中学数学教学中培养学生独立获取数学知识能力的研究.doc

中学数学教学中培养学生独立获取数学知识能力的研究中学数学教学中培养学生独立获取数学知识能力的研究结题报告安徽省霍邱县第一中学培养学生独立获取数学知识能力课题组(执笔：冯克永)中学数学教学中培养学生独立获取数学知识能力的研究是课题组所在学校安徽省霍邱县第一中学承担的安徽省十五规划重点课题，经过三年的实践研究，一年辐射，达到了预期的目标.本文将课题的背景、界定、支撑性理论、主要研究方法、研究过程、研究结论和成果总结如下，供大家在教学研究中参考.1.课题的背景和依据1.1综观世界各国教学大纲(或课标)，无不把培养学生独立获取数学知识能力放在较为突出的位置，我国高中数学课程标准中，除了对基本知识、技能、思想方法及五大能力和两种意识提出具体要求外，还明确提出要培养学生独立获取数学知识能力.因此，培养学生独立获取数学知识能力，是中学数学教育的目标之一.从更广泛的意义上说，学校的目标应是培养独立思考和独立工作的人(爱因斯坦语).独立获取是有所发现，有所突破，有所创造的前提.没有独立获取的能力，就谈不上创造，也不能形成健全的人格，因而就不能适应迅速变化发展的社会.可以说，没有独立获取，社会就不能进步，科学就不能发展.1.2 2006年秋学期安徽省开始实施高中新课程实验，高中数学新课标要求：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，高中数学课程设立数学探究、数学建模等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯.我们在课程改革中体会到，学生如何能真正按照新课标的要求，在数学学习中自主学习，独立获取数学知识，是摆在我们面前的一个新课题，在传统的数学教学中，我们已经习惯于教师教，学生学.教师教什么学生就学什么，学生不会自主学习，不会独立获取数学知识.对上述问题的思考，引起了我们对本课题的极大关注和浓厚兴趣，决定根据学校的实际情况，成立了本课题组，对本课题进行研究，旨在进一步探索新课改的教学模式，进一步指导我校新课改的教学.2.课题研究的目标通过本课题的研究我们以期达到一下四个目标：(1)促进学生学习方式的改变.变被动接受为主动获取，增加成功快感.(2)促进教师教学方式的改变.变讲细讲透为阅读自归探研评导式教学模式.(3)推动新课程的讲授速度.一旦学生有了独立获取知识的能力，自学能力大增，教师只要在重点内容上启发引导就可以.(4)更新教师的教学理念，提高教师的科研水平，培养研究型教师.3.课题研究的内容(1)在新授课中尝试采用阅读自归探研评导的课堂教学模式，培养学生独立获取数学知识的能力.(2)在习题课中尝试采用流感教学法，培养学生独立获取数学知识的能力.(3)在实习作业、研究性课题、数学建模中尝试采用协作交流、撰写文章的教学模式，培养学生独立获取数学知识的能力.4.支撑性理论(或理念)本课题的支撑性理论主要是建构主义学习理论、主体教育理论和新课程核心理念.4.1建构主义学习理论建构主义学习理论认为学习是学习者已有的知识和经验为基础的主动建构.其含意有两个方面：其一，认为学习活动在很大程度上取决于主体已有的知识和经验；其二，认为学习者存在个体差异，这不仅是指主体已具有的知识，而且也包含了认知风格、学习态度、信心、观念和学习动机等.主动构建不只是动手实践，实物操作，向他人主动学习，特别是通过教师的教学进行主动学习是主动建构的主要形式.关于建构主义及其教学内涵，在我国的重要研究者是郑毓信教授.建构主义在数学教育中的应用形成数学教育建构观.数学教育建构观认为：(1)学习数学是主体对数学知识的认知过程，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿、练习等被动的吸收过程，而应是在教师指导下的主动构建学习的过程.(2)这个建构过程依赖于主体已有的认知结构，因而必须具有个体的特殊性，同时，数学知识的建构主要是一个顺应的过程.(3)主体的建构活动必然要受到外部环境的制约和影响，从而它是一个社会建构.这里的外部环境是相对于主体而言的，包括学习的内容和条件，认识的手段和方法等，更包括教师的活动.它们是与主体共存的一个动态的系统.关于数学教育建构观，在我国的主要研究者是南京师范大学涂荣豹教授.4.2主体教育理论主体教育理论是自20世纪90年代以来在我国兴起的教育学理论，它的主要研究者有北京师范大学教育系裴娣娜教授和上海师范大学燕国材教授等.该理论认为，人的主体性是人的自然性和社会性的最本质的特征，是人之所以为人的最重要的前提.人的主体性主要包括三个方面，即本体主体性，价值主体性，实践主体性.主体性教育理论特别强调以下几个方面的教育理论：(1)人是主体教育的出发点，主体教育的直接指向就是完善人、发展人.(2)自由、自觉的活动是个体性发展的决定性因素.(3)主体性教育的近期目标是在教育过程中，通过培养学生的主体意识、主体能力和主体人格，发展和提高学生在教育活动中的能动性，从而成为社会活动的主体(即类主体)，造就具有类主体性的社会成员.主体教育理论，不仅强调了人的主体发展性，而且具体指出了人在发展中的自主性、能动性、创造性，科学地说明了影响和促进人的主体性发展的因素与条件.4.3新课程核心理念新课程的最高宗旨和核心理念-一切为了每一位学生的发展在教学中的具体体现，它意味着：第一，关注每一位学生.每一位学生都是生动活泼的人、发展的人、有尊严的人，在教师的课堂教学理念中，包括每一位学生在内的全班所有的学生都是自己应关注的对象，关注的实质是尊重、关心、牵挂，关注本身就是最好的教育.第二，关注学生的情绪生活和情感体验.孔子说过：知之者莫如好之者，好之者莫如乐之者.教学过程应该成为学生一种愉悦的情绪生活和积极的情感体验.学生在课堂上是兴高采烈还是冷漠呆滞，是其乐融融还是愁眉苦脸?伴随着学科知识的获得，学生对学科学习的态度是越来越积极还是越来越消极?学生对学科学习的信心是越来越强还是越来越弱?这一切必须为我们教师所关注，这种关注同时还要求我们教师必须用心施教，不能做学科体系的传声筒.用心施教体现着教师对本职的热爱，对学生的关切，体现着教师热切的情感.第三，关注学生的道德生活和人格养成.课堂不仅是学科知识传递的殿堂，更是人性养育的圣殿.课堂教学潜藏着丰富的道德因素，教学永远具有教育性，这是教学活动的一条基本规律.教师不仅要充分挖掘和展示教学中的各种道德因素，还要积极关注和引导学生在教学活动中的各种道德表现和道德发展，从而使教学过程成为学生一种高尚的道德生活和丰富的人生体验，这样，学科知识增长的过程同时也就成为人格的健全与发展过程，伴随着学科知识的获得，学生变得越来越有爱心，越来越有同情心，越来越有责任感，越来越有教养.当然，这也要求教师一定要加强自身修养，不断完善自己.5.课题研究的主要方法5.1文献资料法搜集、整理与课题有关的教育教学理论，有关的研究成果(江苏省锡山高级中学华志远老师的课题培养学生独立思考能力及杨志文老师的课题探究性学习的研究成果)，为课题研究提供充实可行的理论依据及实战经验.5.2问卷调查法了解学生对自己独立获取数学知识的认识、态度及教师培养学生独立获取数学知识过程中的问题，以便使课题研究更适合学生.5.3教育实验法在新授课与解题教学中培养学生独立获取数学知识能力将通过比较实验法，以便发现、验证因果规律.如分别确定了好、中、差各三名学生作为跟踪对象，定期获得反馈的信息.以及与个别教师采用传统教学模式进行对比等.班级简比：高一我下大力气改变教法，不搞题海战术，不给学生归纳考题类型，不占用学生课余时间，少订资料，注重培养学生独立获取数学知识的能力.而非课题组的教师，大搞题海战术，认真总结每个知识点的所有考题类型，每个题型千锤百炼，考试学生套，效果很好，平均分超过我25分以上，班主任、学校领导都找我帮我出点子(题海战)，但我不动摇，看三年效应.09年高考成绩相差较小，但我的学生花的时间比他们少，最高分比他们高，何乐而不为呢?学生个案1(邓中良)：由于初中搞题海战术，高一开始我很喜欢但不习惯冯老师的新教法，不搞题海战，不归纳题型，开始很迷茫，考试套不上题型，只好慢慢解，成绩不理想，但冯老师常说考试遇到原题分数要折扣，你们考的不错了.慢慢的我感悟了，会分析题目，探究解法，变化题目等.深感思考是快乐的及纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行的真谛.功夫不负有心人，09年高考考了147分，写了一些小论文，还辐射其它学科的学习，三年很值.学生个案2(薛韩)：初中我不喜欢独立思考，学习数学很被动，基础也不太好.很巧进入高一的第一节课，冯老师让我与李曼演板初中题：计算李曼的解法：原式=我的解法：原式=冯老师：两位学生的答案不一样，哪一位同学正确呢?学生(异口同声地)：李曼.我慢慢地低下了头，脸也红了.冯老师：薛韩的解法错在哪呢?学生：张冠李戴把分式方程变形(去分母)搬到解计算题上了，结果丢了分母.冯老师：对.但我认为薛韩同学能够把方程思想运用到解分式计算题上，真是妙极了.她给了我们一个很好的启示，若能将该题去掉分母来解，其解法就简捷明快.请同学们思考，我们能否利用薛韩同学方程的思想来解它呢?学生：能.设去分母解得冯老师：妙呀！真高明！这种解法较之李曼同学更为简捷.薛韩同学虽然解错了，但她的这种用方程的思想解分式计算题不因循陈规，不因袭前人，是自己思维的真实展示.这种解法可谓是独辟蹊径，独创新颖.她虽错犹荣：给了我们有益的启示.此时，我非常激动，是冯老师唤回了我的自信.从这以后，我上数学课信心十足，大胆发言，彰显自我，对有些问题的解决也常常与众不同，有自己的独到之处，课余对数学也是情有独钟.09年高考我以142分的优异成绩回报冯老师.学生个案3(吴金歌)：冯老师讲解递推数列求项时，给出题：数列中,求通项并介绍分离常数法解此题后，让我们思考、感悟并交流.此题与秦九韶的递推算法联系紧密，我不由自主地说：利用秦九韶算法.学生大笑(多嘲笑)，但冯老师微笑说：我没想到，你能教我们吗?我很快讲完了过程，赢得了掌声.第二天上课冯老师写了一篇借用秦九韶算法求数列通项(此文发表在中小学数学(高中版2009年7-8期)的文章，抄在黑板上，使我个性张扬最大化.我特别喜欢冯老师的教法及创设的和谐课堂，能让我们扬眉吐气，养成独立思考的习惯，数学成绩提升较快，09年高考我考了125分.5.4经验总结法在教育实验中不断运用经验总结法，探求在新授课与解题教学中培养学生独立获取数学知识能力的教学模式或教学法.5.5案例研究法对教学中开展学生独立获取数学知识能力的培养要采取案例研究法，通过公开课、研究课，进行研讨、相互交流，探求在新授课、习题课、研究性课题、实习作业和数学建模中开展学生独立获取数学知识能力的培养的组织形式、过程步骤、评价方法等，及时总结经验，收取教训，不断改进.6.课题研究的主要过程6.1搜集、整理与课题有关的教育教学理论及有关的研究成果为了给课题研究提供充实可行的理论依据，我们到学校图书馆查阅相关资料，在网上搜集相关资料，我到合肥购买相关书籍，供课题组成员自学，不断提高课题组成员的理论水平和研究能力.6.2问卷调查，全面了解学生为了全面了解学生在初中开展自己独立获取数学知识活动的情况及其认识和态度，使我们的研究更加适合与学生.我们以新授课、习题课、研究课等不同课型设计了6个问题，其目的主要了解学生对教师教方面培养独立获取数学知识的意向.又从学生对自己独立获取数学知识的态度、认识出发设计了6个问题，其目的主要了解学生学方面对自己独立获取数学知识的态度和认识.由这12个问题设计了对学生独立获取数学知识能力状况的调查问卷.对2006届高一5个班的学生进行了抽样调查，对257份问卷进行了认真的统计分析.分析所得数据及结论如下(详见附件1)：6.2.1对教师教的调查数据及分析调查数据：64.2%的学生选择数学课堂上思考时间比较少；51.4%的学生选择数学课堂教学中偶尔有合作交流但流于形式；48.2%的学生选择对老师创设的问题，探究的动力是升学的压力；61.9%的学生选择在数学概念课教学中，教师应引导学生从实际问题中归纳出概念；8.9%的学生选择在数学公式、法则、定理教学中希望教师直接给出结论，教会学生运用；67.0%的学生选择在例题教学中，喜欢教师先让学生自己思考，再引导学生探索解答.分析：这些数据表明，教师教学观念的更新还存在着较大的差异和波动.虽然满堂灌的教学观念象在我校已不多见，但如何真正体现主体性教育的理念，把培养学生的能力放在较为突出的位置，依然是一个极富有挑战性的课题.交谈中，一些成绩一般的学生也懂得独立获取的重要性，但由于基础和能力等诸多原因，这种独立性受到极大的限制.因此在教学中，首先，设置的问题难度必须适中.问题太易，学生会产生厌倦和轻视心理；太难，学生会望而生畏.教师设计的问题应接近学生的最近发展区，让学生跳一跳，摘得到果子，从而使独立获取具有可能性.其次，教师要给学生独立获取留下充足的时间，以确保多数同学对提出的问题已作深入的思考后，再进行分析讨论，从而使课堂的知识容量与思维容量和谐匹配，使学生的知识水平和思维能力同步发展.6.2.2对学生学的调查数据及分析调查数据：63.8%的学生选择在初中数学课上，偶尔尝试过自己独立获取数学知识；9.3%的学生选择完全不想参与其他同学讨论数学题；52.9%的学生选择对解决日常生活的数学问题有点兴趣；61.9%的学生选择请教他人解决学生难题；4.4%的学生选择在探究数学题中，自己独立获取数学知识能力对获得成功更重要；52.5%的学生选择在自己独立获取数学知识中偶尔拥有成就感.分析：这些数据表明，全寄宿制学校的学生整天在一起学习，相互之间可商量、讨论、参考的机会较大.这本无可非议，但长此以往，一旦形成依赖别人的学习习惯，将使独立分析解决问题的心理及能力受到极大的影响.此外，这种解题共享的做法，不利于教学信息真实有效地反馈，以及教学进程、策略和要求的反馈.教学中，教师多创设绿色的教学环境，使学生品尝到自己独立获取数学知识并获得成功的喜果，激活内动力.6.2.3调查后的尝试与启示首先，通过问卷调查、学生座谈以及统计、分析和判断，我们发现，独立获取与学习效果具有在相关关系.一般地，越是优秀的学生，独立获取的习惯就越好，而良好的学习习惯逐渐又转化为一种能力，从而为独立获取活动提供支撑和保证为了形成良性循环，教学中对各类学生应采用不同的教学策略。提高独立获取的能力.于是，在完成问卷调查后，我们分别确定了好、中、差各三名学生作为跟踪对象，定期获得反馈的信息.我们采用的策略是：对于水平较高的学生应采用放的方式，为他们提供更为广阔的独立获取时间和空间；对于中等生应采用激的方式，为他们提供要求适中的问题，逐步养成独立获取的习惯；对于差生应采用诱的方式，为他们提供适度的帮助点，多给一些鼓励和启发，促进他们形成独立获取的自我意识.其次，独立获取并不排斥同学之间的合作互助，但合作学习必须建立在个体独立获取的基础上.对于一个具体的问题，倘若没有形成自己独到的见解，就急于与人合作和会话，必定会影响思维的主动性，从而影响思维能力的提高.可以这么说，没有独立获取，也就没有合作学习的本质内容，合作讨论就成了无源之水、无本之木，因而合作也就只能流于形式.此外，在教学中，我们还认识到，学生由于思考对象不同，导致思考要求也不同，因而，独立获取的层次也表现出差异.如出声想只是知识的复现思考，练习操作是技能、方法的思考，这两种都处于思考的较低层次，对解决问题策略的选择则要从数学观念、思想、方法、知识不断检索，反复多次，才能实现，因而需要一个过程，其思考形式往往是无声的，但思维活动及心理活动极为丰富和复杂，可谓此时无声胜有声，思考水平处于较高层次.反思性学习实际上学生元认知能力的体现，学生要从更宏观的角度加以独立思考，因而思考的时间更为持久，空间更为广阔，层次水平更高.教学中，让学生出声想、做数学是独立获取活动最基本的保证，但我们决不能仅停留在操作的层面上，而应腾出充足的时间，让学生对自己的实践活动做进一步的反省抽象从而使他们的思维活动向更高境界迈进.其中，引导学生用数学思想方法对解决问题的策略作思考，并让学生对学习活动进行不断反思，是提高学生独立获取数学知识能力水平的有效途径.6.3相互听课，研讨交流课题组成员之间坚持互相听课，听课后进行认真研讨交流.除了平时的相互听课交流外，课题组成员每学年在校内上公开课一次，课题组内上有关课题的研究课一次，并组织课题组成员进行专题研讨.四年来课题组成员在组内上研究课15节，霍邱县公开课2节，六安市公开课1节.6.4案例分析，总结提高对教学中开展学生独立获取数学知识能力的培养我们还采取了案例分析法，从教学的个案进行分析研究，专家会诊，发现问题，及时矫正，总结提高.通过听课交流、案例分析等实践研究，得到了培养学生独立获取数学知识能力的课堂教学模式.6.5积极探索，大胆实践对解题教学、研究性课题、实习作业和数学建模中培养学生独立获取数学知识能力我们运用经验总结法，积极探索、大胆实践，探求在解题教学、研究性课题、实习作业和数学建模中培养学生独立获取数学知识能力的客观规律.对于解题教学我们采取了流感教学法，对于研究性课题我们采取了小组讨论式的学习方式，对实习作业和数学建模我们坚持了走出课堂，深入生活，接触社会，通过学生自己动手操作、亲身实践，体验运用数学知识解决实际问题的研究过程.经过三年的实践研究，得到了在新授课与解题教学中培养学生独立获取数学知识能力教学的基本模式和教学方法.7.主要研究结论7.1关于新授课的教学模式-阅读自归探研评导教学模式简介：7.1.1阅读自归探研评导课堂教学具有以下六个特点：有明确的学习目标.学生的学习，不但有认识目标、技能目标，还应有情感目标；学生自主学习，主动参与，真正成为学习的主体；教学双边关系是互动、互长、和谐、默契；教学方法是阅读、归纳、交流、评导、合作、探研，留给学生充裕的思维时间和空间；开发利用好身边的数学资源；教学评价既要关注学生学习的结果，也要关注他们的学习过程；既要关注学生学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度.7.1.2教学策略阅读自归探研评导的教学模式是学生先自主阅读，归纳出一节课的内容，然后提出问题，并相互交流、讨论，最后教师点评并引导学生再探研.这样不仅利于掌握知识、训练技能，而且注重于智能的开发和未来的发展。其教学策略主要包括：和谐的师生(包括生生)关系是学习的基础；培养创新思维、良好的心理品质是学习的核心；教师确定阅读归纳的内容是学习的前提；归纳、交流、评导、探研是学习方法；开发利用数学资源(如网络、三农问题等)是学习的有力保证.教学中应适时点评，引导学生发表不同见解，引起争论，进行批判性思考，最终师生形成共识，共同发展，把教学过程设计为学生探索知识的过程，培养学生主动获取信息、收集并处理信息的过程，培养学生创造性与主体品质的过程.7.1.3教学的主要环节教学过程主要由以下五个环节组成：阅读归纳：教师预定阅读范围，学生阅读归纳并提出问题.交流讨论：学生先把自己归纳的内容、提出的问题在小组内交流讨论，形成共识.然后选代表在全班交流讨论，形成共识.这是学生表现自我、集体协作、开放思维空间的重要措施.点评导研：教师对每组归纳的内容、提出的问题认真点评，引导他们利用身边与此内容有关的数学资源研编习题，与人共享.培养学生的科学态度和探索精神，增强实践及应用意识.反馈纠正：根据反馈原理，任何系统只有通过反馈信息才能实现控制.通过反馈获得信息，学生及时发现归纳探研中的不足之处，教师及时发现点评探研的不足之处，采取补救措施，及时调整，实现教学过程的最优化.巩固发展：教学中要注意让学生搜集信息，梳理信息，理出知识网络，扩建知识结构，从而达到巩固知识的目的.同时还要寓科学方法教育于数学教学之中，这样学生不但掌握了科学知识，还学会了科学方法；不但发展了思维能力，还培养了心理品质，这是数学教学的根本目的所在.7.1.4应把握的问题教学遵循一定的模式，但千万不要被模式困死，教学中应把握以下三点：一是给学生一个自己的空间，包括独立思维的空间(让学生成为学习的主人，让学生学会独立思维，让学生都有参与活动的机会)、独立人格的空间(每个学生在集体中有展现人格独立性的一席之地).二是给学生一个展现的机会.即不但展现能力、展现学习成果，还展现个性.让学生在展现过程中认识自我、发展自我.三是开发利用好身边的数学资源，让学生善于利用有利条件，发现问题，解决问题，增强社会生存能力.7.1.5建立新的教学评价体系课堂教学评价具有激励和导向作用，是课堂教学的指挥棒.阅读自归探研评导课堂评价则将评价贯穿于数学学习的全过程，既发挥评价的甄别与选拔功能，更突出评价的激励与发展功能.此评价有利于营造良好的育人环境，有利于数学教与学活动过程的调控，有利于学生和教师的共同发展，因此评价教学应注重以下几点：学生学习的兴趣程度、精神风貌、情感态度、学习气氛和学习品质.学生参与的广度和深度及与同伴交流、合作的程度.学生在学习中不断反思与改进的过程中闪现的亮点.学生要有足够的活动时间及空间，能充分开发利用身边的数学资源.学生既要掌握科学知识，又要提高科学素养；既要发展思维能力，又要形成优良的情感、态度、价值观.有关阅读自归探研评导教学模式的详细介绍及教学案例见附件2.7.2有关解题教学方法-流感教学法及教学案例：流感教学法：抛出(或创设)问题，交流解法，引发探究，又获新问，互相感染，共同提升.兹举教学片段，展示此法，供读者参考.愿此法能向流感一样传播.教学片段一：在教学函数奇偶性时，我采用此法，抛出例题：判断下列函数的奇偶性：1.；2.；3.学生很快就得出答案：1.奇函数；2.偶函数；3.既不是奇函数也不是偶函数.一位女生说：此题虽简单，但有发展性.同学观察3个结果完美吗?若不完美差什么结果,能把差的这个结果的函数找出来吗?一位男生说：既是奇函数又是偶函数.利用且得到，即例题留有空间，学生在交流中提出问题，解决问题，并感受数学美，这正是新课程所倡导的.教学片段二：在复习正、余弦定理时，我情不自禁地说：本是同根生，理应互推导.(之前我也没推过)顿时探究味浓烈，我与学生边推导边交流，共识如下：由正弦定理推导余弦定理：设则，所以，所以.又=将代入并整理得.同理可证；由余弦定理推导正弦定理：同理可得.除以得所以即同理可得.所以证毕.学生在愉快的环境中，领略数学知识的内联美，多相互为用，少相煎何太急.教学片段三：在复习椭圆时，我抛出一题：(2007年重庆文，12)已知以为焦点的椭圆与直线有且只有一个交点，则椭圆的长轴长为()现将同学解答摘录如下：方案一(直接法)：设椭圆方程与联立，得由可得故选方案二(验证法)：逐个验证可选如所以联立，得方案三(对称法)：求出点关于直线的对称点则故选同学们的三个方案都很好，还有问题吗?班长：方案三只有孙家庆同学给出，他让我们眼睛一亮，能给我们解释一下吗?孙家庆：学友们先探究一下好吗?学生A：可设切点为，只要证明三点共线即可，但求点坐标较繁.孙家庆：从形入手，联系三角形边关系，只要证明切线上任意一点到两焦点的距离之和的最小值在切点处取到即可.即证明切线上的点到椭圆的两个焦点的距离之和的最小值等于椭圆的长轴长，学友们加油！学生B：用师生探究椭圆定义时得到的结论点分别在椭圆外椭圆上椭圆内的充要条件是点到椭圆的两个焦点的距离之和分别大于等于小于椭圆的长轴长，易证.继续探究发现：直线上的点到椭圆的两个焦点的距离之和的最小值等于椭圆的长轴长，则和椭圆相切.同学们探究得很好！再获杰作直线和椭圆相切的充要条件是到椭圆的两个焦点的距离之和的最小值等于椭圆的长轴长.它激活我的思维，在抛一题：点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，试过点作出椭圆的切线.孙家庆等同学解答如下：作法以为圆心，为半径画圆；联结并延长使其与圆相交于点，联结；过点作线段的垂直平分线即为所求切线.证明：联结，由上作法和平几的有关知识易知，所作直线上的点到的距离之和的最小值应为，由以上杰作可知，直线与椭圆相切，且为切点.8.研究成果8.1课题研究促进了教