高数同济7版教案第一章-函数与极限.doc

广西民族师范学院数计系高等数学课程教案 课程代码：_ _ 061041210_总学时周学时： 51/3 开课时间： 2015年9 月16 日第 3周至第18周 授课年级、专业、班级：_制药本152班 使用教材：_ 高等数学_同济大学第7版_教研室： _ _数学与应用数学教研室_授课教师：_ _一、课程教学计划表章 次内 容讲 授实 践一函数与极限13二导数与微分8三微分中值定理与导数应用6四不定积分8五定积分6六定积分的应用6七复习4八九总学时51二、教案正文第一章 函数与极限（一）教学目的：1理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4掌握基本初等函数的性质及其图形。5理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6掌握极限的性质及四则运算法则。7了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。（二）重点、难点1重点 函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2难点 函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。（三）教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节 映射与函数一、映射1. 映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则,使得对X中每个元素x, 按法则, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称为从X到Y的映射, 记作f : XY.其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作, 即,元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作, 即。X中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记为 , 或f(X), 即 =f(X)=f(x)|xX. 注意:1)映射的三要素: 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2)对每个xX,元素 x 的像 y 是唯一的; 但对每个yR元素y 的原像不一定唯一 . 例1设 f : RR, 对每个xR, f(x)=x2.f 是一个映射, f 的定义域Df =R,值域 =y|y0. 例2设X=(x, y)|x2+y2=1,Y=(x, 0)|x|1,f : XY,对每个(x, y)X,有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.f 是一个映射, f 的定义域Df=X, 值域 =Y.在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间-1, 1上.2、满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射.（1）若 =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射;（2）若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则称f为X到Y的单射;（3）若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数.3. 逆映射与复合映射逆映射定义：设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个y , 有唯一的xX, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从到X的新映射g, 即g : X,对每个y , 规定g(y)=x, 这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1, 其定义域为 , 值域为X . 按定义，只有单射才存在逆映射。例如, 映射其逆映射为复合映射定义：设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映射成fg(x)Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g,即 f o g: XZ, (f o g)(x)=fg(x), xX . 说明：（1）映射g和f 构成复合映射的条件是： g的值域R必须包含在 f 的定义域内，即R D f .（2）映射的复合是有顺序的,f o g有意义并不表示g o f 也有意义. 即使它们都有意义,f o g与g o f也未必相同.例3 设有映射 g : R-1, 1, 对每个xR, g(x)=sin x, 映射，对每个则映射g和f构成复映射f o g: R0, 1,对每个xR,有二、函数1. 函数的定义：设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于给定的每个数，变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量的取值范围叫函数的值域2. 定义域的求法原则：（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集3. 分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数如称为分段点4. 复合函数若，当的值域落在的定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数5. 反函数设函数的定义域为，值域为对于任意的，在上至少可以确定一个与对应，且满足如果把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：我们称这个新的函数为函数的反函数，而把函数称为直接函数说明：一个函数若有反函数，则有恒等式相应地有例如，直接函数的反函数为，并且有，由于习惯上表示自变量，表示因变量，于是我们约定也是直接函数的反函数6. 函数的性质（1）有界性有界定义：若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上是有界函数；否则，在区间上是无界函数上界定义：如果存在常数（不一定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且任意一个的数都是在区间上的一个上界；下界定义：如果存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且任意一个的数都是在区间上的一个下界显然，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界又有下界（2）单调性严格单调递增：设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数严格单调递增：如果函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数例如，函数在区间内是严格单调减少的；在区间内是严格单调增加的而函数在区间内都是严格单调增加的（3）奇偶性若函数在关于原点对称的区间上满足（或）则称为偶函数（或奇函数）偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的例如，在定义区间上都是偶函数而、在定义区间上都是奇函数（4）周期性对于函数，如果存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数并把称为的周期应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期7. 初等函数基本初等函数图1-1 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数这些函数在中学的数学课程里已经学过（1）幂函数 它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义当或时，定义域为常见的幂函数的图形如图1-1所示图1-2（2）指数函数 它的定义域为，值域为指数函数的图形如图1-2所示图1-3（3）对数函数 定义域为，值域为对数函数是指数函数的反函数其图形见图1-3在工程中，常以无理数e2.718 281 828作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数（4）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4图1-4（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等它们的图形如图1-5所示图1-5 图1-66常量函数为常数 （为常数）定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示初等函数 通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数非初等函数经常遇到例如符号函数，取整函数等分段函数就是非初等函数在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的作业 P16 第1题的（1）、（3）、（5）、（7）、（9）小结与思考：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备1是否为初等函数？第二节 数列的极限一、 数列极限的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的引例 我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明数列的概念 如果按照某一法则，有第一个数，第二个数，这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数就叫做数列数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项例如：都是数列的例子，它们的一般项依次为以后，数列也简记为数列数列极限定义一般地：如果数列与常数有下列关系：对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得对于时的一切，不等式都成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或 如果数列没有极限，就说数列是发散的如：例1 已知，证明数列的极限是0。证 （设e N时就有即 例2 证明析 不能直接解来求N，需变形，放大，再求N。证 解得 取 ，故因此，二、收敛数列的性质性质1（极限的唯一性） 数列不能收敛于两个不同的极限性质2（收敛数列的有界性） 如果数列收敛，那么数列一定有界性质3 如果且，那么存在正整数，当时，有性质4（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是练习 P26 1 、2小结与思考：1 中国古代数学家刘徽在九章算术注中介绍割圆术计算圆周率“割之弥细，所失弥少割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这句话明确的表达了极限思想第三节 函数的极限一、函数极限的定义一般地， 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。1函数当时的极限满足的的范围称作以为中心的邻域，满足的范围称作以为中心，以为半径的去心邻域，记作现在考虑自变量的变化过程为如果在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值，那么就说是函数当时的极限当然，这里我们首先假定函数在点的某个去心邻域内是有定义的函数极限的解析定义：设函数在点的某一去心邻域内有定义如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）上述时函数的极限概念中，是既从的左侧也从的右侧趋于的但有时只能或只需考虑仅从的左侧趋于（记作）的情形，或仅从的右侧趋于（记作）的情形在的情形，在的左侧，在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的左极限，记作或类似地，在的定义中，把改为，那么就叫做函数当时的右极限，记作或根据时函数的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即因此，即使和都存在，但若不相等，则不存在而左右极限统称为单侧极限。注：若极限存在时（1）是唯一的确定的常数；（2）表示从的左右两侧同时趋于； （3）极限的存在与在有无定义或定义的值无关图1-7例1 函数当时的极限不存在证 当时的左极限，而右极限，因为左极限和右极限存在但不相等，所以不存在（图1-7）2函数当时的极限我们知道，当时越来越接近零如果函数当无限增大时，取值和常数要多接近就有多接近，此时称是当时的极限，记作函数极限的解析定义：设函数当大于某一正数时有定义如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）注：若（1）是唯一的确定的常数；（2）既表示趋于，也表示趋于如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作如果时，取值和常数要多接近就有多接近，我们称是当时的极限，记作显然，存在的充分必要条件是二、 函数极限的性质定理1 函数极限唯一性。与数列极限的唯一性一致定理2 函数极限的局部有界性。与数列极限的有界性类同定理3（极限的局部保号性） 如果，而且（或），那么就存在着点的某一去心邻域，当在该邻域内时，就有（或）定理1 如果（），那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有定理2 如果在的某一去心邻域内（或），而且，那么（或）练习P33 1、3小结：本节讲述了各种趋势下的极限的定义第四节 无穷大与无穷小前面我们研究了 数列的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限、 函数的极限，这七种趋近方式下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式，即一、无穷小定义1 当在给定的下，以零为极限，则称是下的无穷小量，即无穷小与函数极限的关系:定理1 函数具有极限A的充分必要条件是，其中是无穷小.一、无穷大定义2 当在给定的下，无限增大，则称是下的无穷大量，记作显然，时，都是无穷大量， 时，都是无穷小量注：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势无穷小与无穷大的关系：定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大例1 当时，是 （ ）A） 无穷小 B） 无穷大 C） 有界函数 D） 无界的但不是无穷大分析：取，则，此时取，则，此时答案：D作业 P37 2、4小结与思考：本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质，注意不要错误的利用这些性质求极限 分析：含有绝对值符号，必须去掉绝对值，要考虑从左、右极限入手解：=所以 原极限=1 第五节 极限运算法则本节讨论极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限在下面的讨论中，记号“”表示定理对及都是成立的定理1有限个无穷小的和也是无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1常数与无穷小的乘积是无穷小推论2有限个无穷小的乘积是无穷小定理3如果，那么存在，且（1）证因，由1.4定理1有，其中为无穷小于是由定理1知为无穷小，再由定理知定理可推广到有限个函数的情形例如，如果都存在，则有如果，那么存在，且（16）推论1如果存在，为常数，则推论2如果存在，为正整数，则定理4如果，且，则存在，且（17）以上定理和推论对于数列也是成立的定理5 如果，而都存在，那么例1 求解 事实上，设多项式，则例2 求解因所以 如果，其中都是多项式，如果，则但必须注意，如果，则关于商的运算法则不能应用，需要特别考虑例3 求解当时，分子分母的极限都是零，所以不能运尖用商的运算法则但时，所以例4 求解因为，不能商的运算法则但，故由定理4得例5 求解 例6 求解 例7 求解 因为，所以更一般地，当，和为非负整数时，有例8 求解 当时，分子分母的极限都不存在，不能应用商的运算法则但，而是时的无穷小，是有界函数，所以根据定理6，有前面已经看到，对于有理函数（有理整函数或有理分式函数），只要在点处有定义，那么时的极限必定存在且等于在点的函数值一般地，如果函数具有上述性质，即，就称函数在点连续因此有理函数在其定义域内的每一点处都是连续的我们指出：一切基本初等函数在其定义域内的每一点处都是连续的因此，如果为基本初等函数，其定义域为，而，则有例如，是基本初等函数，它在点处有定义，所以下面介绍一个半球复合函数求极限的定理定理6 设函数当时的极限存在且等于，即，而函数在点连续，那么复合函数当时的极限存在且（18）证明从略因为，所以公式（18）又可写成例9 求解 例10 求解 作业 P45 1、（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13），2，3小结与思考：本节讨论了极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限1. 求解 2. 求解 .第六节 极限存在准则 两个重要极限准则I 如果数列、及满足下列条件: (1),(2) ,那么数列的极限存在，且准则I 如果函数、及满足下列条件: (1), (2),那么存在, 且注：在上面的定理中，记号“”下面没有标明自变量的变化过程。实际上，定理对及都是成立的