华南理工材料力学课件第六章.ppt

第六章 弯曲应力 $6.1 梁的弯曲 1横力弯曲 横截面上既有Q又 有M的情况。如AC 、DB段。 2纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没 有剪力时，该段梁的变形 称为纯弯曲。如CD段。 3梁的纯弯曲实验 (1).现现象：横向线a-b变形后仍为 直线，但有转动；纵向线变a-a 变为曲线，且上面压缩下面拉伸 ；横向线与纵向线变形后仍垂直 。 (2)概念： 中性层层：梁内有一层纤维 既 不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维 称中性层。 中性轴：中性层与横截 面的交线。 横截面对称轴 中性轴 中性层 纵向对称面 $6.2纯弯曲时的正应力 1变变形几何关系 从梁中截取出长为dx的一个微段，横截面选用如图所示的 坐标系。图中， y轴为横截面的对称轴， z轴为中性轴。横截面间相对转过 的角度为 ,中性层曲率半径为，距中性层为y 处的任一纵线（纵向纤维）b、b、 为圆弧曲线。 而其线应变为 因此，纵bb的伸长为 梁的纵向纤维间 无挤压，只是发生简 单拉伸或压缩。当横截面上的正应力 不超过材料的比例极限时，可由虎克 定律得到横截面上坐标为y处各点 的正应力为 y z 3静力关系 截面上内力系简化为三个内力分量，即平行 x轴的轴力N，对Z轴的力偶矩MZ ， 和对轴的力偶矩My ， 2物理关系 y z 考虑左侧平衡， ， ，得 横截面上的内力系最终归结为 一个力偶矩 式中积分 上式可写成为 称为梁的抗弯刚度。 将该式代入 ，即可得到弯曲时梁的 横截面上的正应力计算公式 即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹 入的一侧受压。则截面上的最大正应力为 $6.3横力弯曲时的正应力 1横力弯曲时的正应力，横力弯曲时的细长梁， 横截面将不在保持为平面。纵向纤维间 的正应力也存在。但用 纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，能够满足精度的要求 。 横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，在弯矩 最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式 引入符号 截面图形的抗截面模量。 强度条件为 则 高为h ，宽为b的矩形截面： 直径为的圆截面： 例 受均布载荷作用的简支梁如图 所示，试求：（1）11截面上1、 2两点的正应力；（2）此截面上的最 大正应力；（3）全梁的最大正应力； 解：画M图求截面弯矩 求应力 $6.4 弯曲切应力 横力弯曲的梁截面上有弯矩还有剪力。剪力Q是与截面相切的 内力系的合力。 研究方法：分离体平衡。 1矩形截面中的弯曲切应力 在梁上取微段dx，在微段上再 取一块如图，列平衡方程： （1） （2） （3） （3）带入（1）、（2）得 由剪应力互等得 于是 并时有 工字形截面其弯曲剪应 力计算与矩形截面梁类似 。仍然沿用矩形截面梁弯 曲剪应力计算公式 将此式代入弯曲剪应力公式，可得腹板上弯曲剪应力的计算 公式 B y h H b 2工字钢截面 将y=0和y=h/2分别带入上式，得 3圆圆形截面梁 半个圆截面 对中性轴的 静矩 此外 将上式带入 得 2R $6.5梁的正应力和剪应力强度条件 、 提高弯曲强度的措施 梁在弯曲时，横截面上一部分点受拉应力，另一部分点受 压应力。对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力 相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到 许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中 性轴的截面，对于拉压强度不等的材料，拉压应力均不应该 超过各自的许用应力。于是强度条件为 ， ， 1弯曲正应力和剪应力强度条件 例 求T形截面梁的最大切应力。 解：（1）求支反力 （2）作剪力图图 （3）求最大切应力 $6.5 梁的截面形状优化 ，对于宽b ，高为h的矩形， 抗弯截面模量 因此，高度越大， 越大， 在外边缘达到许用应力时，中性轴附近的应力很小，造 成 材料的浪费。例如：圆形截面。理想的情况是将面积之半 分布于距中性轴 处。 越小。 为 A/2 A/2 A AA h a.塑性材料上、下对称 抗弯更好，抗扭差。 b.脆性材料 $6.6等强度梁 截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样 的变截面梁称为等强度梁。 由 得