数学教学中的题型解法系统与结构策略系统.doc

数学教学中的 题型 解法 系统与 结构 策略 系统宁德市教师进修学院宋寿生该文发表于中小学数学高中版2010第7、8期，是数学决策教学研究的最新成果。引言：数学决策在教学中的困惑与突破方向在当前的数学教学中，不少教师把课程目标具体化为题型-解法系统，这在教学设计、考试命题、课辅编写以及学生的知识组织等方面都有很强的可操作性与便利性，成了一种事实上不言而喻的行业标准。必须承认，题型-解法系统在教学中有合理的一面。在大多数情况下，题型训练保证了多数学生在基本技能与规则方面取得扎实可靠的学习成果；对一部分教师与学生而言，还促进了学生知识体系的有组织化，提高解题能力以及真正意义上的问题解决能力。在认知结构中，支持问题解决的认知过程，以决策为核心，可以称之为决策系统。题型-解法系统与决策系统有共同或互通的方面，但两者并不完全一致。因此，以题型-解法系统为核心的教学，与决策能力的发展并不准确对应。有些成功的例子是歪打正着，或者打了擦边球，他们通常不可复制和推广。这在教学实践中体现为教学质量过度依赖于生源质量，以及切线录取的优质生源在教学中迅速两极分化。在课堂教学中，哪种教学对决策能力的发展是有利的，这在细节上很难把握，正面的作用与负面的作用一样难以准确控制，不同的教师个体差异很大。为了让大家有一套明确的概念与观念来把握教学对决策的促进，我们在高中新课程中数学决策的教学一文中提出了数学决策的教学范畴。在近三年的探索中，我们发现，这一范畴在引导教师观察、评价各种教学现象中起到很好的作用，但在具体的教学设计与课堂教学中，很多老师还是无法把握数学决策，他们经常想的是数学决策，但教的是题型解法，有人总结说，数学决策看得到，但摸不着。为什么会出现这种情况呢?我们发现，按照当前流行的学习成果分级体系，在决策的教学中，通过问题解决来获得高级规则.这虽然强调了问题解决，但最后的学习成果却定位为高级规则的获得，从而建立问题-规则系统.于是，原来旨在通过问题解决来提高决策能力的数学学习过程最终又变成以强化题型与方法的联结为目标的题海战术.另一方面，广为流传的变式训练的教学策略，在具体实施中，大多是针对题型来设置变式，最终所有这些变式又被固定成子题型.所有这些，在具体教学中最终都难以避免地走向以题型-方法系统为核心的教学范式，又回到策略规则化、规则机械化的轨道上.在更详细的考察中，我们还发现：作为可能解决问题的规则，策略在过程中能够很鲜明地体现出来，但在结果中，它的可能性却不容易表述；在组织知识时，我们只能看到题型-解法系统，看不到巧妙地把握了可能性的策略。因此，直接从基本规则与高级规则之间的活动环节上去把握只在过程中体现出来的数学决策，作为一种教学规范是远远不够的。经过一番探索之后，我们终于把目光移到决策发生之前，于是发现：对具体数学对象的不同把握方式，是规则行为与决策行为产生分化的最初原因.在此基础上，我们可以进一步探索建立以结构为核心的教学范式的可能性.一、教学中的数学结构范畴(一)用数学结构来概括数学对象数学决策的教学难点，在于如何把握一般策略与具体数学知识的结合.目前我们所见到的认识心理学或教育心理学研究，都只是指出这一解决方向，而没有提供具体方法.为此，我们在教学中引用数学结构一词。在这里，它不是指数学上严格定义的结构体系，而是根据它的词汇意义，用来概括构成一个数学对象整体的各个要素以及要素与要素之间的关系，在此基础上进一步用来统称一切具体的数学对象.利用这一统称，我们可将具体的数学对象描述为具有某种属性的数学结构.比如：一个方程，我们可以称它为一个代数结构，或者一个可解(或不可解)的关系结构；一个三角形，可以称它为一个几何结构，或者一个二维平面上的结构；在解三角形的场合，当一个三角形具备一组可解条件的时候，我们也可以说它是一个二维平面上基本的可解的结构；一个椭圆，我们可以说它既有数的结构，又有形的结构；等等.作为在数学教学或者数学思维中引用的表述方式，它们的思想方法内涵是显而易见的，直接体现了一般策略与具体数学知识的结合.在数学建模的背景下，数学结构这一统称也有着十分独到的意义.因为任何事物都有它内在的数量关系与空间形式，所以我们可说它们具有客观的数学结构.数学建模的含义就可以理解为设法建立(构造或找出)这些数学结构；又因为我们建立的结构大多不是客观的数学结构本身，而是一种反映，是一种近似或模拟，所以建立起来的数学结构只能称之为数学模型.这一统称还可以进一步从建模角度对一些数学概念进行描述，比如函数可以描述为反映变量之间相互依赖关系的数学结构，我们在建模过程中构造的某事物的近似函数结构，可以称为这一事物的函数模型，它作为函数结构，是精确的，但作为函数模型，是近似的.总之，数学结构这一统称清晰地蕴含了客观数学结构与纯粹数学结构二者的对立统一，对学生形成正确的数学观念十分有利.在纯粹数学背景下，上述作为教学范畴的数学结构与作为数学范畴的数学结构不是一回事，但将二者不加区分地相提并论，并不会引起太大的问题.事实上，虽然作为教学范畴的数学结构可以完全基于结构的基本词汇意义来界定，但将各种数学对象统称为数学结构，就蕴含了将它们化归为几个简单、基本的数学结构及其组合的可能性，也蕴含了通过自反抽象构造出新结构的可能性，这与严格意义上的数学结构思想是一致的.考虑到在具体教学中很难、也不太必要向中学生介绍严格定义的数学结构体系，上述统称的表述更为合适；又由于它并不局限于纯粹的数学形式与严格的公理系统，因而更能启迪数学思想、激发思维灵感.(二)结构分析是数学决策的起点在将数学对象统称为数学结构的基础上，我们可以进一步理清运用规则的起点与决策活动的起点之间的细微区别，找出它们产生分化的最初机制.认知心理学的研究结果表明，程序性知识执行的起点是模式识别.由此可以判断，作为基本规则的基本数学技能，比如四则运算、解一元一次方程等的执行起点，就是模式识别，整个过程就是：模式识别规则运用.模式识别本身，更接近于是一种自动化的基本技能，比如判断一个式子是加法算式或者一元一次方程，看出一个平面图形是三角形，等等.获得高级规则的整个问题解决过程的起点，肯定也是模式识别，但其中最为关键的决策过程，是不是始于模式识别呢?这里的情况有点复杂.一方面，在具体的教学中，由于部分教师对教学内容的题型化处理以及在此基础上的机械训练，通常在事实上高级规则是直接引用或经简单组合后再引用的，引用或组合的起点被训练成了模式识别，即通常所见的识别题型套用解法的思维模式.有时，高度熟练的训练效果使得高级规则的引用方式接近于条件反射.这就是我们所说的策略规则化，规则机械化.这种训练而成的模式识别并不是程序性知识执行过程中合理的、必要的模式识别，我们称之为题型识别.另一方面，认知心理学的研究表明，高级规则的获得，是决策的结果，而不是条件反射般的直接引用；程序性知识的不恰当的自动化(产生式合并)，导致决策行为的缺失，会使错误不被觉察，使具体情境中的新信息不被关注.事实证明，在这种旨在获得考试高分的题型识别训练策略之下，所得到的方法很难迁移.因此，模式识别或题型识别并不是一般意义上有效的决策起点.从最初的合理的、必要的模式识别到最后的高级规则之间，在整个问题解决的过程中，高级规则是数学决策的结果，但数学决策之前是什么呢?教师应该如何把握学生决策活动的起点，在自动化的惯性中找到转机呢?我们把决策简单概括为对策略做出选择，又把策略定义为可能解决问题的规则，所以制定策略的关键就是对解决问题的可能性做出判断，而对可能性做出判断的关键是对数学结构的属性进行考察，进而探索它的问题空间.我们把这里的考察结构属性，探索问题空间称为结构分析.这样，从模式识别到高级规则的完整的问题解决过程就是：模式识别结构分析数学决策高级规则.在结构分析的过程中，对具体数学对象的属性描述+结构统称的表述方式，提供了十分清晰、有效的结构关联与思想提示，引导学生在比较高的视角上把握不同知识的交会，看清不同数学结构之间的可能的联系与转化，从而尽量减少在问题空间中的思维盲区与方向混乱.在制定与选择策略的过程中，特别强调结构之间的联系与转化、变换与构造，尽量探索各种可能的组合.在这里，思维的发散性越强、变换与组合的效率越高、探索的意志越强，解决问题的可能性就越大.教师对学生的引导侧重在对问题解决的进度与当前思维状态的把握，形成与具体内容相结合的元认知技能与策略.形成高级规则的过程，是一个实现策略、组织方案与控制细节的过程，以收敛性思维为主.综上所述，数学决策的起点是结构分析.数学决策的教学，应该是一个以建立结构-策略系统为目标的教学体系，也可称之为以结构为核心的教学范式.在教学中如何把握结构与题型的差别、策略与解法的差别成了数学决策的教学关键.二、围绕核心数学结构的教学设计(一)确定核心结构、主要策略与变式系列以结构为起点来建立课堂上的新秩序，首先要构造一个作为活动对象的核心结构，并确定支持活动的主要策略.以二面角的平面角的学习为例，我们假设学生在学习这个内容之前没有学过三垂线定理与向量方法.一个可行的方案是：构造一个四面体作为核心结构，取其中的一个空间四边形来研究二面角的平面角；构造二面角的主要策略是：构造垂直于棱的平面，则它在两个面上的截线就构成二面角的平面角；求二面角的主要策略是：解三角形.为什么选择一个四体呢?因为它具备此类结构的典型要素，而且比较简单.它几乎可以迁移到任何一个研究二面角的场合.为什么称它为核心结构呢?因为我们要围绕这个结构来设置一系列的问题.我们可以设置一些已知边和角，或者给定一条棱与一个面垂直，从不同的角度来构造一系列变式.为什么要把主要的构造策略说成构造直截面，而不干脆引入三垂线定理呢?因为这样有更为灵活的选项与更为明显的化归策略.预期的学习成果是什么?获得关于二面角的平面角的基本的结构-策略系统.对照这个例子，我们还要强调几点：1、核心结构的确定，并没有标准方案，它根据学习的内容、学生的学习情况、教师的教学灵感以及具体教学资源情况来确定.在本例中，画一个标准的二面角，在棱的两边各设置一个三角形，也是一个可用的方案.2、并非只有几何内容才有核心结构，代数内容也一样有.比如等差数列的学习，完全可以以自然数列为核心来构造一系列问题，因为所有的等差数学都是同构的，它们只有首项和公差可能不同，再考虑项数的设置，就足以支持大部分的决策活动.3、几何内容的核心结构也可以不是图形.比如学习解三角形时，我们可以把知三求三的可解结构作为核心结构来设置变式系列.同样，有些代数内容也可以用图形作为核心结构，比如集合运算中的文氏图.4、变式要围绕结构与策略来设计，强调数学思想引导下的决策，而不是所谓高考题型、必考题型的解法模式.(二)围绕核心结构与主要策略进行个别化教学与自主学习设计.决策本身必须是一个自主的思维过程，否则就不是决策了.教师在设置情境、引导思想、提示策略之后，就必须把时间交给学生.面对全体，教师最多做到提示策略，而后在学生进行自主的决策活动的过程，教师必须走下讲台，择机对有学习困难的学生开展个别化教学.这有几个要点：1、许多老师认为课堂上的自主学习与个别化教学是不可能操作的，但事实上，我们这里的设计是完全可以操作的.2、教师要尽量克服只有讲过才放心的习惯.你讲的，学生不一定会掌握；你没讲，但他做了，就一定掌握了.3、课堂上的个别化教学能够产生很多积极的非智力因素，比如学生由于老师的真诚关注而倍受感动，或者自信大增，等等，都有可能彻底改变一个人的学习状态.(三)引导良性分化.课堂分化是不可避免的，但如果造成一部分人课堂上无法跟上，课外也不知如何赶上，那就是恶性分化.1、变式系列入口要宽，保证大多数学生都能入手.2、尽量让绝大多数学生掌握最基本的结构与策略，这样即使他们在课堂上没有取得学习成果，课外也能以基本结构与策略为支架继续学习.这种可延续性的设置十分关键.不能延续到课外的所谓自主学习，并不是真正有意义的自主学习.3、因材施教.不同的学生使用不同的教学策略.比如，好的学生只需观察他，只在必要时略加点拨；中等的学生要引导他们互相交流，互相启发；对真正有困难的学生进行个别化教学.4、小心把握起始年段.在起始年段，学生少有负面的心理因素，且学习基础比较一致，这时教师如果能够非常小心地引导良性分化，以后的教学就会事半功倍.5、良性的分化能够在班级里形成你追我赶的学习状态.三、围绕思想策略主线的教学设计虽然任何数学课堂都少不了具体的数学结构，但是有时教师难以确定一个结构及其变式作为核心结构.在这种情况下，可以确定一条思想与策略的主线，来组织数学活动.比如：三角恒等式的证明.这个内容如果一定要确定某种三角恒等式或三角公式作为核心结构，很有可能将教学引入技巧性的细节中去.但是三角恒等式的证明有一条思想与策略的主线：考察等式两边在角的结构、函数结构与运算结构的差异，设法化简结构、统一形式，逐步削除两边的差异.在这一思想的引导下，可以尝试等式变换、化简、变角优先、切化弦或统一函数名、降次、运算结构的整体代换等变换策略.在具体教学中，每种策略又结合几个课标要求的基本公式进行技能训练，基本就可以达到学习目的了.还有一个重要的数学教学领域就是数学建模与用模.在建模活动中，数学结构是后验的，教师无法事先设置核心数学结构，具体的教学设计同样要围绕思想与策略主线来进行.在用模中，有可能事先会知道结构的大方向，但具体结构同样也不可能提前知道.比如，解三角形的应用，很难找到一个结构可以作为一节课的核心结构，但不难确定一个思想策略主线：构造可解三角形.从整体上看，在当前所见的初、高中数学建模题材，以模型的应用为主，正式的、环节周全的建模活动很少.建模的主要数学思想即我们上文提到的客观数学结构与纯粹数学结构的对立统一，而它的主要策略可以表述为：(1)由于客观数学结构的存在，所以事理中一定包含着数理.因此建模的主要策略，就是在分析事理的基础上，抽象出其中的数量关系与空间形式，并用恰的方式记录与表达，形成数学结构，提出数学问题.整个过程可以概括为由事理到数理.(2)由事理到数理、以数理明事理、用已知的数学结构去刻画具体事物的数学结构，这些用数学结构来统称的表述很好地揭示了建模、用模过程中两种对象的本质的联系.教学中可以用来引导学生组织知识、形成方案.而且，它们还蕴含了当已知的数学结构不够用时，就要设法去创造新的数学结构数学创新机制，在教学中值得关注.(3)对于用模的情形，主要策略也是从事理到数理，所不同的是，它可以利用已知的模型，直接给部分数量关系与空间形式，更快地将现实问题转化为实际问题.(值得重视的是，尽管正式的、环节周全的建模活动很少，但几乎全部的中学数学，都可直接用于描述生活中的数量关系与空间形式，因此，它的整个学习过程，都可以看成是某种形式的数学建模，而不必过于强调数学自身的体系.另文再论.)四、作为认知结构的结构-策略系统在数学结构范畴的基础上，进行围绕核心数学结构的教学设计与围绕思想策略主线的教学设计，这些探索在实践中逐渐形成一个以结构为核心的教学范式.我们建立这样一个教学范式的目的，是使学生通过学习，建立起结构-策略系统的认知结构.在教学实践的过程中，明确努力的目标，有利于我们对具体教学行为做出及时、恰当的调整，有效提高教学质量.在结构方面，首先，我们把具体的数学对象描述为具有某些属性的数学结构，这种描述概括了相关的思想方法，一定程度上实现了认知心理学所说的一般策略与具体知识相结合的形成决策能力的必要前提；其次，因为上述描述所包含的多重属性，对具体数学对象的变换与运算的结果就有了多重的意义，在具体数学活动中就有了产生不同构造的可能性，为策略的制定提供了基础.在策略方面，作为可能解决问题的规则，它的可能性的一面，是在上述产生不同构造的可能性的基础上，根据具体的问题空间来制定；它的规则的一面，与其他规则一样，主要是通过训练达到熟练、快速和准确.上述结构与策略，在数学活动过程中经过分化与整合，形成一个数学结构的图式系统.其中和思想方法相关的部分内容，与学生的元认知系统相结合，对具体的数学决策过程进行监控与调节.这样，以结构-策略系统为学生通过数学学习最终要形成的认知结构，我们可以整理出与之相应的学习成果分级体系：概念与结构技能与规则问题与决策结构与策略上述体系与学习过程相