高中数学 第三单元 导数及其应用 3_3_2 利用导数研究函数的极值（二）教学案 新人教b版选修1-1

33.2利用导数研究函数的极值(二)学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最值如图为yf(x)，xa，b的图象思考1观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值思考2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？思考3怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和最大值？梳理(1)函数的最大(小)值的存在性假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条_的曲线，该函数在a，b一定能够取得最大值与最小值(2)求可导函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤如下：求f(x)在开区间(a，b)内所有_；计算函数f(x)在_和_处的函数值，其中最大的一个为_，最小的一个为_类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数最值问题例1求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(2)f(x)xsin x，x0,2反思与感悟求解函数在闭区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值跟踪训练1求函数f(x)ex(3x2)，x2,5的最值命题角度2含参数的函数最值问题例2已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值反思与感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟踪训练2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值类型二由函数的最值求参数例3已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练3设f(x)x3x22ax.当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值类型三与最值有关的恒成立问题例4设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立反思与感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练4已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围1函数f(x)x33x(|x|0)，若当x(0，)时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论3“恒成立”问题可转化为函数最值问题答案精析问题导学知识点思考1极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)思考2存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)思考3比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值梳理(1)连续不断(2)极值点极值点端点最大值最小值题型探究例1解(1)f(x)2x312x，所以f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.因为f(2)8，f(3)18，f()8，f()8，所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x，x0,2，令f(x)0，解得x或x.因为f(0)0，f(2)，f()，f()，所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).跟踪训练1解f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，函数f(x)在区间2,5上单调递减，当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.例2解f(x)ex2axb，则g(x)ex2axb，g(x)ex2a，x0,1，当g(x)mine02a12a0，即a时，g(x)在0,1上单调递增，故g(x)ming(0)1b；当g(x)ming(0)12a0，即a时，令g(x)0，得xln 2a，当x(x(0,1)变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x0(0，ln 2a)ln 2a(ln 2a,1)1g(x)0g(x)极小值g(x)ming(ln 2a)eln 2a2aln 2ab2a2aln 2ab；当g(x)maxg(1)e2a0，即a时，g(x)在0,1上单调递减，g(x)ming(1)e2ab.综上所述，当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)ming(0)1b；当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)ming(ln 2a)2a2aln 2ab；当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)ming(1)e2ab.跟踪训练2解(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令f(x)0，即3x22ax0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a0时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.跟踪训练3解f(x)x2x2a，令f(x)0，得两根x1，x2.当x(，x1)，(x2，)时，f(x)0，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a，故a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).例4解(1)由题设知f(x)的定义域为(0，)，f(x)，所以g(x)ln x，所以g(x).令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间因此x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)因为g(a)g(x)0成立，即ln a0成立由(1)知，g(x)的最小值为1，所以ln a1，解得0ae.即a的取值范围为(0，e)跟踪训练4解因为f(x)ln x1ln x，所以xf(x)xln x1，所以xf(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa.令g(x)ln xx，则g(x)1.当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，所以x1是g(x)的极大值点也为最大值点，所以g(x)g(1)1.所以ag(x)max1.综上可知，a的取值范围是.当堂训练1Df(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，则函数y在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin ，故选C.34解析f(x)3ax2，f(1)3a6，a2.当x1,2时，f(x)6x20，即f(x)在1,2上是增函数，f(x)在1,2上的最大值为f(2)223c20，c4.4Bf(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2，a0，又函数在(0,1)上有最小值，01，所以0a1.故选B.5e，)解析由f(x)2，得a