常微分方程积分曲线.ppt

内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 序：什么是方程？ 微分方程及其应用 微分方程的基本概念 小结 主要内容 重点：理解微分方程的解等基本概念。 难点：微分方程的解（解、特解、通解）、积分曲线、方向场。 第一章 绪论 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 在初等数学中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程 和对数方程等等。 在高等代数中又学习过高次代数方程，n元线 性代数方程组。 这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而 要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。但在高等 数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在 这类方程中，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值 ，而是一个函数。这类方程称为函数方程。 一、序及方程 第一节 微分方程的定义 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下 ，由方程 (*) 来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方 程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求 的未知函数。 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 返回 设 f(x) 是自变量为 x 的已知连续函数，试求函数 y=y(x) 满 足下列方程： 在数学分析中，不定积分问题 ，实际上是 微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下： 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 方程（*）和方程（*）共同之处在于未知的都是函数，不 同处在于方程（*）中只有未知函数本身，而方程（*）中却出 现了未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而 且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干 社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往往不能 直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它 们和其变化率（导数）之间的规律，于是，把包含未知函数导 数的方程叫做微分方程. 二、微分方程的定义 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过 程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的 关系 (即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变量 和它们的导数(或微分)间的关系式. 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 微分方程是数学中的古老分支之一它与动力系统紧密相 关并有重要应用价值如分支问题、混沌问题、非线性振动的 复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约关系的有力 工具它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工 程技术中的有关问题在本世纪中偏微分方程的理论取得了 重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性的研究 还有许多问题 返回 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 三、物体冷却过程的数学模型 问题一：将某物体放置于空气中，在时刻 时， 测量得它的温度为 ，10分钟后测量得温度为 . 问题与要求：决定此物体的温度 和时间 的关系， 并计算20分钟后物体的温度。 基本假设：空气的温度保持为 . 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 了解有关物体温度变化的基本规律：热量 总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在 一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温 度在内），一个物体的温度变化速度与这一物 体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛 顿（Newton）冷却定律. 分 析 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 假设：设物体在时刻的温度为 ，则温度的变 化速度以 来表示。注意到热量总是从温度高的 物体向温度低的物体传导的。因而 ，所以温 差 恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故 温度变化速度 恒为负。因此由牛顿冷却规律得 到 ： 其中k是比例常数，方程（1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未 知函数u及它的(一阶)导数 ，这样的方程，就成为（一阶）微分方程。 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 改写（1.1）为： 变量u和t被分离出来了,对上式两边积分得到 ： 由此，令 ，有： 代入初始条件，并整理得到： 解曲线 其中 是积分常数，对上式进行变形又得到： 图解 分析：符合实际情况，真实地反映了物理现象，即高温 物体在低温环境中的温度变化过程和情况. 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 问题二：数学摆（下图）的运动方程(下面三个方程). M Q O A P mg 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 问题三 ：R-L-C电路电流方程； 问题四：R-L电路电流方程； 其它问题：人口模型、传染病模型、两种生物种群生态模型、 天气预报模型（Lorenz方程）和化学动力学模型等 人口增长模型（Logistic）: 天气预报模型（Lorenz方程）: 分支与混沌！ 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 前面介绍一些物理背景，其实在自然科学和技术科学的 其它领域中，例如化学、生物学、自动控制、电子技术、分 支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性等等，都提出了大 量的微分方程问题. 同样在社会科学的一些领域里也存在着 微分方程的问题. 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应 该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该 把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上. 返回 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 第二节第二节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 定义：把包含未知函数导数的方程叫做 微分方程.例 如方程（1.1）. 1、微分方程 定义的注:联系自变量、未知函数及它的导数(或微 分)的关系式,数学上称为微分方程. 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 设 是自变量 的已知连续函数 ,试求 函数 满足方程 在数学分析中，不定积分问题，实际上是微分 的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下： 分析： 上述（*）方程就是一个典型的微分方程. 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 2、什么是常微分方程？ 定义：在所讨论的微分方程中，当未知函数是一元函数 时，称为常微分方程，而未知函数是多元函数时，称为 偏微分方程. 偏微分方程： 常微分方程： 二阶，线性 二阶，线性 一阶，线性 二阶， 非线性 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 3、微分方程的阶 定义：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数 称为微分方程的阶数（阶）. 一般地，n阶常微分方程为 这里 是 的已知函数，一 定含有 ； 是未知函数， 是自变量. 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 4、线性和非线性 定义：如果微分方程中，未知函数和出现的各阶导数而 言是一次有理整式，则此微分方程称为线性微分方程， 否则称为非线性微分方程. 参见上述各例. 一般地，n阶线性微分方程为 这里 是 的已知函数. 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 5、解和隐式解 1、如果可微函数 代入方程（1.12）后，能使它 变为恒等式，则称函数 为方程（1.12）的解. 2、如果由关系式 所确定的隐函数 是微 分方程（1.12）的解，则称关系式 是微分方程 （1.12）的积分（？）或隐式解. 定义 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 6、通解和特解 定义：把含有 个独立的任意常数 的解 称为 阶方程（1.12）的通解. 类似地，定义n阶方程（1.12）的隐式通解。同样，不 加以区分通解和隐式通解，统称为方程（1.12）的通解. 定解条件：为了确定微分方程一个特定的解，给出这个解 所必需满足的条件。常见的定解条件就是初始条件和边界 条件. 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 定解问题：求微分方程满足定解条件（初始条件）的解. 初值问题(柯西Cauchy问题)：当定解条件是初始条件时，相应的 定解问题就称为初值问题.这是本课程讨论的重点. 特 解：把满足初始条件的解称为微分方程的特解初始条件 不同对应的特解也不同，一般来说，特解可以通过初 始条件的限制，从通解中确定任意常数而得到. 初始条件：所谓n阶微分方程（1.12）的初始条件是 指如下的n个条件： 当 时， 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 例实例分析 讨论下列方程在给定条件下的解 1、求通解: 2、求在点（1,2）的解: 3、求满足条件 的解: 4、求与直线 相切的的解: 分析 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 O x y 一阶微分方程解的曲线图 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 微分方程(1.17)的通解 代表xy平面上的一族曲线，就 称之为微分方程的积分曲线族。 1. 满足初始条件 的特解就是通过点 的一条积分曲线。 2. 方程（1.17）的积分曲线的每一点 上的切线斜率 刚好等于函数 在这点的值 . 7、积分曲线和方向场 积分曲线（定义 ） 的解 代表xy平面上的一条曲线，就称之为微分方 程的积分曲线 。 （1.17） 一阶微分方程 注释： 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 方向场 设函数 的定义域为 ，在每一点 处画 上一个有向小线段，其斜率等于 在该点的值， 把带有这种直线段的区域 称为由方程（1.17）规 定的方向场，又称向量场. 等斜线 在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线（等倾斜线）. 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 图1.2 等斜线 积分曲线：图中实线 讨论微分方程 等斜线是双曲线： 积分曲线的分布概况如左图. 拐点 所在 的曲 线 例 实例分析（方向场） 注释：原方程的解为 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 分析：适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当选取若干 个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场. 例3 画出方程 所确定的方向场示意图. 解 方程的等斜线为 取(0,1)，(0,0)，(0,-1)，画出三条等斜 线,再在每条等斜线上适当选取若干个 点画出对应的向量，即可得方向场（ 如图示），并可以进一步大体描绘出 其积分曲线。 方向场画法 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 例4 考察方程 的方向场和它的积分曲线。 图1.3 图1.4 半直线族 中的直线上每一点的方向都和方向场的 方向重合，故原方程的积分曲线是半直线族 . 除坐标原点（，）外，原方程在整个（x,y）平面上定 义了一个方向场，在任意一点P(x,y)处方向场的方向由比式 确定，这与从坐标原点到P点的射线OP的方向一致 返回 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 8、微分方程组 定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组. Lorenz方程 Volterra两种种群竞争模型 (1.18) (1.19) 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 高阶微分方程 的另一种形式（如果可能！） 如果把 都理解为未知函数，并作变换 上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组 并可以记为向量形式 其中 均为向量函数 分析：微分方程（组）的向量形式为其用 线性代数知识进行研究讨论提供了方便. 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 9、驻定与非驻定、动力系统 如果方程组 的右端不含自变量 ，即 则称为驻定（自治）的，否则就称为非驻定的（非自治）的. 注：对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组. 把满足恒同性和可加性的映射称为动力系统。动力系统分为连续 和离散系统两种类型，对应有连续动力系统和离散动力系统. 注：记 为单参数 的 的映射（变换），则映 射满足恒同性和可加性，即： 和 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 10、相空间、奇点和轨线 把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间； 积分曲线在相空间中的投影称为轨线； 把驻定方程组的解称为微分方程组的平衡解（驻定解、常数解 ）或奇点（平衡点几何定义）； 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 轨线分布图 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 11、雅可比矩阵与函数相关性 对于 个变元的 个函数定义雅可比矩阵为 当 时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式，记为 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 解对常数的独立性是指 对应的行列式不为0，即有： 通解对常数的独立性 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 如果雅可比矩阵 在 内的任何点上的秩皆小 于 ，则 函数相关；如果秩皆为 ，则 函数无关，彼此独立。