(k1)时，1(3x)n能被x2整除，则可设1(3x)k(x2)f(x)(f(x)为k1次多项式)，当nk1时，1(3x)k11(3x)(3x)k1(3x)1(x2)f(x)1(3x)(x2)(3x)f(x)(x2)(x2)(3x)f(x)(x2)1(3x)f(x)，能被x2整除，即当nk1时命题成立由(1)(2)可知，对nN，1(3x)n能被x2整除.用数学归纳法证明几何问题例3平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成(n2n2)个区域思路点拨用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k条直线将平面分成的部分数与k1条直线将平面分成的部分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到nk1时的证明证明(1)当n1时，一条直线把平面分成两个区域，又(1212)2，n1时命题成立(2)假设nk时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了(k2k2)个区域那么当nk1时，k1条直线中的k条直线把平面分成了(k2k2)个区域，第k1条直线被这k条直线分成k1段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了k1个区域，所以k1条直线把平面分成了(k2k2)k1(k1)2(k1)2个区域nk1时命题也成立由(1)(2)知，对一切的nN，此命题均成立用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从nk到nk1时，新增加的量是多少一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k1个中分出1个来，剩下的k个利用假设5求证：凸n边形对角线条数f(n)(nN，n3)证明：(1)当n3时，即f(3)0时，三角形没有对角线，命题成立(2)假设nk(kN，k3)时命题成立，即凸k边形对角线条数f(k).将凸k边形A1A2Ak在其外面增加一个新顶点Ak1，得到凸k1边形A1A2AkAk1，Ak1依次与A2，A3，Ak1相连得到对角线k2条，原凸k边形的边A1Ak变成了凸k1边形的一条对角线，则凸k1边形的对角线条数为：f(k)k21k1f(k1)，即当nk1时，结论正确根据(1)(2)可知，命题对任何nN，n3都成立6求证：平面内有n(n2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n2条线段(或射线)证明：(1)当n2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立(2)假设当nk时，命题成立，即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)那么nk1时，取出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又被这k条直线分成k1部分，所以这k1条直线彼此互相分割成k2kk1(k1)2条线段(或射线)，即nk1时，命题成立由(1)(2)知，命题成立 对应学生用书P411数学归纳法证明中，在验证了n1时命题正确，假定nk时命题正确，此时k的取值范围是()AkNBk1，kNCk1，kN Dk2，kN解析：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.答案：C2某个命题：(1)当n1时，命题成立，(2)假设nk(k1，kN)时成立，可以推出nk2时也成立，则命题对_成立()A正整数 B正奇数C正偶数 D都不是解析：由题意知，k1时，k23；k3时，k25，依此类推知，命题对所有正奇数成立答案：B3设f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析：因为f(n)，所以f(n1)，所以f(n1)f(n).答案：D4如果123234345n(n1)(n2)n(n1)(na)(nb)对一切正整数n都成立，a，b的值可以等于()Aa1，b3 Ba1，b1Ca1，b2 Da2，b3解析：令n1,2得到关于a，b的方程组，解得即可答案：D5观察式子11,14(12)，149123，猜想第n个式子应为_答案：14916(1)n1n2(1)n16用数学归纳法证明：“1427310n(3n1)n(n1)2.nN”时，若n1，则左端应为_解析：n1时，左端应为144.答案：47记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形图形故f(k1)f(k).答案：8设aN，nN，求证：an2(a1)2n1能被a2a1整除证明：(1)当n1时，a3(a1)3a(a1)a2a(a1)(a1)2(2a1)(a2a1)结论成立(2)假设当nk时，结论成立，即ak2(a1)2k1能被a2a1整除，那么nk1时，有a(k1)2(a1)2(k1)1aak2(a1)2(a1)2k1aak2(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak2(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.因为ak2(a1)2k1，a2a1均能被a2a1整除，又aN，故a(k1)2(a1)2(k1)1能被a2a1整除，即当nk1时，结论也成立由(1)(2)可知，原结论成立9有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)n2n2个部分(nN)证明：(1)当n1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)1122，所以n1时命题成立(2)假设nk(k1)时命题成立即k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分则nk1时，在k1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.当nk1时，命题成立综合(1)(2)可知，对一切nN，命题成立10用数学归纳法证明nN时，(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2n1x1).证明：(1)当n1时，左边2cos x1，右边2cos x1，即左边右边，命题成立(2)假设当