高中数学 黄金100题系列 第65题 空间角的计算 理

第65题空间角的计算非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对*百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。I题源探究黄金母题【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.(1)求证:PA/平面EDB;(2)求证:PB平面EFD;(3)求二面角C-PB-D的大小.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）600.【解析】如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1.（3）解:已知PBEF,由(2)可知PBDF,故EFD是二面角C-PB-D的平面角.设点F的坐标为(x,y,z),则.因为,所以,所以(1,1,-1)(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0,所以，点F的坐标为。又点E的坐标为，所以，因为，即EFD=600，即二面角C-PB-D的大小为600.【点睛】直线与平面平行与垂直的证明,二面角大小的求解是高热点中的热点,几乎每年必考,而此例题很好的展现了,用向量方法证明直线与平面平行与垂直,还给出了用向量方法求二面角的大小. II考场精彩真题回放【例2】【2017课标II理10】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】C【解析】分析：如图所示，补成四棱柱 , 则所求角为 因此 ，故选C。【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。【例3】【2016高考浙江】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90沿直线AC将ACD翻折成，直线AC与所成角的余弦的最大值是_【答案】【解析】分析：设直线与所成角为设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，作于，翻折过程中，始终与垂直， ，则，因此可设，则，与平行的单位向量为，所以，所以时，取最大值【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与平行的单位向量和，进而可得直线与所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线与所成角的余弦值的最大值【例4】【2017浙江9】如图，已知正四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角为，则ABCD【答案】B【解析】设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等.【例5】【2017课标3理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】由题意， 是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由 ，又AC圆锥底面，在底面内可以过点B，作 ，交底面圆 于点D，如图所示，连结DE，则DEBD， ，连结AD，等腰ABD中， ,当直线AB与a成60角时， ，故 ，又在 中， ，过点B作BFDE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性 , 为等边三角形， ，即AB与b成60角，正确，错误.由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，直线 与 所成的最大角为90，错误.正确的说法为.【例6】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出ABAP，CDPD.而ABCD ，就可证明出AB平面PAD.进而证明平面PAB平面PAD.（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设是平面的法向量，是平面的法向量，根据垂直关系，求出和，利用数量积公式可求出二面角的平面角.解析：（1）由已知，得ABAP，CDPD.由于ABCD ，故ABPD ，从而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，.所以，.设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.则，所以二面角的余弦值为.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.【例7】【2017课标II理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明略；(2) 。【解析】分析：(1) 取的中点，连结，由题意证得，利用线面平行的判断定理即可证得结论；(2)建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，然后利用空间向量的结论可求得二面角M-AB-D的余弦值为。解析：（1）取的中点，连结，。因为是的中点，所以,由得，又,所以。四边形为平行四边形，。又平面，平面，故平面。（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，设则，因为BM与底面ABCD所成的角为45，而是底面ABCD的法向量，所以， ，即。又M在棱PC上，设,则 。由，解得 (舍去)，。所以，从而。设是平面ABM的法向量，则即所以可取。于是 ，因此二面角的余弦值为。【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。(2)设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有|cos |cos|=。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。【例8】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】(1)证明略；(2) .【解析】（1）由题设可得，从而 ,又是直角三角形，所以,取AC的中点O，连接DO,BO,则DOAC,DO=AO,又由于ABC是正三角形，故.所以为二面角 的平面角.在RtAOB中， .又 ，所以 ，故 .所以平面ACD平面ABC.（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得 .故 .设是平面DAE的法向量，则即 可取 .设是平面AEC的法向量，则同理可得 .则 .所以二面角D-AE-C的余弦值为 .精彩解读【试题来源】新课标人教A版 选修2-1第109页，例题4【母题评析】需要明确运用空间向量法求解二面角的基本步骤，建系，找点求出法向量，向量数量积求二面角余弦【思路方法】思路方法上；运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论【命题意图】考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择填题或解答题的形式出现，难度中档.【难点中心】关于空间角计算的难点在于，概念不清，在较为复杂的几何环境下无法准确的找出空间角对应的平面角。即空间想象能力不足。III理论基础解题原理1.空间角的概念考点一异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(2)范围：.考点二直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)范围：. 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90和0.考点三二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)范围：2. 用向量求空间角的方法: (1)线线角：直线与直线所成的角，如两直线的方向向量分别为a，b，则.(2)线面角：直线与平面所成的角，如直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则.(3)面面角：两相交平面所成的角，两平面的法向量分别为n1，n2，则cos|cosn1，n2|.判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况来决定cos|cosn1，n2|还是cos|cosn1，n2|.IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选填题或解答题的形式出现，难度中档。【技能方法】1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移2线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解3利用综合法求线面角与二面角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角(2)证：证明找出的角即为所求的角(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角【易错指导】两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角V举一反三触类旁通考向1空间线与线所成的角【例1】【2018哈尔滨模拟】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是AB的中点，则D1B与CM所成角的余弦值为()A. B. C. D.【答案】C 【例2】【2018兰州模拟】已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_ 【答案】 方法二：如图，将该直三棱柱补充成直四棱柱，其中CDAB且CDAB，则可得AB1DC1且AB1DC1，图中BC1D即为异面直线AB1与BC1所成的角或所成角的补角在BC1D中，BC1，DC1，BD，所以cosBC1D.故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.【例3】【2018海淀区校级期末】如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点（1）求证：EF平面ABC1D1；（2）四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为16，求异面直线EF与BC所成的角的大小【答案】（2）由（1）知EFD1B，故D1BC即为异面直线EF与BC所成的角，四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为16，四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球的半径R=2，设AA1=a，则，解得a=，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BC平面CDD1C1，CD1平面CDD1C1，BCCD1，在RTCC1D1中，BC=2，CD1=，D1CBC，tanD1BC=，则D1BC=60，异面直线EF与BC所成的角为60【点评】本题考查了异面直线所成角的定义以及求法，线面平行的判定定理，球的表面积公式，以及直四棱柱的结构特征，属于中档题【跟踪练习】1.【2018兰州模拟】已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】连接DF，则AEDF，D1FD为异面直线AE与D1F所 成的角设正方体棱长为a，则D1Da，DFa，D1Fa，cosD1FD2.【2017届浙江省嘉兴联考】正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D3.【2017佛山期末】已知某几何体如图1所示（1）根据图2所给几何体的正视图与俯视图（其中正方形网络边长为1），画出几何图形的侧视图，并求该侧视图的面积；（2）求异面直线AC与EF所成角的余弦值【答案】【点评】本题考查了三视图的画法和异面直线所成的角，属于中档题考向2线与面所成的角【例1】【2014四川理8】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【名师点睛】通过证明直线与平面垂直，构造得到直线与平面所成角的平面角，利用解三角形的知识计算得到其正弦值.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力以及空间想象能力，考查学生空间问题转化为平面问题的转化与化归能力.【例2】【2017兰州模拟】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD.【答案】见解析(2)证明：在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，故AE平面PCD.【例3】【2015高考天津理17】如图，在四棱柱中，侧棱,且点M和N分别为的中点.(I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(I)见解析； (II) ； (III) .【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得.(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量， 由此可得，又因为直线平面，所以平面 (III)依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得， 所以线段的长为.【名师点睛】本题主要考查直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.将立体几何向量化，体现向量工具的应用，即把几何的证明与计算问题转化为纯代数的计算问题，是向量的最大优势，把空间一些难以想象的问题转化成计算问题，有效的解决了一些学生空间想象能力较差的问题.【跟踪练习】1.【2017朝阳区校级期末】正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A B C D【答案】 OB=BM=，OB1=， sinB1BO=，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，DD1BB1，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为故选：A2.【2017临沂三模】已知边长为的正方形ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，若球O的体积为36，则直线OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A B C D【答案】B【解析】设正方形ABCD的中心为M，连结OM，OA，则OM平面ABCD，OAM为OA与平面ABCD所成的角设球的半径为r，则=36，解得r=3，即OA=3，正方形ABCD边长为2，AM=2， cosOAM=故选：B3. 【2018大兴区一模】如图，正方体的边长为2，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，.（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小， 并求线段的长.【答案】（1）详见解析；（2）2.设点，因为点在棱上，所以可设，即，所以，因为向量是平面的法向量，所以，即，解得，所以点的坐标为，所以.考向3二面角【例1】【2017山东理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（）设是上的一点，且，求的大小；（）当，求二面角的大小.【答案】（）.（）.取中点，连接，.得到，从而为所求二面角的平面角.据相关数据即得所求的角.思路二：以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.写出相关点的坐标，求平面的一个法向量，平面的一个法向量,计算即得.试题解析：（）因为，平面，所以平面，又平面，所以，又，因此（）解法一：取的中点，连接，.因为，所以四边形为菱形，所以.取中点，连接，.则，所以为所求二面角的平面角.又，所以.在中，由于，由余弦定理得，所以，因此为等边三角形，故所求的角为.解法二：以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得，故， ，设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.所以.因此所求的角为.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等. 【例2】【2016高考新课标1卷】如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值【答案】（I）见解析（II）由已知,所以平面又平面平面,故,由,可得平面,所以为二面角的平面角,从而可得所以,设是平面的法向量,则;,即,所以可取设是平面的法向量,则,同理可取则故二面角的余弦值为【例3】【2018佛山模拟】如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，.点是边的中点，点、分别在线段、上，且，（1）证明：；（2）求二面角的正切值；（3）求直线与直线所成角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）；（3）（2） 是矩形， ，又平面平面，且平面平面，平面， 平面，又、平面， ， 即为二面角的平面角，在中， 即二面角的正切值为；由余弦定理可得， 直线与直线所成角的余弦值为【跟踪练习】1【2018湖南师大附中模拟】如图6,四棱柱的所有棱长都相等,四边形和四边形为矩形.(1)证明:底面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1) 详见解析 (2) (2)法1:过作的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.底面且底面面面，又面四边形为菱形又且,面面，又面，又且,面面，为二面角的平面角,则且四边形为菱形,则再由的勾股定理可得,则,所以二面角的余弦值为.法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,又面,从而两两垂直,如图以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,不妨设,因为,所以,于是各点的坐标为:,已知是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,取,则,所以,故二面角的余弦值为.2【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面； （）求二面角的正弦值【答案】（）详见解析；（）.（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空