《复数的概念2》PPT课件.ppt

4.1 复数的概念 Ssxxcyh 4.1 复数的概念 知识回顾 对于实系数一元二次方程 ，当时 ， 没有实数根我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中 ， 该问题能得到圆满解决呢？ 解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？ 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类 社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于 计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“ 没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了 解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题 ，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的 量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样 就把数集扩充到有理数集Q. 如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一 起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分数 ，那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值，例如用正方形 的边长去度量它的对角线所得的结果， 无法用有理数表示，为了解决这个矛盾 ，人们又引进了无理数.所谓无理数，就 是无限不循环小数.有理数集与无理数集 合并在一起，构成实数集R.因为有理数 都可看作循环小数(包括整数、有限小数) ，无理数都是无限不循环小数，所以实 数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充， 数集的每一次扩充，对数学学科本身来 说，也解决了在原有数集中某种运算不 是永远可以实施的矛盾，分数解决了在 整数集中不能整除的矛盾，负数解决了 在正有理数集中不够减的矛盾，无理数 解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩 到实数集R以后，像x2=1这样的方程还 是无解的，因为没有一个实数的平方等 于1.由于解方程的需要，人们引入了一 个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了 复数 4.1 复数的概念 自然数 有理数 整数 无理数 实数 复数 数系的扩充 4.1 复数的概念 引入一个新数 ， 叫做虚数单位，并规定： （1）它的平方等于-1，即 （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有 的加、乘运算律仍然成立 形如 的数，叫做复数 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 . N Z Q R C N ZQ R 新授课 很明显, 引进虚数单位后, 有 i 2 = -1, (- i)2=i 2=-1, 所以方程 x2=-1 的解是 x=I 虚数单位的幂的性质: i 4n =1, i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =- i ( nN ) 以上性质叫 i 的周期性. 4.1 复数的概念 新授课 复数的表示： 通常用字母 z 表示，即 当 时，z 是实数a 当 时，z 叫做虚数 当a=0且 时，z =bi 叫做纯虚数 实部 虚部 复数 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 两个复数相等的定义：如果两个复数的 实部和虚部分别相等，那么我们就说这 两个复数相等这就是说，如果a，b，c， dR，那么a+bi=c+di 有 a=c，b=d 复数相等的定义是求复数值，在复数集 中解方程的重要依据 一般地，两个复 数只能说相等或不相等，而不能比较大 小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题：“任何两个复数都不能比 较大小”对吗？不对 如果两个复数都是 实数，就可以比较大小 只有当两个复 数不全是实数时才不能比较大小 复平面、实轴、虚轴： 复数z=a+bi(a、bR)与有序实数对(a，b)是一一对 应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi (a、 bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有 序实数对(a，b)惟一确定，又因为有序实数对(a ，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的， 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集 之间可以建立一一对应的关系. 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a 、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直 角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也 叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应 的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是 z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上 的点都表示纯虚数 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一 一对应关系，即 复数 复平面内的点 复数复平面内的点这是因为，每一个复数有 复平面内惟一的一个点和它对应；反过来， 复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和 它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另 一种表示方法，即几何表示方法. z=a+bi(a、bR)是复数的代数表示法 共轭复数 （1）当两个复数实部相等，虚部互为相反 数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 （虚部不为零也叫做互为共轭复数） （2）复数z的共轭复数用 表示若 z=a+bi(a、bR) ，则 z=abi （3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数 的共轭复数是它的相反数 （4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称 例1请说出 复数的实 部和虚部，有没有纯虚数？ 例2 复数2i+3.14的实部和虚部是什么？ 例3实数m取什么数值时，复数 z=m+1+(m1)i是: (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 例4 已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x， yR，求x与y. 课堂练习： 1.设集合C=复数，A=实数，B= 纯虚数，若全集S=C，则下列结论正确的 是( ) A.AB=C B. A=B C.AB= D.BB=C 2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x2)i为虚数，则实数 x满足( ) A.x= B.x=2或 C.x2 D.x1且x2 3.已知集合M=1，2，(m23m1)+(m2 5m6)i，集合P=1，3.MP=3 ，则实数m的值为( ) A.1 B.1或4 C.6 D.6或1 4.满足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的实数 对(x，y)表示的点的个数是_. 5.复数z=a+bi，z=c+di(a、b、c、 dR)，则z=z的充要条件是_. 6.设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)， 如果z是纯虚数，求m的值. 7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根， 试求实数m的值. 8.已知mR，复数z= +(m2+2m 3)i，当m为何值时， (1)zR; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z= +4i. 4.1 复数的概念 例1 实数m取什么值时，复数 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 解： （1）当 ，即 时，复数z 是实数 （2）当 ，即 时，复数z 是虚数 （3）当 ，且 ，即 时，复数z 是 纯虚数 新授课 小结 ： 1在理解复数的有关概念时应注意： （1）明确什么是复数的实部与虚部； （2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚 部的要求； （3）弄清复平面与复数的几何意义； （4）两个复数不全是实数就不能比较大小。 2复数集与复平面上的点注意事项： （1）复数 中的z，书写时小写，复平面 内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。 （2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)， 而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的 纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。 （3）表示实数的点都在实轴上，表示纯 虚数的点都在虚轴上。 （4）复数集C和复平面内所有的点组成 的集合一一对应： 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊 人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。 英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵） 演变来的。中国古藉易系辞中说：上 古结绳而治， 后世圣人易之以书契。 直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数 理论。 自然数 返回 零不仅表示无，更是表示空位的符号。中国古代用算 筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但 仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度阿拉伯命 数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是 空或空白。 中国最早引进了负数。九章算术方程中论述的正 负数，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的 引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数， 则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自 然数系扩大为整数系。 整数 返回 分 数 原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部 对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。 ”但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其“ 合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这 句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了 一个分数。 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。 返回 为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理 量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进 无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的 正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。 15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它 们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无 理数是有理数序列的极限。 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想 到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪 中叶以前的实际做法。 无理数 返回 实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19 世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识 到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的 理论。在这方面，外尔斯特拉斯（1859年 开始）、梅雷（ 1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872 ）作出了杰出的贡 献。 实数 返回 复数 从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的 形式。用配方法解一元二次