高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法教学案 北师大版选修2-2

4 数学归纳法 在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下问题2：这种现象对你有何启发？提示：这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题数学归纳法及其基本步骤：数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证：n1时，命题成立；(2)在假设当nk(k1)时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立1数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明2应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；(2)在证明nk1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法 用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明：1(nN)思路点拨运用数学归纳法由nk到nk1，等式左边增加了两项结合等式右边的结构特点，进一步确定所需要的项及多余项，最后凑成所需要的结构形式即可精解详析(1)当n1时，左边1，右边.左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1)时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合(1)和(2)可知，对一切正整数n等式都成立一点通用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项1用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2(其中nN)证明：(1)当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立(2)假设当nk(kN)时等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么，当nk1时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任何nN都成立2用数学归纳法证明：当nN时，132333n3.证明：(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立(2)假设当nk(kN)时，等式成立，即132333k3.那么，当nk1时，有132333k3(k1)3(k1)3(k1)2(k1)2.即当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知对任何nN等式都成立.用数学归纳法证明不等式例2求证：(n2，nN)思路点拨在由nk到nk1的推证过程中可考虑使用“放缩法”，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用方法之一精解详析(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时不等式成立，即，则当nk1时，所以当nk1时不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN均成立一点通对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口3数列an满足a11且an1an(n1，且nN)，用数学归纳法证明：an2(n2，且nN)证明：(1)当n2时，a222，不等式成立(2)假设当nk(kN，k2)时不等式成立，即ak2(k2)，那么ak1ak2.即当nk1时不等式也成立根据(1)(2)可知：an2对所有n2(nN)都成立4用数学归纳法证明：当nN时，12232nn(n1)n.证明：(1)当n1时，左边1，右边2,12，不等式成立(2)假设当nk(kN)时不等式成立，即12233kk(k1)k，那么，当nk1时，左边122233kk(k1)k1(k1)k(k1)k1(k1)k(k2)(k2)k1(k1)1k1右边，即左边n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0()A1B3C5 D.7解析：n的取值与2n，n2的取值如下表：n1234562n248163264n2149162536由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n4，即n5时，恒有2nn2.答案：C2用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3正确B假设n2k1时正确，再推n2k1正确C假设nk时正确，再推nk1正确D假设nk(k1)，再推nk2时正确(以上kN)解析：因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n2k1正确，再推第(k1)个正奇数即n2k1正确答案：B3凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形的对角线条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 D.f(n)n2解析：凸n边形有f(n)条对角线，每增加1条边，增加的那个顶点对应n2条对角线，它的相邻的两个顶点连成1条对角线，故凸n1边形的对角线条数f(n1)比f(n)多n1条答案：C4用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk到nk1时，不等式左边的变化情况为()A增加B增加C增加，减少D增加，减少解析：当nk时，不等式的左边，当nk1时，不等式的左边，又，所以由nk到nk1时，不等式的左边增加，减少.答案：C5用数学归纳法证明12222n12n1(nN)的过程如下：当n1时，左边1，右边2111，等式成立假设当nk时，等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11，所以，当nk1时等式成立由此可知，对任何nN，等式都成立上述证明的错误是_解析：当nk1时正确的解法是12222k12k2k12k2k11，即一定用上第二步中的假设答案：没有用上归纳假设进行递推6用数学归纳法证明，推证当nk1时等式也成立时，只需证明等式_成立即可解析：当nk1时，故只需证明即可答案：7数列an满足an0(nN)，Sn为数列an的前n项和，并且满足Sn，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明解：由an0，得Sn0，由a1S1，整理得a1，取正根得a11，所以S11.由S2及a2S2S1S21，得S2，整理得S2，取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn.用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，上面已求出S11，结论成立(2)假设当nk(kN)时，结论成立，即Sk.那么，当nk1时，Sk1.整理得Sk1，取正根得Sk1.即当nk1时，结论也成立由(1)(2)可知，对任意nN，Sn都成立8用数学归纳法证明11n(nN)解：(1)当n1时，左式1，右式1，且1，命题成立(2)假设当nk(nN