2016届北京市海淀区高三第二学期期末练习理科数学试题及答案.doc

海淀区高三年级第二学期期末练习 数学（理科） 2016.5本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知全集， 则 a. b. c. d.2.在数列中，且，则的值为a. b. c. d.3. 若点在直线（为参数）上，则的值为 a. b. c. d.4.在中， 则 a. b. c. d.5.在(其中)的展开式中，的系数与的系数相同，则的值为a. b. c. d.6.函数的零点个数是a.1个 b.2个 c.3个 d.4个7. 如图，在等腰梯形中，. 点在线段上运动，则的取值范围是a. b. c. d.8.直线与轴的交点分别为, 直线与圆的交点为. 给出下面三个结论： ； ；则所有正确结论的序号是 a. b. c. d.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 已知其中为虚数单位，则_. 10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名同学，统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成频率分布直方图（如图）. 则这100名同学中参加实践活动时间在小时内的人数为 _ .11. 如图，是上的三点，点是劣弧的中点，过点的切线交弦 的延长线交于点. 若，则12. 若点在不等式组所表示的平面区域内，则原点到直线距离的取值范围是_. 13.已知点，若这三个点中有且仅有两个点在函数的图象上，则正数的最小值为_.14.正方体的棱长为，点分别是棱的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. （本小题满分13分） 已知函数.（）比较，的大小；（）求函数的最大值. 16.（本小题满分13分）某家电专卖店试销a、b、c三种新型空调，销售情况如下表所示：第一周第二周第三周第四周第五周型数量（台）111015型数量（台）101213型数量（台）15812()求型空调前三周的平均周销售量 ；()根据型空调连续3周销售情况，预估型空调连续5周的平均周销量为10台.请问：当型空调周销售量的方差最小时， 求，的值； (注：方差，其中为，的平均数)（）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中 型空调台数的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分） 如图，等腰梯形中，于，于，且，.将和分别沿、折起，使、两点重合，记为点，得到一个四棱锥，点，分别是的中点.（）求证：平面；（）求证：；（）求直线与平面所成的角的大小.18.（本小题满分14分） 已知函数. （）当时，求函数的单调区间；（）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；() 若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.(只需直接写出结果)19. （本小题满分13分）已知点其中是曲线上的两点， 两点在轴上的射影分别为点,且. （）当点的坐标为时，求直线的斜率；（）记的面积为，梯形的面积为，求证：. 20.（本小题满分13分）已知集合,其中., 称为的第个坐标分量. 若，且满足如下两条性质： 中元素个数不少于4个； ，存在，使得的第个坐标分量都是1；则称为的一个好子集.（）若为的一个好子集，且，写出；（）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过；（）若为的一个好子集且中恰好有个元素时，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是1. 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科） 2016.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案abdbcacc二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）9 10 11.12 13 14三、解答题(本大题共6小题,共80分)15解：（）因为所以 2分 4分因为 ,所以 6分（）因为 9分令 ， 所以, 11分因为对称轴, 根据二次函数性质知，当 时，函数取得最大值 13分16解: (i) 型空调前三周的平均销售量台 2分（）因为型空调平均周销售量为台，所以 4分又化简得到 5分因为，所以当或时，取得最小值所以当 或时，取得最小值 7分（）依题意，随机变量的可能取值为， 8分, , , 11分随机变量的分布列为随机变量的期望. 13分17解: （）证明：连结.在中，因为分别是所在边的中点，所以， 1分又, 所以, 2分所以是平行四边形，所以, 3分又平面，平面, 4分所以平面. 5分（）证明：方法一：在平面内，过点作的平行线，因为所以平面,所以平面，所以.又在中，因为，所以.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系 6分 所以 7分所以， 8分所以，所以. 9分方法二：取中点，连接. 又为的中位线，所以 又，所以，所以在一个平面中. 6分 因为是等边三角形，所以,又，所以, 7分 且，所以平面， 8分而平面, 所以. 9分（）因为, 所以, 即, 又 , 所以平面，所以就是平面的法向量. 11分又，设与平面所成的角为，则有 13分所以与平面所成的角为. 14分18解: （）函数的定义域为. 当时， 2分当变化时，的变化情况如下表：极大值极小值4分函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为. 5分（）解：因为在区间上有解，所以 在区间上的最小值小于等于. 因为, 令,得. 6分当时，即时，因为对成立，所以在上单调递增，此时在上的最小值为所以，解得，所以此种情形不成立， 8分 当，即时， 若, 则对成立，所以在上单调递增，此时在上的最小值为 所以，解得，所以 . 9分若，若，则对成立，对 成立.则在上单调递减，在上单调递增，此时在上的最小值为所以有，解得，10分当时，注意到, 而，此时结论成立. 11分综上，的取值范围是 . 12分法二：因为在区间上有解，所以在区间上的最小值小于等于，当时，显然，而成立， 8分当时,对成立，所以在上单调递增，此时在上的最小值为，所以有，解得，所以. 11分综上，. 12分（）的取值范围是. 14分19解：（）因为，所以代入，得到， 1分又，所以，所以， 2分代入，得到， 3分所以. 5分（）法一：设直线的方程为. 则 7分由, 得,所以 9分又, 11分又注意到，所以，所以， 12分因为，所以, 所以. 13分法二：设直线的方程为 .由, 得,所以 7分, 8分点到直线的距离为, 所以9分又, 11分又注意到，所以，所以， 12分因为，所以,所以. 13分法三：直线的方程为 , 6分所以点到直线的距离为 7分又, 8分所以又 9分所以 10分因为, 所以 11分代入得到， 12分因为, 当且仅当时取等号，所以. 13分20解：（） 2分（）对于，考虑元素，显然，对于任意的，不可能都为1，可得不可能都在好子集中 4分又因为取定，则一定存在且唯一，而且，且由的定义知道， 6分这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素个数为，所以中元素个数不超过； 8分（），定义元素的乘积为：，显然. 我们证明:“对任意的，都有.”假设存在, 使得，则由（）知，此时，对