高中数学 第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线章末小结学案 新人教b版选修4-1

第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线对应学生用书P43对应学生用书P43平行投影平行投影关键在于注意角度的变换及运动变化和发展的观点的应用，并由此来处理有关图形的投影问题如一个圆在平面上的平行投影可能是一个圆，一个椭圆或者是一条线段，但是由于缺乏具体的量的关系，我们对所成的椭圆不能做出具体的量的关系将圆与平面立体化就形成了平面与圆柱的截面问题例1已知ABC的边BC在平面内，A在平面上的正投影为A(A不在边BC上)当BAC60时、AB、AC与平面所成的角分别是30和45时，求cosBAC.解由题意，ABA30，ACA45.设AA1，则AB，AC1，AC，AB2，BC ，cosBAC.圆柱面、圆锥面的平面截线(1)由两个等圆的内公切线与两条外公切线的交点，切点之间的量的关系具体化，就可以得到相应的数量关系，将其进一步拓广到空间之中就得到了平面与圆柱的截面问题(2)在平面中：由与等腰三角形的两条腰的交点问题进一步推广到空间中的平面与圆锥面的交线问题所采用的方法与以前的平行投影和平面与圆柱面的截面问题相同从不同的方向不同的位置用平面去截圆锥面，其截面的形状不同，由此我们可以得到定理，并可以利用Dandelin双球对定理的结论进行证明和研究其特点例2如图所示，用一个平面分别与球O1、O2切于F1、F2，截圆柱面于G1、G2点，求证所得的截面为椭圆证明如图所示由平面图形的性质可知，当点P与G1或G2重合时，G2F1G2F2AD，G1F1G1F2AD.当P不与G1、G2重合时，连接PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点分别为F1、F2.过P作圆柱面的母线，与两个球分别相交于K1、K2二点，则PK1、PK2分别为两个球的切线，切点为K1、K2.由切线长定理可知：PF1PK1，PF2PK2.所以有PF1PF2PK1PK2ADG1G2.由于AD为定值且ADF1F2，故点P的轨迹为椭圆一、选择题1若一直线与平面的一条斜线在此平面上的正投影垂直，则这条直线与这条斜线的位置关系是()A垂直B异面C相交 D不能确定解析：当这条直线在平面内时，则A成立，当这条直线是平面的垂线，则B或C成立，故选D.答案：D2在空间，给出下列命题：(1)一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面内的正投影相等(2)一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个平面内的正投影垂直(3)一条斜线和它在平面内的正投影所成的锐角是这条斜线和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角(4)若点P到ABC三边所在的直线的距离相等，则点P在平面ABC内的正投影是ABC的内心其中，正确的命题是()A(3) B(3)(4)C(1)(3) D(2)(4)解析：由平行投影的性质知，当两条线段与平面所成的角相等时，才有(1)正确，在(2)中这条直线在平面外时不正确，(3)显然正确；(4)中P点有可能是ABC的旁心答案：A3一平面截圆锥面的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到圆锥顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为()A. BC. D解析：如图为圆锥面的轴截面，则AB8，SA6，SB10，SAB90，cosASB，cosASPcos .cosBPHsinASP .椭圆离心率e.答案：C4边长为2的等边三角形所在平面与平面所成的角为30，BC，A在内的正投影为O，则BOC的面积为()A. BC. D解析：取BC的中点D，连接AD，OD，则ADO为二面角的平面角，ADO30，cos30，又SABC，SBOC.答案：B二、填空题5P为ABC所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所成角均相等，又PA与BC垂直，那么ABC的形状可能是_正三角形等腰三角形非等腰三角形等腰直角三角形(将你认为正确的序号全填上)解析：设点P在底面ABC上的正投影为O，由PA、PB、PC与平面ABC所成角均相等，得OAOBOC，即点O为ABC的外心，又由PABC，得OABC，得AO为ABC中BC边上的高线，所以ABAC，即ABC必为等腰三角形，故应填.答案：6两个大小不等的球相交，交线为_答案：圆7在三棱锥PABC中，PAPBPCBC，且BAC.则PA与底面ABC所成角为_解析：P在底面ABC的正投影为BC中点D，设PAPBPC2，则PD，AP2，PAD.答案：8一圆柱面底半径为2，一截面与轴成60，从割平面上、下放入圆柱面的两个内切球，使它们都与截面相切，则这两个切点的距离等为_解析：由已知可知截线为一个椭圆，并且其长轴长为2a，短轴长为2b224，所以2c .答案：三、解答题9设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120，当圆锥的一截面与轴成45角时，求截得二次曲线的形状及离心率解：由题意知60，45，满足CDBAB故截线是椭圆答案：B7一个平面去截一个球面，其截线是()A圆 B椭圆C点 D圆或点解析：当截面与球相切，其截线是切点，相交时截线是圆答案：D8对于半径为4的圆在平面上的平行投影的说法错误的是()A投影为线段时，线段的长为8B投影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8C投影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8D投影为圆时，圆的直径可能为4解析：由平行投影的性质易知D说法错误答案：D9如图，圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为()A10 cmB. cmC5 cm D5 cm解析：如图是圆柱的侧面展开图，则AC长为圆柱面上从A到C的最短距离设圆柱的底面半径为r，则r.底面圆周长l2r5，AB.ADBC5，AC (cm)答案：B10如右图，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积为()A20B16C14 D8解析：由已知圆柱底面半径r2.即直径为4.设截面与圆柱母线成角，则sin ，cos .几何体的最长母线长为22acos 255.用一个同样的几何体补在上面，可得一个底半径r2，高为7的圆柱，其体积为V22728.所求几何体的体积为V14.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填写在题中的横线上)11用一个平面去截一个正圆锥面，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：_，_，_，_.解析：如图答案：圆抛物线椭圆双曲线12在正方体ABCDABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于E，交CC于F.则四边形BFDE一定是平行四边形四边形BFDE有可能是正方形四边形BFDE在底面ABCD的正投影一定是正方形平面BFDE有可能垂直于平面BBDD.以上结论正确的为_(写出所有正确的结论编号)解析：由面面平行的性质定理知正确；当E、F分别为中点时，所得的四边形为菱形，但不是正方形，且此时平面BFDE平面BBDD.故不正确，正确；D、E、F在底面上的正投影分别为D、A、C，故正确答案：13若圆柱的一正截面(垂直于轴的截面)的截线为半径r3的O，该圆柱的斜截面与轴线成60角，则截线椭圆的离心率e_.解析：依题意，在椭圆中，a2 ，br3，c ，e.答案：14如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy(其中y轴与y轴重合)所在的平面为，xOx45.(1)已知平面内有一点P(2，2)，则点P在平面内的射影P的坐标为_；(2)已知平面内的曲线C的方程是(x)22y220，则曲线C在平面内的射影C的方程是_解析：(1)可知二面角y为45，点P到y轴的距离为2，所以点P到y轴的距离为2cos452，点P的y轴坐标与点P的y轴坐标相同，故点P的坐标为(2,2)(2)曲线C的方程可化为y21，是一个椭圆设O(，0)，因为1，故中心O在面内的射影O的坐标为(1,0)令曲线C长轴的一个端点A(2，0)，由上问可知其对应的射影为A(2,0)，曲线C短轴的一个端点B(，1)，对应的射影为B(1,1)，由O，B，A三点坐标可知曲线C是一个以(1,0)为圆心，1为半径的圆，方程为(x1)2y21.答案：(2,2)(x1)2y21三、解答题(本大题共4个小题，共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)求证：三角形的中位线平行射影具有不变性证明：已知：ABC，DE是其中位线，它们的平行射影分别是ABC和DE，如下图，求证：DE仍然是ABC的中位线证明：连接AA、EE、CC，则AAEECC.AEEC，AEEC.同理，ADDB.DE是ABC的中位线16(本小题满分12分)平面与圆锥面的轴l垂直，则交线是什么曲线？设圆锥底面半径为R，高为h，顶点S到截面的距离为h1(R，h，h1均为正常数)解：因为l(垂足为O1)，所以平面O所在的平面设P为交线上的任意一点，过点P作圆锥的母线SQ，连接PO1，QO，则PO1为平面SQO与平面的交线，QO为平面SQO与O所在的平面的交线所以PO1QO.于是.即.因此PO1r(常数)所以点P到定点O1的距离为常数r，故交线为一个圆17(本小题满分12分)圆锥面S的母线与轴线的夹角为30，圆锥面内有两个相切的内切球，半径分别为r1、r2(r1r2)求r1与r2的比解：设球心分别为O1，O2，如图则SO12r1SO22r2，O1O22r22r1，又O1O2r1r22r22r1r1r2.r23r1r1r213.18(本小题满分14分)在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记0)，求证时，平面与圆锥的交线为双曲线证明：当时，平面与圆锥面的两部分相交在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面的两个切点分别是F1、F2，与圆锥两部分截的圆分别是S1、S2.在截口上任取一点P，连接PF1、PF2，过P作母线分别和两球切于Q1、Q2，则PF1PQ1，PF2PQ2.|PF1PF2|PQ1PQ2|Q1Q2，Q1Q2是两圆S1、S2所在平行平面间的母线段长，为定值，由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线模块综合检测对应学生用书P49(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图所示，在ABC中，M是BC的中点，AN平分BAC，BNAN，若AB14，AC19，则MN的长为()A2B2.5C3 D3.5解析：延长BN交AC于D，则ABD为等腰三角形，ADAB14.故CD5.又M，N分别是BC，BD的中点，MNCD2.5.答案：B2在ABCD中，E是AD的中点，AC、BD交于O，则与ABE面积相等的三角形有()A5个 B6个C7个 D8个解析：利用三角形面积公式，等底等高的两个三角形面积相等，再利用平行四边形的面积为中介，建立面积相等关系答案：C3在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AEEB21，AFDE于G，交BC于F，则AEG的面积与四边形BEGF的面积比为()A12 B14C49 D23解析：易证ABFDAE.故知BFAE.因为AEEB21，故可设AE2x，EBx，则AB3x，BF2x.由勾股定理得AFx.易证AEGABF.可得SAEGSABFAE2AF2(2x)2(x)2413.可得SAEGS四边形BEGF49.答案：C4圆锥面S的母线与轴线的夹角为30，其内切球的半径为1，则切点圆的面积为()A. BC. D解析：设球心为O，切点圆的圆心为O1，如图，由ASO30，OA1，OASA得O1A.SO1A2.答案：D5如图，在梯形ABCD中，ADBC，BAD135，以A为圆心，AB为半径，作A交AD、BC于E、F两点，并交BA延长线于G，则的度数是()A45 B60C90 D135解析：的度数等于圆心角BAF的度数由题意知B45，所以BAF1802B.答案：C6在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，不能判定DEBC的是()AAD5，AB8，AE10，AC16BBD1，AD3，CE2，AE6CAB7，BD4，AE4，EC3DABAC9，ADAE8解析：对应线段必须成比例，才能断定DE和BC是平行关系，显然C中的条件不成比例答案：C7.如图所示，PA切圆于A，PA8，直线PCB交圆于C，B，连接AB，AC，且PC4，ADBC于D，ABC，ACB，则的值等于()A. BC2 D4解析：要求，注意到sin ，sin ，即，又PACPBA，得.答案：B8.已知：如图，ABCD中，EFAC交AD、DC于E、F，AD，BF交于M，则下列等式成立的是()AAD2AEAMBAD2CFDCCAD2BCABDAD2AEED解析：四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ABDC.DFAB，.DMBC，.EFAC，.，AD2AEAM.答案：A9若D是ABC的边AB上的一点，ADCACB，AD5，AC6，ABC的面积是S，则BCD的面积是()A.S BSC.S DS解析：ADCACB，SADCSACB(ADAC)22536.SABCS，SACDS.SBCDSSS.答案：D10如图，四边形ABCD内接于O，BC是直径，ADDC，ADB20，则ACB，DBC分别为()A15与30 B20与35C20与40 D30与35解析：ADB20，ACBADB20.又BC为O的直径，的度数为18040140.D为的中点，的度数为70.DBC35.答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填写在题中的横线上)11.如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，ADCE于D，若AD1，ABC30，则圆O的面积是_解析：在O中，ACDABC30，且在RtACD中，AD1，AC2，AB4，又AB是O的直径，O的半径为2，圆O的面积为4.答案：412如图，在RtABC中，C90，以BC为直径作半圆交AB于D，过D作半圆的切线交AC于E，若AD2，DB4，则DE_.解析：由切割线定理得：AC2ADAB2612.所以AC2.连接CD，可证：ECED，AEDA.所以AEED，所以EDAEECAC.答案：13如图，AB，CD是圆O内的两条平行弦，BFAC，BF交CD于点E，交圆O于点F，过A点的切线交DC的延长线于点P，若PCED1，PA2，则AC的长为_解析：PA是O的切线，由切割线定理得PA2PCPD.PA2，PC1，PD4.又PCED1，CE2，由题意知四边形ABEC为平行四边形，ABCE2.连接BC，如图，PA是O的切线，PACCBA.AB，CD是圆的两条平行弦，PCACAB，PACCBA，AC2PCAB2，AC .答案：14如图，在RtABC中，C90，AC4，BC3，以BC上一点O为圆心作O与AB相切于E，与AC相切于C.又O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为_解析：在RtABC中，AB 5.连接OE，则OBEABC，即，OE，BDBC2OE3.答案：三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)如图，ABC中，BAC90，ADBC交BC于点D，若E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，求证：.证明：E是RtADC斜边AC的中点，AEECDE.EDCECD，又EDCBDF，EDCECDBDF.又ADBC且BAC90，BADECD，BADBDF，又AFDDFB，DBFADF.又RtABDRtCBA，因此.16(本小题满分12分)(新课标全国卷)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE; (2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明：(1)由题设