高中数学教学论文《数学美与数学教学关系初探》.doc

高中数学教学论文数学美与数学教学关系初探我们的教育目的在于使学生在学习过程中德、智、体、美、劳全面发展，其中美育就是审美教育，其目的在于使学生具有美的素养，由此升华而使之具有美的情操，又辨别真善美与假恶丑的能力，并且去为美好的明天、美好的生活而奋斗。学校美育教育的目的就在于使学生掌握一定的美学、美育知识，培养学生感受美、鉴赏美、表现美和创造美的能力，使其得到全面的发展，而学校是实施美育教育的最集中、最主要的场所。在数学教学中，不但应当重视数学教材的德育功能与智育功能，而且应当充分地发挥数学教材的美育功能，研究、挖掘数学美，在数学教学中重视审美教育，应成为数学教育改革的当议之题。一、数学美在数学教学中的地位 数学美在数学教学中具有极其重要的作用，正如苏霍姆林斯基所强调的：我一千次确信，没有一条富有诗意的，感情的和审美的清泉，就不可能有学生全方面的智力发展。”我国当代的数学教育家徐利治教授明确指出：“数学教育的目的之一，应当让学生获得对数学的审美能力，从而既有利于激发他们对数学科学的爱好，也有助于增长他们的创造发明能力。”著名的教育家蔡元培曾经说过：“凡是学校所有课程，都没有与美育无关的。” 1.1以美启真 物理学家海森堡曾指出：“科学的探索者们最初往往是在美的光辉照耀下，去认识和发现真理。”杨振宁讲：“美的追求是科学发展的一个动力，美的鉴赏是作出科学抉择的一个重要条件，在美的探索中形成科研的不同风格，今天我们比以往任何时候都没有理由容许我们放弃这个奇妙的新年。做科学研究是有所谓风格的，每一个人对于规律的美和妙的地方会有不同的感受，他对于一切现象、结论、结构就有偏好，这就发展出他的分割，这个风格影响到他将来研究工作课题的研究方向，影响到他将来研究问题的方法。所以风格有决定性的作用”。在数学研究中，选择的直觉经常表现为美的直觉，正如美国著名的数学家、控制论的创始人冯.诺依曼说：“我认为数学家无论是选择题材，还是判断成功的标准，主要都是美学的。数学家成功与否和它的努力是否值得的主观标准，是非常自足的、美学的，不受（或近乎不受）经验的影响。”著名的数学家汉克尔.赫尔曼认为：“科学直觉直接引导和影响数学家们的研究活动，能使数学家们不在无意义的问题上浪费精力。直觉和审美能力密切相关，这在科学研究中是唯一不能言传而只能意会的一种才能，但这却是每一个有作为的数学家所不可缺少的能力。”著名的数学家韦尔说：“我的工作总是力图把真和美统一起来，但当我必须从二者挑选一个时，我总是选择美。”审美活动与数学研究并不是风马牛不相及的事情，克服数学原理中某些美学因素的不恰，往往会导致数学新理论的建立，就是因为在客观世界中，真与美是统一的，它们是同一事物的两个侧面，对真理的追求必然伴随着对美的追求。由此可见 ，激发学生数学的美感，培养美的直觉，有利于直觉思维的发展，有利于创造性思维能力的培养。 1.2 以美启趣 现代教学论告诉我们，学生是学习的主人，能否激发起学生的学习积极性是我们教学成败的关键。孔子讲：“知之者不如好之者，好之者不如乐知者。”科学史和教育史都证明，审美感成为构成意志行动的主要因素之一，是能够转化探索未知世界的巨大动力的。在数学教学中，一方面可以数与形的形式美启发学生的兴趣，还可以通过数学的结论美、解法美激发学生的兴趣。对于一个喜欢数学的人来说，他之所以喜欢数学，是因为他看到、感觉到这门学问的美。他所谓的对数学的兴趣，其实就是对数学美的欣赏、享受与追求。 1.3以美启德 德育与美育是相辅相成的，数学家在探索数学的艰辛旅程中，一方面总是伴随着对美的热烈追求，另一方面又强烈地表现出他们精神上的种种美德。这些都是审美教育中珍贵的美学因素，数学家对美的执着追求和他们的人生美德，可以启迪学生的智慧，引发学习的兴趣，激励成功的意志，养成献身科学的良好品德。二、数学美在教学过程中的渗透途径初探 进行美育教育就是要提高学生的审美能力，它主要包括审美感知力、审美想象力和审美鉴赏力。法国著名的雕塑学家罗丹曾经讲过：“美是到处都有的。对于我们的眼睛不是缺少美，而是缺少发现。”数学学科包含的内容是真实的、生动的、美好的，它本身充满着情趣。正如我国著名的数学家华罗庚教授所讲的：“就数学本身来说，也是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的”。“仁者见仁，智者见智，美者见美”，教学艺术的美学核心是由方法美和启迪美构成的，方法美是体，启迪美是神，两者是辨证统一的。 数学审美活动是从对数学审美注意开始的，教师要根据特点把学生引向对数学美的注意。所谓在数学教学渗透美育，就是要在传授数学知识的同时，揭示数学美，培养学生对数学美的干支、鉴赏、评价活泼创造的能力，以利于数学教学质量和学生素质的提高。科学审美活动是从科学审美注意开始的，教师要根据特点把学生引向数学美的注意。数学中审美对象主要通过教学语言体现出来，它不是那么直接和鲜明的，更多的要借助于想象活动，具有一定的间接性、模糊性和间接体验性特点。数学美常常是在抽象、概括、推理论证、作图演算等数学活动中产生的。所以感受数学美必须以一定的数学知识水平为前提，对数学美的感受随着数学水平的提高而不断增长，而且这种增长离不开教师的启发和引导。因此在数学教学中渗透美育，重视发挥其美育功能是十分重要的。 数学美的直觉虽然不是一种严格的逻辑思维活动，但是数学美也有其确定的内容。我国著名的数学家和数学教育家徐利治先生指出：“数学美包含数学概念的简单性、统一性、结构系统的协调性、对称性和数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性。”笔者认为，数学美还应当包括数学量的守恒性等方面。数学美的范畴包括以下几个方面： 2.1对称美 在原始的意义上，对称性是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。人们对于数学美是早就有所认识的，古希腊时代数学家就把对称看承数学美的一种基本形式，亚里士多德曾指出：“美是和谐与成比例的。”“秩序和对称是美的重要因素，而这两点都能在数学中找到。”古希腊用圆周运动解释天体的运动，因为在他们看来圆是最完美的图形，它在各方面都是对称的。美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这正是数学教育所应遵循的原则。数学美是人们对客观世界中存在的数量关系和空间形体的本质规律的认识结果，而空间形体及数量关系往往具有某种对称性，反映在数学上便出现了对称性原理，例如代数中的正数与负数、整数与分数、常量与变量、等式与不等式、离散与连续、导数与积分、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方等均呈现出对称性；几何中的轴对称与中心对称以及圆的旋转不变性都是对称的不同表现形式。在数学教学中如果经常渗透对称性的观点，无疑将有助于数学知识的掌握 与巩固，例如在学习黄金分割时，我曾让学生思考黄金分割点是否只有一个，学生从线段的对称性出发，很快得出一条线段的黄金分割点有两个，它们关于线段的中点成中心对称，关于线段的垂直平分线成轴对称。在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。事实上，译自希腊语的这个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形任何一条直径都是它的对称轴。梯形的面积公式：，等差数列的前项和公式：，其中是上底边长，是下底边长，其中是首项，是第项，这两个等式中，与是对称的，与是对称的。h与n是对称的。对称不仅美，而且有用。电磁波的波动方程：其中，为磁场强度，为电场强度，为光速。这个方程中与是对称的，麦克斯韦用纯数学的方法从这些方程中推导出可能存在的电磁波，这种电磁波后来被赫芝发现，由此可得电场与磁场的统一性。对称美的形式很多，对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的，人们对于对称美的追求是自然的、朴素的。如格点对称，十四世纪在西班牙的格拉那达的阿尔汉姆拉宫，存在所有的格点对称，而年才证明出格点对称的种类。此外，还有格度对称，如我们喜爱的对数螺线、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律。从中我们体会到了对称的美与成功。 2.2和谐美“多样”是指整体中所包含的各部分在形式上相互区别的差异性，体现了各个事物个性的千姿百态和丰富变化；“统一”是指整体中所包含的各个部分在形式上的某些共同特征，以及它们之间的相互呼应和衬托关系，体现了各个事物共性和整体联系。如果只有统一，世界是单调乏味、呆板机械的世界；而只有多样，世界是杂乱无章、纷繁散漫的世界。只有把多样与统一综合起来考察，既要在统一中见多样，又要在多样中见统一，使人感到既丰富又单纯，既活泼又有秩序的和谐统一美。作为数学研究的对象数和形是和谐的，海森堡曾经定义：精密科学中美的含义就在于“一部分与另一部分以及整体之间的和谐”，所有被称为“伟大的科学艺术品”的物理学理论，都有惊人的内在自恰性。”在表现形式上和谐美具体体现为统一和谐、层次和谐、互补和谐和奇异和谐，如理论性和实践性的和谐、复杂性与简单性的和谐、普遍性与特殊性的和谐、抽象性与具体性的和谐、对称性与破缺性的和谐。在数学教学过程中，应该向学生渗透统一性、协调性的观点。例如在讲述两圆的公切线时，当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数依次为4、3、2、1、0，体现了两圆位置关系与公切线条数的统一性；设两圆的半径分别是R、r（Rr），圆心距为d，则R2+d2-r22dR的充要条件是两圆相离，R2+d2-r2=2dR的充要条件是两圆相切，R2+d2-r22dR的充要条件是两圆相交，充分体现了两圆位置关系与两圆半径、圆心距之间存在着协调性，而且与直线和圆的位置归案系具有相似性。圆、抛物线、双曲线、椭圆有统一的定义及极坐标方程，棱柱、棱锥、棱台有统一的表面积与体积公式，援助、圆锥、圆台有统一的表面积和体积公式，球、球冠、球带有统一的表面积公式，切线长定理、相交弦定理与切割线定理在某种意义上可以统一都反映了数学知识的统一性和协调性，培养学生统一性、协调性的观点，有助于培养学生类比类比推理能力，因为类比的基础在于事物的一致性。数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、这样的组合可以给出，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。欧拉公式：，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗欧拉公式是（）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派生出许多美的，有用的结论来。比如，由公式（）得。由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去，即考虑“弧度”为复数的“角”。新定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割比，即.61803398。在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。数学中有一个很著名的菲波那契数列an，定义如下：a1=1，a2=1，当n时，ananan2可以证明，当趋向时，极限是。维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达芬奇称黄金分割比为“神圣比例”他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。与有关的问题还有许多， “黄金分割”、“神圣比例”的美称，她受之无愧。 2.3抽象美学习数学公式的目的，不仅仅是去欣赏数学公式的形式美和结构美，更重要的是去挖掘数学美的内在特征，即数学公式的广泛应用，通过应用能使学生反过来加深对它的优美结构的认识。在学习黄金分割时，我曾向学生介绍了其在自然科学中的应用；在学习加权平均数时想学生说明了物理学中的平均功率与平均速度、化学中混和溶液的质量分数等都是加权平均数。在学习过程中，使学生深刻地体验到数学的抽象美，正如伽利略所讲的：“大自然是用数学语言来书写的。” Arthur Jaffe 译注英国数学家，与J. Glimm一起为建设量子场理论的创立者建议“数学想法并非从研究者的头脑中产生和充分发展。数学家往往从自然的图案获得灵感。从自然某个方面提炼的教益，在我们探索其它的自然现象时能够使我们继续受益。” 数学家总将他们的发现带到邻近的领域，帮助他们产生新的见识和全新的子域。意大利数学家奥多. 斐波那奇（11701250）在其所著的算盘书中有这样一个题目：“某人想知道一对兔子一年后可以繁殖成几对兔子，他筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子出生后的第二个月就可以生一对小兔子，问一对兔子一年后能繁殖成几对兔子？斐波那奇解这道题的过程中总结出这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377这是个有限项数列。按上述规律，写出的无限项数列就是斐波那奇数列。此数列有下面的低推关系：Fn+2=Fn+1+Fn（n=0,1,2,3）随着近代数学的发展，这个由养兔子问题推导出来的数列的应用范围远远地冲出了围兔子的围墙。从植物叶子在梗上的排列，花朵的花瓣数，蜜蜂的繁殖，钢琴音阶排列，人口年龄结构预测，优选法等等，直到方程论，应用涉及面之广，引起了科学界的密切关注和极大兴趣。美国甚至专门出版了一份斐波那奇季刊，登载斐波那奇数列在应用上的新发现及有关理论。我们不难发现，斐波那奇数列相邻两个数相除的数值，随着数列项的增加，越来越接近黄金分割点0.618。即Fn/Fn+1越来越接近0.618。神奇的斐波那奇数列与黄金分割数密不可分。斐波那奇数列是个神奇的数列，它的唯象学公式为：Fn+2=Fn+1+Fn（n=0，1，2，3）这个数列隐含着自然界怎样的法则？ 2.4推理美 现有科研常用逻辑工具有数学物理方法的演绎逻辑，归纳统计方法的因果逻辑，辩证分析方法的矛盾统一逻辑等三大类型，深入物质本质认识的三大层次。数学物理方法的演绎逻辑推理形式是在假设或公理或方程基础上，在一定条件下推出结论，解释相应现象。归纳统计方法的因果逻辑推理形式是在大量观察实验和测量数据统计基础上，寻找原因、规律来推出结果和解释现象。辩证分析方法的矛盾统一逻辑推理形式是遇到矛盾就要解决矛盾，或分析矛盾中统一矛盾，并以此来解释现象。著名的数学家怀特.威廉讲：“数学是一门理性思维的科学。它是研究、了解和知晓现实世界的工具。复杂的东西可以通过这一工具简单的措辞去表达。从这一意义上说，数学可被定义为一种连续地用较简单的概念去取代复杂概念的学科。”著名的数学物理学家狄拉克讲：“数学的最高境界是结构美，是简洁的逻辑美。 在逻辑推理中学生依据一个或几个判断得出另一个判断，这些判断之间依次线性排列，学生会感受到严谨、清晰和简明的推理美。非逻辑的臻美推理则是依靠想象与直觉的矛盾运动而达到从整体上推出理想的结果。它的基本结构是想象、直觉与灵感，是一种或然的非线性推理。例如在讲授分步计数原理的应用时，我曾分析在直线上最少用两种颜色即可把区间分开，在平面上最少用四种颜色即可把各区域分开，在三维空间可以猜想最少8种颜色可以区分开各区域，、，在n维空间最少用2n种颜色可以区分开各区域。 2.5简洁美 人们总是喜欢选择最简单的假设，以求用最简洁的数学形式来凸显物理的本质。这种思行观是由来已久的最深入人心的优秀传统之一，Mach称之为“经济思维原则”。简洁，给人以简单、明了、深远、有序的美感。现代审美理论认为：那些在特定条件下，刺激物被组织的最好、最规则和具有最大限度的简单明了的“形”，会给人以相当愉悦的感受。数学中的简洁美包括两个方面：理论形式简单性和逻辑结构简单性。对逻辑简单性，爱因斯坦认为：“逻辑简单性并不是指学生在精通这种体系时产生的困难最小，而是指这种体系所包含彼此独立的假说或公理最少。”逻辑简单性也是创立和评价科学理论的基本指导思想。一切伟大的目标都是“要从尽可能少的假设或公理出发，通过逻辑的演绎，概括尽可能多的经验事实。”在数学教学中始终应该注意渗透简洁性与守恒性思想，例如平面几何的定理相当多，但都是从几个简单明了的公理出发得到；三角形无论怎样变化，内角和始终等于3600，边与角之间始终满足正弦定理与余弦定理；多边形的边数无论怎样变化，外角和始终等于3600；一元二次方程的系数无论怎样变化，求跟公式总是相同的，、，这些都体现了数学量的守恒性与简洁性。欧拉给出的公式：V，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数、棱数、面数，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的点数、边数、区域数满足V，这个公式成了近代数学两个重要分支拓扑学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的周长公式：C=2R勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。平均不等式：对任何正数正弦定理：的外接圆半径，则数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。 2.6奇异美 奇异美是指数学领域中某些超出常人想象而使人惊奇的特征，这些特征使审美主体具有强烈的新奇性，包括调和中的奇异和谐调中的破缺。培根说：“没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异。”奇异与和谐是一对对立而统一的美学范畴。一个新出现的和谐理论总包含某种奇异，而奇异的科学思想方法只有当它具备和谐性时才能显示其美。重大的奇异性往往导致科学理论的革命，因而奇异又是向更高级和谐境界发展的标志。奇异美表现于数学概念、理论、模型等的新颖与新奇，表现在它们能够巧妙地解决数学问题。在数学教学过程中，应该渗透数学的新奇性与创造性的观点。创造能力是一种高级能力，它是在创造活动过程中形成和发展起来的。在数学的学习活动中培养学生的创造能力，就是使学生在学习的过程中，独立地发现新知识，独立地解决未曾解决过的问题或把所学的知识应用到新的情景中去的能力。例如在教学的过程中我曾引导学生利用“斜边的中线等于斜边一半”证明斜边直角边公理，利用相似三角形证明勾股定理和逆定理。 全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数，不合理地把b约去得到，结果却是对的？经过一种简单计算，可以找到四个分数：。这个问题涉及到“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗。还有一些“歪打正着等式”，比如人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数的点的轨迹，当时，形成的是椭圆当时，形成的是双曲线当时，形成的是抛物线常数由0.999变为1、变为0.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做一个实验，把厚纸卷几次，做成一个圆筒。斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美。无序的混沌状态，通常以为不可用数学来研究。可从确定的现象（一个二次函数x(1-x)）通过迭代居然能产生出随机现象，也就是说无序的混沌状态，竟然可以从一个二次方程的迭代产生出来。这就把两种完全不同类型的数学问题沟通起来了。这深刻的发现，使人不禁感叹大自然规律的神奇。还有，菲根鲍姆对许多迭代函数进行了大量的计算，都得到了常数4.669201629，这决非巧合，尽管目前还不清楚这个数的本质。就是数学的这种奇异美使神秘、严肃、程式化的数学世界充满了勃勃生机。 欧几里得几何曾经是完美的经典几何学，其中的公理5：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二直角”，这些似乎是天经地义的绝对真理。但罗马切夫斯基却采用了不同公理5的结论：“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”，在这种几何里，“三角形内角和小于二直角”，从而创造了罗氏几何。黎曼几何学没有平行线。这些与传统观念相违背的理论，并不是虚无飘渺的，当我们进行遥远的天文测量时，用罗氏几何学是很方便的，原子物理、狭义相对论中也有应用；而爱因斯坦建立的广义相对论中，较多地利用了黎曼几何这个工具，才克服了所遇到的数学计算上的困难。每一个理论都在需要不断创新，每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头都可能开辟新的天地。这种开阔了我们的视野、开阔了我们心胸、给我们完全不同感受的难到不