物理学(第三版)上、下册备课笔记.doc

物理学（第三版上、下册）第一章 质点的运动1-1 质点和参考系一、 质点：忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。说明：1、质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中有很多理想模型）2、质点突出了物体两个基本性质 (1)具有质量；(2)占有位置。3、物体能否视为质点是有条件的、相对的。二、 参照系：为描述物体运动而选择的参考物体叫参照系。从动力学角度看，参照系不可任选；从运动学角度看，参照系可任选。但参照系选取恰当，对运动的描述简单；参照系选取不当，对运动的描述复杂如：地心说（托勒玫）与日心说之争要定量地描述运动，还须在参照系上建立计算系统三、 坐标系：建立在参照系上的计算系统常用：直角坐标系、自然坐标系、球坐标系和柱面坐标系1-2 描述质点运动的物理量一、 时刻和时间二、 位置矢量位矢的大小图 1-1位矢的方向余弦 三、 位移和路程1、 位移（矢量）2、 路程（标量）四、 速度和速率为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。1、平均速度如图1-2定义： 称为时间间隔内质点的平均速度。 方向：同方向。说明：与时间间隔相对应。2、瞬时速度粗略地描述了质点的运动情况。为了描述质点运动的细节，引进瞬时速度。定义：称为质点在时刻的瞬时速度，简称速度。结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。 式中 ， 。 、分别为在、轴方向的速度分量。的大小：的方向：所在位置的切线向前方向。与x正向轴夹角满足。3、平均速率与瞬时速率定义：（参见图1-2）称为质点在时间段内得平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。定义：称为时刻质点的瞬时速率，简称速率。当时（参见图1-3），有 可知： 即 结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。说明：比较与：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。比较与：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。五、 加速度为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。1、平均加速度定义：（见图1-3）称为时间间隔内质点的平均加速度。2、瞬时加速度为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。定义：称为质点在时刻的瞬时加速度，简称加速度。 结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。式中： ，。、分别称为在x、y轴上的分量。的大小： 的方向： 与x轴正向夹角满足说明：沿的极限方向，一般情况下与方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。 综上所述：瞬时量：，过程量：，矢量：，标量：，1-3 描述质点运动的坐标系一、 直角坐标系在参考点上取一固定点作为坐标原点O，过点O画三个相互垂直的带有刻度的坐标轴，即x轴、y轴和z轴，这就构成了直角坐标系Oxyz。通常采用右手制，也就是右旋系：当右手四指由x轴方向转向y轴方向时，伸直的拇指方向则是z轴的正方向。例1 如图1-4所示，河岸上有人在h高处通过定滑轮以速度v0收绳拉船靠岸。求船在距岸边为x处时的速度和加速度。 解1：； 解2：；平面极坐标系在参考系上一固定点O作极点，过极点作一条固定的射线OA称为极轴。过极轴作平面，假定质点就在该平面内运动。1角位置 2角速度 3角加速度 4路程和角位置的关系 5速率和角速度的关系 6切向加速度 法向加速度 三、自然坐标系图2-1中，BAC为质点轨迹，时刻质点P位于A点，、分别为A点切向及法向的单位矢量，以A为原点，切向和法向为坐标轴，由此构成的参照系为自然坐标系（可推广到三维）1、切向加速度如图1-7，质点做半径为的圆周运动，时刻，质点速度其中，为速率。加速度为上式中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与共线，称该项为切向加速度，记为其中，为加速度的切向分量。结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数 。 2、法向加速度加速度表达式中，第二项是由质点运动方向改变引起的。如图1-8，质点由A点运动到B点，有因为，所以、夹角为。（见图1-9）当时，有。因为，所以由A点指向圆心O，可有加速度表达式中第二项为：该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。称此项为法向加速度，记为大小为加速度表达式中是加速度的法向分量。结论：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径 。3、总加速度大小：方向：与夹角（见图1-10）满足1-4 牛顿运动定律一、第一定律时，说明：反映物体的惯性，故叫做惯性定律。给出了力的概念，指出了力是改变物体运动状态的原因。二、第二定律 说明：为合力为瞬时关系矢量关系只适应于质点解题时常写成 （直角坐标系） （自然坐标系）三、第三定律说明：、在同一直线上，但作用在不同物体上。、同有同无互不抵消。例 如图2-8，质量为的三角形劈置于水平光滑桌面上，另一质量为的木块放在的斜面上，与间无摩擦。试求对地的加速度和对的加速度。解：研究对象：、受力分析：受三个力，重力，正压力，地面支持力。受两个力，重力，的支持力， 如图2-9所取坐标系，设对地加速度为，对的加速度为，对地的加速度为，有由牛顿得二定律有： ：x分量： y分量： ： 由、有：强调：相对运动公式的应用。1-5 力学中常见的力一、万有引力即任何二质点都要相互吸引，引力的大小和两个质点的质量、的乘积成正比，和它们距离的平方成反比；引力的方向在它们连线方向上。说明：通常所说的重力就是地面附近物体受地球的引力。二、弹性力弹簧被拉伸或压缩时，其内部就产生反抗力，并企图恢复原来的形状，这种力称为弹簧的恢复力。三、摩擦力 当一物体在另一物体表面上滑动或有滑动的趋势时，在接触面上有一种阻碍它们相对滑动的力，这种力称为摩擦力。1-6 伽利略相对性原理一、伽利略相对性原理对于描述力学规律而言，所有惯性系都是等价的，亦称为力学相对性原理。爱因斯坦相对性原理：对于描述一切物理过程的规律，所有惯性系都是等价的。二、伽利略变换有两个惯性系S(Oxyz)和，其中x轴和轴相重合，y轴与、z轴与轴分别平行，并且系相对于S系沿x轴以速度v作匀速直线运动。 ，或者逆变换为若在系S中观察到质点的运动速度为u，其分量为。在系中观察质点的运动速度为，其分量为再，写成矢量的形式为对时间求导数，得到 这表明，在S系和下，观察同一质点的加速度是相同的，所以牛顿第二运动定律在两个参考系中具有相同的数学表达形式。可以证明，力学中的其他基本规律经伽利略变换后其形式也不变。三、惯性力1直线加速参考系中的惯性力2匀速转动参考系中的惯性力第二章 机械能守恒定律2-1 功和功率一、功定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。1、恒力的功恒力：力的大小和方向均不变。如图2-1，功为 即 说明：为标量 功是过程量功是相对量功是力对空间的积累效应 作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。2、变力的功设质点做曲线运动，如图2-2。为变力，在第个位移元中，看作恒力，对物体做功为质点从过程中，对质点做的功为功的精确数值为 即： 讨论：恒力功直线运动设，如图3-10，质点在中，功为合力功设质点受个力，合力功为二、功率定义：力在内对物体做功为，下式称为在时间间隔内的平均功率。下式称为瞬时功率，即 2-2 动能和动能定理一、动能定义： 式中，、分别为物体质量和速率。称为质点的动能。说明：(1)为标量；(2)为瞬时量；(3)为相对量。质点的动能定理恒力，直线运动变力，曲线运动合外力做的功等于动能的增量。讨论：1、 为状态量， 为过程量；2、 ,的数值与参照系有关，但动能定理形式不变。2-3 势能一、保守力与非保守力如果力对物体做的功只与物体始末二位置有关而与物体所经路径无关，则该力称为保守力，否则称为非保守力。数学表达依次为： 及 由上可知，重力、弹性力、万有引力均为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。二、势能对任何保守力，则它的功都可以用相应的势能增量的负值来表示，即： 结论：保守力功=相应势能增量的负值 。 *从理论上讲，即是无旋的，与有对应关系，可定义为与相应的势能。也就是说，保守力场中才能引进势能的概念。可见，引进势能概念是有条件的。注意：势能是相对的，属于系统的。 说明： （1）（2）（3）2-4 机械能守恒定律一、功能原理作用在质点上的力可分为保守力和非保守力，把保守力的受力与施力者都划在系统中，则保守力就为内力了，因此，内力可分为保守内力和非保守内力，内力功可分为保守内力功和非保守内力功。由质点动能定理 有结论：合外力功+非保守内力功=系统机械能（动能+势能）的增量。称此为功能原理。说明：功能原理中，功不含有保守内力的功，而动能定理中含有保守内力的功。功是能量变化或转化的量度能量是系统状态的单值函数二、机械能守恒定律由功能原理知，当时，有结论：当时，系统机械能=常量，这为机械能守恒定律。（注意守恒条件）例 如图3-18，在计算上抛物体最大高度时，有人列出了方程（不计空气阻力）列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个？解：动能定理为合力功=质点动能增量功能原理为外力功+非保守内力功=系统机械能增量（取、地为系统）机械能守恒定律即 可见，此人用的是质点的动能定理。第三章 动量守恒定律3-1 动量和动量定理一、动量质点的质量与其速度的乘积称为质点的动量，记为。说明：是矢量，方向与相同是瞬时量是相对量坐标和动量是描述物体状态的参量二、冲量牛顿第二定律原始形式由此有积分： 定义：称为在时间内力对质点的冲量。记为 说明：是矢量是过程量是力对时间的积累效应的分量式 分量式可写成 、是在时间内、平均值。三、质点的动量定理由上知 结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。说明：与同方向分量式 过程量可用状态量表示，使问题得到简化成立条件：惯性系动量原理对碰撞问题很有用3-2 质点系动量定理和质心运动定理一、质点系的动量定理概念：系统：指一组质点内力：系统内质点间作用力外力：系统外物体对系统内质点作用力设系统含个质点，第个质点的质量和速度分别为、，对于第个质点受合内力为，受合外力为，由牛顿第二定律有对上式求和，有因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故， 有 结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。式（3-8）可表示如下即 结论：系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。例 质量为的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间，打击前铁锤速率为，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？解：设竖直向下为正，由动量定理知：强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量二、质心设由n个质点系统组成的质点系，分别是各质点的质量，分别是各质点的位置矢量，则定义为这个质点系质心的位置矢量，式中的是质点系的总质量。质点系质心的位置矢量三、质心运动定律内容主题：研究质点系各质点在空间运动时，其质心的运动遵从的规律。质点系动量定理微分形式：对于等号右边，有式中的就是质点系质心加速度，用表示，故上式可以表示为质心运动定理：质点系质心的运动与这样一个质点的运动具有相同的规律：该质点的质量等于质点系的总质量，作用于该质点的力等于作用于质点系的外力矢量和。含义：质点系作为一个整体的运动规律，这一规律是由质心的运动状况来表述的。但是它不能给出各个质点围绕质心的运动和系统内部的相对运动。3-3 动量守恒定律一、 定律：当系统不受外力或外力的矢量和为零时，系统的总动量保持恒定。即，适用条件和范围条件 或1. 范围：宏观、微观都适用二、 说明：1、内力不改变总动量；2、若某方向上的，则该方向上的P守恒3-4 碰撞一、碰撞现象1定义当两个或者两个以上的物体相互接近时，在极短的时间内，它们之间的作用力达到相当大的数值，致使它们之间的运动状态发生很大的变化，这种现象称之为碰撞。应用定律：动量守恒定律/能量守恒定律均适用。2分类：碰撞前后总动能不变：完全弹性碰撞；碰撞前后总动能改变：非完全弹性碰撞；完全非弹性碰撞：在非完全弹性碰撞后，两个物体碰撞后粘在一起。二、完全弹性碰撞(perfectly elastic collisions)两个小球，质量分别为m1、m2，碰撞前速度分别为v1和v2，碰撞后速度分别为u1和u2，根据动量守恒定律： 在完全弹性碰转中，总动能是不变的，所以对心碰撞/正碰：碰撞前速度都处于两球的连线上，碰撞后速度也处于整条直线上。在正碰情况下，可以写成：以及可以写成：。在，条件下，上两式相除，得到。进而可以解出：如果把，代入到上式，可得：，。这说明，在完全弹性碰撞中，质量相等的两个物体碰撞后交换了速度。三、完全非弹性碰撞(perfectly inelastic collisions)两个质量为m1和m2的物体，各以v1和v2的速度运动，发生正碰后结合在一起，并以共同的速度u继续运动，根据动量守恒定律，有，如果已知v1和v2，则可以求出碰撞后的共同速度在完全非弹性碰撞中，总要损失一部分动能，其中以完全非弹性碰撞损失的动能为最大。3-5 运载火箭的运动一、 单级火箭问题：求火箭速度与喷射速度及质量的关系时刻： (上图)时刻： (下图)，即：二、多级火箭第一级：第二级：第三级： 即：三、火箭推力*如上图：对，有则受到的作用力为：由牛顿第三定律，受到的作用力为：第四章 角动量守恒定律4-1 力矩一、力矩定义为：力的作用点的矢径r与力F的矢积力矩的大小 力矩的方向由右手定则确定。二、力矩的冲量矩是力矩对时间的累积 力矩在dt时间内的微冲量矩 力矩在t1t2过程中的冲量矩 4-2 质点角动量守恒定律一 质点的角动量L1、角动量描述物体的转动，质点相对于O点的角动量为：角动量等于质点对O点的矢径与动量的矢积。2、角动量的大小根据矢积计算规则为角动量的方向由矢积方向的右手定则确定。注意：角动量必须针对某一确定的O点。二、质点的角动量定理1角动量定理的微分形式：质点受到的合外力矩等于质点角动量对时间的变化率。2角动量定理的积分形式：在一个过程中，质点受到的合外力矩的冲量矩等于质点角动量的增量。三、角动量守恒定律 如果作用在质点上的合外力矩等于零，质点对该参考点的角动量守恒，即若：则：注意： 角动量守恒定律成立的条件是质点所受的合外力矩为零。合外力矩为零有两种实现的可能，(1)质点所受的合外力为零，则合外力矩为零。（2）外力，但力与作用点的矢径在同一直线上，力臂为零，故力矩亦为零。这类情况在有心力场诸如万有引力场、点电荷的库仑场中是常见的。4-3 质点系的角动量定理一、质点系的角动量二、质点系角动量定理的微分形式三、质点角动量定理的积分形式：合外力矩的冲量矩等于角动量的增量。三、质点系的角动量守恒定律：如果作用于质点系的合外力矩为零，质点系的角动量守恒，即：若： 则： 第四章 角动量守恒定律4-1 力矩一、力矩定义为：力的作用点的矢径r与力F的矢积力矩的大小 力矩的方向由右手定则确定。二、力矩的冲量矩是力矩对时间的累积 力矩在dt时间内的微冲量矩 力矩在t1t2过程中的冲量矩 4-2 质点角动量守恒定律一 质点的角动量L1、角动量描述物体的转动，质点相对于O点的角动量为：角动量等于质点对O点的矢径与动量的矢积。2、角动量的大小根据矢积计算规则为角动量的方向由矢积方向的右手定则确定。注意：角动量必须针对某一确定的O点。二、质点的角动量定理1角动量定理的微分形式：质点受到的合外力矩等于质点角动量对时间的变化率。2角动量定理的积分形式：在一个过程中，质点受到的合外力矩的冲量矩等于质点角动量的增量。三、角动量守恒定律 如果作用在质点上的合外力矩等于零，质点对该参考点的角动量守恒，即若：则：注意： 角动量守恒定律成立的条件是质点所受的合外力矩为零。合外力矩为零有两种实现的可能，(1)质点所受的合外力为零，则合外力矩为零。（2）外力，但力与作用点的矢径在同一直线上，力臂为零，故力矩亦为零。这类情况在有心力场诸如万有引力场、点电荷的库仑场中是常见的。4-3 质点系的角动量定理一、质点系的角动量二、质点系角动量定理的微分形式三、质点角动量定理的积分形式：合外力矩的冲量矩等于角动量的增量。三、质点系的角动量守恒定律：如果作用于质点系的合外力矩为零，质点系的角动量守恒，即：若： 则： 第五章 刚体力学5-1 刚体的运动一、平动和转动平动：刚体在运动过程中，如果刚体上的任意一条直线始终保持平行，这种运动就称为平动。转动：在刚体运动过程中，如果其上所有的点都绕同一条直线作圆周运动，那么这种运动就称为转动，这条直线就称为转轴。二、刚体的定轴转动1定轴转动：刚体在转动过程中，如果转轴固定不动，这种转动称为定轴转动。2转动平面：过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面。平面之间相互等价，应用时任选一个。3刚体的定轴转动特点： 刚体上所有质点绕定轴作圆周运动，具有相同的角速度和角加速度。在相同的时间内，具有相等的角位移。由于各点到转轴的距离不同，因此，各点的位移、速度和加速度却不相等。4角速度（angular speed）的方向规定：让右手四指沿转动方向围绕转轴而弯曲，拇指所指的方向就是角速度的方向。取转轴为z轴，当角速度指向z轴正方向时，；当角速度指向z轴的负方向时，。也可以这样确定：取转轴为z轴，面对z轴观察，若刚体作逆时针转动，；若刚体作顺时针转动，。5角加速度(angular acceleration)定义：方向：当刚体作加速转动时，a与符号相同；当刚体减速转动时，a与符号相反。6圆周运动时角速度、角加速度与线速度、线加速度量值的关系式中，r是质点作圆周运动的曲率半径，和分别是质点切向加速度和法向加速度。5-2 刚体动力学刚体的转动动能： 一、 刚体的转动惯量：1、定义：，2、决定I大小的因素：总质量、质量分布、转轴位置3、量纲：; 单位：三、力矩作的功1、外力在垂直于轴的平面内如图4-2：定义：力矩： 力矩 ：大小：（，称为力臂）；方向：沿（）方向，它垂直于、构成的平面即与轴平行。注意：是、间夹角。2、外力不在垂直于轴的平面内如图4-3： 对转动无贡献 对转动有贡献的仅是。产生的力矩即的力矩，故上面的结果仍适用。说明：平行轴或经过轴时 。3、力矩的功用弧度作单位!四、动能定理合外力矩对刚体作的功等于刚体转动动能的增量。转动定律第一定律时，定轴转动的刚体保持原有的转动状态不变。第二定律5-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律刚体的角动量质点对定点的角动量(力矩：)大小：，方向：向单位：，量纲：1、 刚体对定轴的角动量此式对质点也适用转动定律的普遍形式冲量矩:合外力矩对时间的累积时间内：时间内：刚体对转轴的角动量定理1时间内：2时间内： 注意：推导中未要求I不变I不变：；I变：刚体对转轴的角动量守恒定律时，都不变，较少实际应用；都变，不变，较多实际应用。对一个刚体：对刚体组：第六章 流体力学6-1 流体的压强无论流体与容器器壁之间,还是流体各部分之间, 都存在相互作用。在静止流体中, 各部分之间的作用力必定表现为正压力。根据流体内各部分之间相互作用的上述性质, 我们引入压强的概念。在包围流体块的闭合面上任意一点a附近取面元ds，ds的方向与闭合面在点a的法线n的方向一致, 如图6-1所示。如果闭合面以内的流体对面元ds的压力为df, 那么点a的压强p就定义为df = p ds 上式表示, 压强就是单位面积上所承受的沿法线方向的压力的大小。因为df与ds的方向一致, 所以压强又可由下式表示.在国际单位制中，压强的单位是pa (帕斯卡, 简称帕)1 pa = 1 n m-2 .另外, 压强还常用bar (巴)和atm (标准大气压，简称大气压)为单位表示, 它们与pa的关系为1 bar = 105 pa ,1 atm = 101325 pa .6-2 理想流体的连续性方程一、关于理想流体的几个概念 1. 理想流体：绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。2. 定常流动：尽管在同一时刻流体各处的流速可能不同, 但流体质点流经空间任一给定点的速度是确定的，并且不随时间变化。这种流动称为定常流动。3. 流线：为了形象地描述流体的运动, 我们在流体中画出一系列曲线, 使曲线上每一点的切线方向与流经该点的流体质点的速度方向相同, 这种曲线就称为流线。4. 流管：在定常流动中,通过流体中的每一点都可以画一条流线。由流线围成的管状区域, 就称为流管。二、理想流体的连续性方程对于不可压缩流体(理想流体具有这种性质)来说有：s1 v1= s2 v2或s v = 恒量 ,上式就是理想流体的连续性方程。它表示, 理想流体作定常流动时, 流体的速率与流管截面积的乘积是一个恒量, 或者说, 流体的速率与流管的截面积成反比。流线的走向表示速度的方向,流线的疏密表示速度的大小如果在某一管道的横截面上各点的流速都相等, 通过该截面的流体的流量qv可以用截面积s与流体流经该截面的流速v的乘积来表示, 即qv = s v 如果截面上各点流速不相等, 这时我们可以在截面上任取一面元ds, 此处的流速为v, 流体通过面元ds的流量可以表示为dqv = v ds 通过整个截面的流量为由此我们还可以引入流体在管道截面上的平均流速的概念, 它定义为6-3 伯努利方程恒量上面两式都称为伯努利方程, 它们描述了理想流体作定常流动时的基本规律。 如果理想流体沿水平流管作定常流动, 伯努利方程可写为恒量 上式表明, 在同一条水平流管中, 流速大的地方压强必定小, 流速小的地方压强必定大。6-4 黏性流体的运动一、流体的黏性实际流体都不同程度地具有黏性, 甚至有的流体的黏性相当大。实验表明, 流体内部相邻两流体层之间黏力f的大小正比于这两层之间的接触面积ds, 正比于该处速率梯度的大小, 即在国际单位制中黏度的单位是pas (帕秒)。黏度也常用p (泊)作单位, 它与pas的关系为1 p = 0.1 pa s .二、 黏性流体的运动规律当黏性流体作定常流动时, 必须考虑由于黏力所引起的能量损耗。利用伯努利方程可以得到.上式就是黏性流体作稳定流动时所遵从的规律。如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作定常流动, 则沿管道长度方向上流速应处处相等, 这时式(5-45)可写为,或者写为. *三、泊肃叶定律黏性流体在水平放置的圆形截面的管道中作层流时, 理论上可以算得流量为式中h是流体的黏度，p1-p2是管道两端的压强差，l和r分别是管道的长度和半径。上式称为泊肃叶(j.l.m.poiseuille, 1799-1869)定律。根据泊肃叶定律可以求得黏性损耗w。管道中流体的平均流速可以表示为*四、湍流和雷诺数 流体在管道中流动并不始终保持层流，由于流速和其他条件的不同，流动会出现另一种形式, 即湍流。所谓湍流, 就是流体中出现了沿垂直于管轴方向的速度分量的不规则流动。当湍流出现时，管中截面上每一点的速度大小和方向都在不断变化，能量损耗w 不再与平均流速成正比，而是与平均流速的平方成正比。实验表明，发生湍流的临界流速与一个无量纲的量re相对应。re由下式表示式中r、h和v分别是流体的密度、黏度和流速，r是管道的半径。这个量re称为雷诺数。由层流过渡到湍流的雷诺数，称为临界雷诺数，记为rec。圆形管道的临界雷诺数rec在20002600的范围内。对于给定的管道和给定的流体，并保持温度不变，式(5-51)中r、h和r都是确定的，只有v是可以改变的。当流速v的值使雷诺数re处于临界值rec时，此时的流速就是临界流速vc，并由下式定义如果流速从低于vc值增大到高于vc值，那么流动将会从层流转变为湍流。由于临界雷诺数rec 不是一个明确的数而是一个数值范围，所以vc 也是一个数值范围。*五、斯托克斯黏性公式当固体物在黏性流体中作相对运动时，固体物将受到流体的阻力作用。在相对运动速率不大时，阻力主要来自流体的黏力，并称为黏性阻力。由于固体物的表面附着一层流体，这层流体随固体物一起运动，在固体物表面周围的流体中必然形成一定的速率梯度，从而在各流层之间产生黏力，阻碍固体物作相对运动。当固体小球以不大的速率在流体中运动时，理论上可以证明它所受黏性阻力f的大小由下式决定f = 6 ph r v 式中h是流体的黏度，r是小球的半径，v是小球相对流体的运动速率。上式所表示的规律称为斯托克斯(g.g.stokes, 1819-1903)黏性公式。这个公式有很多重要应用，如测定流体的黏度，测定小液滴的半径，测定电子的电量，以及测定阿伏伽德罗常量等。还可以利用斯托克斯黏性公式可以求得固体小球在静止流体中下落的速率 (当固体小球在静止的黏性流体内由于重力作用而下落时，实验上可以观察到，开始小球作加速运动，随速率的增大，黏性阻力在增加，当速率增大到一定值时，小球开始作等速运动，此时作用于小球的黏性阻力、浮力与重力相平衡。如果流体的密度为r，小球的密度为r，半径为r，速率为v，下面的关系成立.由此式可求得小球下落的速率，为第七章 振动和波动7-1 简谐振动一、简谐振动的基本特征1现象描述：2物理描述或者 其中 3运动方程的解或者其中A和都是积分常量，在振动过程中具有明确的物理学意义。一般应用中选取这种形式。二、描述简谐振动的物理量1振幅振动物体离开平衡位置的最大幅度。对于，A就是振幅，国际单位是m（米）。2周期周期：振动物体完成一次振动所需要的时间，用T表示，单位：s（秒）。频率：一秒时间内完成振动的次数，用表示，单位：Hz（赫兹）。角频率：振动物体在秒内所完成的振动次数。用表示，单位：（弧度/秒）。三者关系：3相位和初相位 式中和分别表示振动物体在初始时刻的位移和速度，它们表示了振动物体在初始时刻的运动状态，亦即振动物体的初始条件。三、简谐振动的矢量图解法和复数解法1简谐振动的描绘2复数形式简谐量x还可以用复数来表示，可以使用Euler公式，把一个复数表示为，四、简谐振动的能量因为，所以上式可以化为7-2 简谐振动的叠加一、 同一直线上两个同频率简谐振动的合成1合成振动的表示设一个物体同时参与了在同一条直线上的两个频率相同的简谐振动，并且这两个简谐振动分别可以表示为因为两个简谐振动处于同一直线上，我们可以认为和是相对于同一平衡位置的位移，于是，物体所参与的合振动就一定也处于这同一条直线上，合位移x应等于两个分位移和的代数和。即使用简谐运动的矢量图解法来计算物体所参与的和振动。二、 同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成设某物体同时参与了在同一直线上的两个频率相近的简谐振动，并且这两个简谐振动分别为可以看出，物体所参与的合振动必然在同一直线上，合位移x应等于两个分位移x1和x2之代数和，即但是，这时的合运动不再是简谐振动，而是一种复杂的振动。如右图所示，在t时刻，旋转矢量A1和A2之间的夹角为OxAyxA1A2x1x2合矢量A的长度即为合振动的振幅，可以表示为可以看出，合振动的振幅随时间在最大值（A1+A2）和最小值之间变化。三、 两个相互垂直的简谐振动的合成1、两个相互垂直的具有相同频率的简谐振动的合成设两个振动的方向分别沿x轴和y轴，并表示为 消去t就得到合振动的轨迹方程。2、两个相互垂直具有不同频率的简谐振动的合成情况7-3 阻尼振动、受迫振动和共振一、阻尼振动1、 定义振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。2、 流体中的阻尼振动3、振动方程的描述黏性阻力：物体在流体中所受到的阻力。其大小正比于物体运动的速率，方向与物体运动的方向相反。可以表示为示中称为阻力系数，负号表示黏性阻力的方向总是与物体在流体中的运动方向相反。考虑到黏性阻力，物体振动方程可以写为令，则上式可以改写为其中称为振动系统的固有角频率，称为阻尼常量，它取决于阻力系数。2.2.2 方程的解法（1）在阻尼较小的情况下，上式的解可以表示为其中，和为积分常量，可由初始条件决定。二、受迫振动1定义在周期性外力作用下的振动，称为受迫振动。或者式中，而和的定义同前所述。上式的解可以写为2受迫振动稳定时的振幅和初相位可以解出受迫振动的初相位这样可以求出稳定状态受迫振动的振幅结论：受迫振动的初相位和振幅A不仅与振动系统自身的性质有关，而且还和驱动力的频率和振幅有关。三、共振1共振角频率可见，系统共振角频率既与系统自身的性质有关，也与阻尼常量有关。2共振振幅的峰值与阻尼常量的关系3共振现象的实际应用微观领域：当外加交变电磁场作用于这些微观结构并恰好引起共振时，物质将表现出对交变电磁场能量的强烈吸收，从而研究物质的微观结构。7-4 关于波动的基本概念一、波的产生和传播1、波源2、弹性介质3、 波传播的实质：并不是波形沿介质由近及远的传播，而是参与波动的质点并没有远离，只是在自己的平衡位置附近振动。结论：波动是介质整体所表现的运动状态，对于介质的任何单个质点，只能说它是否振动，而无波动可言。4. 波的传播和介质的关系。二、横波和纵波1定义横波：参与波动的质点的振动方向与波的传播方向垂直。纵波：参与波动的质点的振动方向与波的传播方向平行。2. 横波和纵波的例子横波：凸起（波峰）和凹陷（波谷）沿绳子的传播。纵波：压缩或者拉伸弹簧，水平振动，相邻部分相继振动，表现为稠密和稀疏。3. 表面波：既不是纯粹的纵波，也不是纯粹的横波。既有与波的传播方向相垂直方向的运动，也有与波的传播方向相平行的方向上的运动。实质：液面上液体质点受到重力和表面张力共同作用的结果。4. 两个结论：固体既能够形成和传播纵波，也能够形成和传播横波。流体只能够形成和传播纵波，而不能够形成和传播横波。三、波线和波面1. 概念：波线：从波源沿各传播方向所画的带箭头的线。用来表示波的传播路径和传播方向。波面：在波的传播过程中，所有振动相位相同的点连成的面。在波的传播过程中，波面有无穷多个。在各向同性的匀质介质中，波线与波面相垂直。2. 波面的形状球面波：对于一个点波源在各向同性的均匀介质激发的波，其波面是一系列同心球面，这称为球面波。平面波：波面为平面的波。二者关系：当球面波传播至无穷足够远时，若观察的 范围不大，其波面近似为平面，可认为是平面波。四、波速、波长以及波的周期和频率1描述波动的四个物理量：波速、波长、波的周期和频率。2波速：单位时间内振动传播的距离。也就是波面向前推进的速率。在固体中，横波的传播速率：其中，G为固体材料的剪切模量，为固体材料的密度。在固体中，纵波的传播速率：其中，Y是固体材料的杨氏模量。在流体中，纵波的传播速率：式中B是流体的体积弹性模量，定义为流体发生单位体变需要增加的压强，即式中负号表示：由于压强增大时体积缩小，即为负值。结论：波在弹性介质中的传播速率决定于弹性介质的弹性和惯性，弹性模量是介质弹性的反映，密度则是介质质点惯性的反映。3波长：在波的传播过程中，沿同一波线上相位相差为的两个相邻质点的运动状态必定相同，定义它们之间的距离为一个波长。在横波情形下，波长等于两相邻波峰之间或者两个相邻波谷之间的距离。在纵波性情下，波长等于两相邻密部中心之间或者两相邻疏部中心之间的距离。4周期一个完整的波（即一个波长的波）通过波线上某点所需要的时间。5频率：周期的倒数定义为频率，即频率表示在单位时间内通过波线上某点的完整波的数目6波速、波长、波的周期和频率之间关系五、波动所遵循的原理：1波的叠加原理两列或者两列以上的波可以互不影响地同时通过某一区域；在相遇区域内共同在某质点引起的振动，是各列波单独在该质点所引起的振动的合成。2惠更斯原理波所到之处各点，都可以看作是发射子波的波源，在以后的任一时刻，这些子波的包络就是波在该时刻的波面。7-5 简谐波1定义简谐波：当波源作简谐振动时，所引起的介质各点作简谐振动所形成的波。任何一种复杂的波都可以表示成为若干不同频率、不同振幅的简谐波的合成。平面简谐波：波面为平面的简谐波。2平面简谐波波函数此即为沿着x轴正方向传播的平面简谐波的表示式，称为平面简谐波波函数。其他形式：式中的称为角波数，表示在米内所包含的完整波的数目。3含义： 对于当t一定时，即对于某一确定的瞬间，位移y是x的余弦函数。上式表示了在该瞬间介质中各质点的位移分布。当选择了一定的y值时，上式表示了x与t的关系。比如在时刻t，x处质点的位移为，经过时间，位移出现在处，上式可以写成要成立，必定要有这表示，振动状态以波速u沿波的传播方向移动。于是可以得出：当x和t都在变化时，表示整个波形以波速u沿波线传播。称为行波。4沿负方向传播5初相位不是零时 考虑初相位不是零时，在一般情况下，坐标原点的振动应写为此时，平面简谐波函数中也必须考虑初相位，可以写成复数形式：或者7-6 波动方程和波的能量一、波的能量1产生原因2动能3势能可见，势能和动能的表示式完全相同，都是时间的周期函数，且大小相等，相位相同。4总机械能5能量密度6平均能量密度三、波的能流和能流密度7-7 波的干涉一、波的干涉现象和规律1干涉现象产生原因：波的叠加原理当两列或两列以上的波相遇时，相遇区质点的振动应是各列波单独引起的振动的合成。2波的干涉如果两列频率相同、振动方向相同并且相位相差恒定的波相遇，会观察到，在交叠区域的某些位置，振动始终加强，而在另一些位置，振动始终减弱或者抵消，这种现象称为波的干涉。3产生过程和规律其中是波长。所以点P的合振动为式中A为合振动的振幅合振动的相位由下式决定：两列相干波在空间任意一点P所引起的两个振动的相位差是不随时间变化的。因此由它决定的点P的合振动的振幅A也是不随时间变化的。4干涉加强根据，当时，合振动的振幅具有最大值，即，这表示点P的振动是加强的，称为干涉加强，或者干涉相长。5干涉减弱根据，当时，合振动的振幅具有最小值，即，这表示点P的振动是减弱的，称为干涉减弱，或者干涉相消。6具有相同初相位时的干涉加强和减弱如果两个相干波具有相同的初相位，即，上述干涉加强和干涉减弱的条件可以得到简化，此时，两列相干波在点P引起的两个振动的相位差只决定于两个波源到点P的路程差（称为波程差）。当即波程差等于半波长的偶数倍时，点P为干涉加强；当即波程差等于半波长的奇数倍时，点P为干涉减弱；二、驻波1定义当两列振幅相同的相干波沿着同一条直线相向传播时，合成的波是一种不随时间变化的波，成为驻波。它是一种特殊的相干波。当驻波发生时，那些静止不动的点，称为波节；那些振幅始终最大的点，称为波腹。2表示建立坐标系，沿x轴正方向传播波可以写成沿x轴负方向传播的同频率、同振幅的波可以写成由叠加原理，合成的波为为驻波方程，则括号内的项就是振幅，应取绝对值。故上式括号内的项取绝对值就是振幅。3波腹波腹：振幅最大的位置，满足的条件：所以，波腹位于4波节波节：静止不动的位置，满足的条件：所以，波节位于可以看出，相邻波腹或者相邻波节的距离都是半波长。5驻波的能量当驻波形成时，介质各点必定同时达到最大位移，又同时经过平衡位置。两种情形：a. 当介质质点达到最大位移时，各质点的速度为零，即动能为零，而介质各点却出现了不同程度的形变，越靠近波节处形变越大，此时，驻波的能量以弹性势能的形式集中于波节附近。b. 当介质质点通过平衡位置时，各处的形变都随之消失，弹性势能为零，而各质点的速度都达到了自身的最大值，以波腹处为最大，所以在这种状态下，驻波的能量以动能的形式集中于波腹附近。所以，在驻波中，波腹附近的动能与波节附近的势能之间不断进行着相互转换和转移，却没有能量的定向传播。6应用波节：驻波中固定不变的点，也就是入射波与反射波在波节处的相位是相反的。也就是说，入射波在此处转变为反射波产生了的相位跃变。相当于再传播半个波长后再反射，所以在波节处所产生的相位跃变，通常称为半波损失。7形成波腹和波节的条件波阻抗Z的定义：介质的密度与该介质的波速u的乘积，即可见，波阻抗是反映介质性质的物理量。如果波被波阻