2016届江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市高三上学期期中抽测数学试题（含选做题）及答案.doc

- 1 - 江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市 2015-20162015-2016 学年度第一学年度第一 学期高三期中抽测数学试题学期高三期中抽测数学试题 数学数学 参考公式：参考公式：1.1.样本数据样本数据的方差的方差其其 n xxx, 21 ,)( 1 2 1 2 n i i xx n s 中中; 1 1 n i i x n x 2.2.锥体的体积公式：锥体的体积公式：其中其中s s是锥体的底是锥体的底, 3 1 shv 体 体体 体 面积，面积，h h是高是高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小小题，每小 题题 5 5 分，共计分，共计 7070 分请把答案填写分请把答案填写 在答题卡相应位置上在答题卡相应位置上 1 1已知集合已知集合则则 ,11 xxa za 2.2.若复数若复数为虚数单位）是为虚数单位）是iimiz)(2)(1( 纯虚数，则实数纯虚数，则实数的值为的值为 m 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后请将答题卡交回 2答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置 3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效作答必须用 05 毫 米黑色墨水的签字笔请注意字体工整笔迹清楚 4如需作图须用 2b 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗 5请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 1 , 2 ns 8 n y 输出 s 结束 开始 s s 1 1 1 nn 第 6 题图 - 2 - 3 3数据数据 1010，6 6，8 8，5 5，6 6 的方差的方差 2 s 4 4抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1 1，2 2，3 3，4 4 的正四面体，记底面上的数字分别为的正四面体，记底面上的数字分别为，则，则为整数的概为整数的概yx, y x 率是率是 5 5已知双曲线已知双曲线的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为则则)0( 1 2 2 2 m m y x , 0 3 yx m 6 6执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 7 7底面边长为底面边长为 2 2，侧棱长为，侧棱长为的正四棱锥的体积为的正四棱锥的体积为 . . 3 8 8在等比数列在等比数列中，若中，若则则 n a),1(4, 1 4531 aaaa 7 a 9 9已知已知则向量则向量的夹角为的夹角为 ),2, 1( , 2 , 1 bababa, 10.10.直线直线被圆被圆截得的弦长为截得的弦长为 2 2，则实，则实01 yax02 22 aaxyx 数数 的值是的值是 a 1111将函数将函数则不等式则不等式的解集为的解集为 ,2)( 2 xxxf )2()(log2fxf 1212将函数将函数的图象向左平移的图象向左平移个单位，若所得图个单位，若所得图xy2sin )0( 象过点象过点，则，则 的最小值为的最小值为 ) 2 3 , 6 ( 1313在在中，中，角角 的平分线与的平分线与边上的中线交边上的中线交abc , 3 , 2 acabaab 于点于点 ，若，若则则的值为的值为 o),(ryxacyabxao yx 1414已知函数已知函数为自然对数的底数）为自然对数的底数） ，exexf x (2)( 1 若存在实数若存在实数，使得，使得且且 , 3 )( 2 aaxxxg 21, x x , 0 )()( 21 xgxf - 3 - 则实数则实数 的取值范围是的取值范围是 , 1 21 xxa 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在答题卡指定分请在答题卡指定 区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤骤 15.15.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 在锐角在锐角中，角中，角所对的边分别为所对的边分别为且且abccba, , 6 , 4 , cbcba .32sin ba （1 1）求角求角 的大小；的大小；a （2 2）若若为为的中点，求线段的中点，求线段的长的长. .dbcad - 4 - 16.16. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 如图，在四棱锥如图，在四棱锥中，中，与与交于点交于点abcdp acbdaccdab,/ bd 且平面且平面,o 平面平面为棱为棱上一点上一点. . paceabcd,pa （1 1）求证：求证：;oebd （2 2）若若求证：求证：平面平面 ,2,2epaecdab /eo.pbc 17.17.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 已知数列已知数列满足满足，且，且 n a),(2 * 21 rknnkaaa nnn . 4 , 2 531 aaa （1 1）若若求数列求数列的前的前 项和项和 , 0 k n an; n s （2 2）若若求数列求数列的通项公式的通项公式, 1 4 a n a. n a p e ab c d o 第 16 题图 - 5 - 18.18. （本小题满分（本小题满分 1616 分）分） 如图，墙上有一壁画，最高点如图，墙上有一壁画，最高点 离地面离地面 4 4 米，最低点米，最低点 离地面离地面ab 2 2 米，观察者从距离墙米，观察者从距离墙米，离地面高米，离地面高米的米的 处观处观)1( xx)21( aac 赏该壁画，设观赏视角赏该壁画，设观赏视角. acb （1 1）若）若问：观察者离墙多远时，视角问：观察者离墙多远时，视角 最大？最大？, 5 . 1 a （2 2）若）若当当 变化时，求变化时，求, 2 1 tan a 的的x 取值范围取值范围. . 19.19. （本小题满分（本小题满分 1616 分）分） a 2 4 x a b c （第 18 题图） - 6 - 如图，椭圆如图，椭圆的上、下顶点分别为的上、下顶点分别为，右焦，右焦)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x cba, 点为点为点点 在椭圆在椭圆 上，且上，且,fpc.afop （1 1）若点若点 坐标为坐标为求椭圆求椭圆 的方程；的方程；p),1 ,3(c （2 2）延长延长交椭圆交椭圆 于点于点 ，若直线，若直线的斜率是直线的斜率是直线的的afcqopbq 斜率的斜率的 2 2 倍，求椭圆倍，求椭圆 的离心率；的离心率；c （3 3）求证：存在椭圆求证：存在椭圆 ，使直线，使直线平分线段平分线段caf.op 20.20.（本小题满分（本小题满分 1616 分）分） 已知函数已知函数., 1cos)( 2 raaxxxf （1 1）求证：函数求证：函数是偶函数；是偶函数；)(xf （2 2）当当求函数求函数在在上的最大值和最小值；上的最大值和最小值；, 1 a)(xf, o a p f b q x y 第 19 题图 - 7 - （3 3）若对于任意的实数若对于任意的实数 恒有恒有求实数求实数 的取值范围的取值范围. .x , 0 )( xfa 徐州市徐州市 2015201520162016 学年度高三第一学期期中质量抽测学年度高三第一学期期中质量抽测 数学数学(附加题附加题) ) - 8 - 21.【21.【选做题选做题】本题包括本题包括四个小题，请选定其中两个四个小题，请选定其中两个dcba, 小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前 两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . a.a.选修选修 4 41 1：几何证明选讲：几何证明选讲 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 如图，如图，是是 的直径，的直径，与与 相切于点相切于点为线段为线段上上abocboeb,cb 一点，连结一点，连结分别交分别交 于于两点，连结两点，连结并延长交并延长交, aeacogd,dg 于点于点若若求线段求线段的长的长. .cb,f , 3 , 1,3 gaegefebce b.b.选修选修 4 42 2 ：矩阵与变换：矩阵与变换 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后请将答题卡交回 2答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置 3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效作答必须用 05 毫 米黑色墨水的签字笔请注意字体工整笔迹清楚 4如需作图须用 2b 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗 5请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 a f b g d o ec 第 21a 图 - 9 - 已知矩阵已知矩阵向量向量，若，若求实数求实数, 12 11 , 1 21 b x a y 2 , ba 的值的值. .yx, c.c.选修选修 4 44 4 ：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 已知直线已知直线 的参数方程为的参数方程为为参数）为参数） ，以坐标原点为，以坐标原点为lt ty tx ( 2 2 2 2 1 极点，极点， 轴的非半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的非半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方的极坐标方xc 程为程为若直线若直线 与曲线与曲线 交于交于两点，求线段两点，求线段,cos2sin2 lcba, 的长的长. .ab 【选做题选做题】第第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分分. .请在请在 答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤. . 22.22.（本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有 2 2 名男生、名男生、3 3 名女生，乙组有名女生，乙组有 3 3 名男生、名男生、1 1 名女生，学校计划从两兴趣小名女生，学校计划从两兴趣小 组中随机各选组中随机各选 2 2 名成员参加某项活动名成员参加某项活动 . . （1 1）求选出的求选出的 4 4 名选手中恰好有名选手中恰好有 1 1 名女生的选派方法数；名女生的选派方法数； （2 2）记记x x为选出的为选出的 4 4 名选手的人数，求名选手的人数，求x x的概率分布和数的概率分布和数 学期望学期望. . - 10 - 23.23. （本小题满分（本小题满分 1010 分）分） 已知抛物线已知抛物线过点过点，直线，直线 过点过点与抛物线与抛物线:c)0(2 2 ppyx)1 , 2(l)1 , 0 ( p 交于交于两点，点两点，点 关于关于 轴的对称点为轴的对称点为，连接，连接. .cba,ay aba （1 1）求抛物线求抛物线 标准方程；标准方程；c （2 2）问直线问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，ba 请说明理由请说明理由. . b p a a o （第 23 题图） x y - 11 - 徐州市徐州市 2015-20162015-2016 学年度高三年级摸底考试学年度高三年级摸底考试 数学数学 i i 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一填空题：本大题共一填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分请分请 把答案填写在答题卡相应位置把答案填写在答题卡相应位置 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1,0,12 16 5 1 2 3 3 1 7 7 4 3 8 84 4 9 9 1010 1111 1212 1313 2 3 2(0,1)(4,) 6 1414 5 8 2,3 二解答题：本大题共二解答题：本大题共 6 6 小题，小题，15151717 每小题每小题 1414 分，分，1818 2020 每小题每小题 1616 分，共计分，共计 9090 分分 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或计算步骤过程或计算步骤 1515 （1 1）由正弦定理，得）由正弦定理，得， sinsinabba 22 分分 - 12 - 因为因为b b4 4，所以，所以， sin2 3ab 3 sin 2 a 44 分分 又又，所以，所以 0 2 a 3 a 66 分分 （2 2）若）若b b4 4，c c6 6，由余弦定理得，由余弦定理得 a a2 2b b2 2c c2 22 2bcbccoscos a a16163636224224 2828， 1 2 所以所以a a 2 7 88 分分 又因为又因为，所以，所以，从而，从而， sin2 3ab 21 sin 7 b 2 7 cos 7 b 1010 分分 因为因为 为为的中点，所以的中点，所以dbcbddc7 在在由余弦定理，得由余弦定理，得，abd 222 2cosadabbdab bdb 即即，所以，所以，1414 分分 2 2 7 36726719 7 ad 19ad 1616 （1 1）因为因为平面平面底面底面，平面，平面底面底面，pacabcdpacabcdac ，bdac 平面平面，所以所以平面平面，又又因为因为平面平面，bd abcdbd pacoe pac 所以所以66 分分bdoe （2 2）因为因为，与与交于交于 ，所以所以/abcd2abcdacbdo ，:1:2co oacd ab 又又因为因为，所以所以，所以所以，又又因为因为2aeep:co oape ea/eopc 平面平面，平面平面，所以所以平平pc pbceo pbc/eo 面面1414 分分pbc 1717 （1 1）当）当时，时，即，即，0k 12 2 nnn aaa 211nnnn aaaa 所以，数列所以，数列是等差数列是等差数列22 分分 n a 设数列设数列公差为公差为 ，则，则解得解得44 n ad 1 1 2, 264, a ad 1 2, 4. 3 a d 分分 所以，所以，66 2 1 (1)(1)428 2() 22333 n n nn n snadnnn 分分 （2 2）由题意，）由题意，即，即，所，所 435 2aaak24k - 13 - 以以88 分分2k 又又，所以，所以，由，由， 43221 22326aaaaa 2 3a 12 22 nnn aaa 得得， 211 ()()2 nnnn aaaa 所以，数列所以，数列是以是以为首项，为首项，为公差的等差数为公差的等差数 1nn aa 21 1aa2 列列 所以所以，1010 分分 1 23 nn aan 当当时，有时，有，2n 1 2(1)3 nn aan 于是，于是， 12 2(2)3 nn aan ， 23 2(3)3 nn aan ， 32 223aa ， 21 2 13aa 叠加得，叠加得， 1 2(12(1)3(1),(2) n aannn 所以所以， 2 (1) 23(1)241,(2) 2 n n n annnn 1313 分分 又当又当时，时，也适合也适合1n 1 2a 所以数列所以数列的通项公式的通项公式 n a 为为1414 分分 2* 41, n annn n 1818 （1 1）当）当时，过时，过 作作的垂线，垂足为的垂线，垂足为 ，1.5a cabd 则则，且，且，0.5bd acdbcd 由已知观察者离墙由已知观察者离墙 米，且米，且，x1x 则则，22 分分 0.52.5 tan,tanbcdacd xx 所以，所以，tantan()acdbcd ， 22 2.50.52 222 5 2.5 0.51.251.25 55 11 2 4 xxx x xxx 当且仅当当且仅当时，取时，取“ ” 66 分分 5 1 2 x 又因为又因为在在上单调增，所以，当观察者离墙上单调增，所以，当观察者离墙米时，米时，tan(0,) 2 5 2 视角视角 最大最大88 分分 （2 2）由题意得，）由题意得，又，又， 24 tan,tan aa bcdacd xx 1 tan 2 b a a c d 4 2 x （第 18 题图） - 14 - 所以所以， 2 21 tantan() (2) (4)2 x acdbcd xaa 1010 分分 所以所以， 22 684aaxx 当当时，时，所以，所以，12a 2 0683aa 2 043xx 即即，解得，解得或或， 2 2 40 430 xx xx 01x34x 1414 分分 又因为又因为，所以，所以，1x 34x 所以所以 的取值范围为的取值范围为1616 分分x3,4 1919 （1 1）因为点）因为点，所以，所以，( 3,1)p 1 3 op k 又因为又因为afaf opop， 1 1 3 b c 所以，所以，所以，所以，3cb 22 34ab 22 分分 又点又点在椭圆上，所以在椭圆上，所以，( 3,1)p 22 31 1 ab 解之得解之得故椭圆方程故椭圆方程 22 1313 , 34 ab 为为44 分分 22 1 1313 34 xy （2 2）由题意，直线）由题意，直线afaf的方程为的方程为，与椭圆，与椭圆 方程方程1 xy cb c 22 22 1 xy ab 联立消去联立消去 ，得，得， y 22 2 22 2 0 acx x a cc 解得解得或或，所以，所以 点的坐标为点的坐标为，0x 2 22 2a c x ac q 222 2222 2() (,) a cb ca acac 77 分分 所以直线所以直线的斜率为的斜率为，bq 22 22 22 22 () 2 bq b ca b bc ac k a ca ac 由题意得，由题意得，所以，所以，99 分分 2 2cbc ba 22 2ab 所以椭圆的离心率所以椭圆的离心率1010 分分 2 2 2 1 2 cb e aa （3 3）因为线段）因为线段opop垂直垂直afaf，则直线，则直线opop的方程为的方程为， cx y b - 15 - 与直线与直线afaf的方程的方程联立，解得两直线交点的坐标联立，解得两直线交点的坐标( (1 xy cb ) ) 22 22 , b c bc aa 因为线段因为线段opop被直线被直线afaf平分，所以平分，所以p p点坐标为点坐标为( () )， 22 22 22 , b cbc aa 1212 分分 由点由点p p在椭圆上，得在椭圆上，得， 4224 642 44 1 b cb c aa b 又又, ,设设，得，得 222 bac 2 2 c t a 22 4(1)1ttt (*)14(*)14 分分 令令， 2232 ( )4(1) 14()1f ttttttt ，所以函数，所以函数单调增，又单调增，又， 2 ( )4(221)0fttt( )f t(0)10f ，所以，所以，在区间在区间上有解，即上有解，即(*)(*)式方程有式方程有(1)30f( )0f t (0,1) 解，解， 故存在椭圆故存在椭圆 ，使线段，使线段opop被直线被直线afaf垂直平垂直平c 分分1616 分分 2020 （1 1）函数）函数的定义域为的定义域为 r r，( )f x 因为因为， 22 ()cos()()1cos1( )fxxaxxaxf x 所以函数所以函数是偶函数是偶函数 ( )f x 33 分分 （2 2）当）当时，时，则，则，1a 2 ( )cos1f xxx( )sin2fxxx 令令，则，则，所以，所以是增函数，是增函数，( )( )sin2g xfxxx ( )cos20g xx ( )fx 又又，所以，所以，所以，所以在在00，上是增函数，上是增函数，(0)0f( )0fx ( )f x 又函数又函数是偶函数，是偶函数，( )f x 故函数故函数在在，上的最大值是上的最大值是2 222，最小值为，最小值为( )f x 0 088 分分 （3 3），( )sin2fxxax 令令，则，则，( )( )sin2g xfxxax ( )cos2g xxa 当当时，时，所以，所以是增函数，是增函数， 1 2 a( )cos20g xxa ( )fx 又又，所以，所以，所以，所以在在00，+)+)上是增函数，上是增函数，(0)0f( )0fx ( )f x 而而，是偶函数，是偶函数，(0)0f( )f x - 16 - 故故恒成立恒成立1212 分分( )0f x 当当时，时，所以，所以是减函数，是减函数， 1 2 a( )cos20g xxa ( )fx 又又，所以，所以，所以，所以在在(0(0，+)+)上是减函数，上是减函数，(0)0f( )0fx ( )f x 而而，是偶函数，所以是偶函数，所以，与，与矛盾，故舍矛盾，故舍(0)0f( )f x( )0f x ( )0f x 去去1414 分分 当当时，必存在唯一时，必存在唯一 (0(0，)，使得，使得， 11 22 a 0 x 0 ()0g x 因为因为在在00，上是增函数，上是增函数，( )cos2g xxa 所以当所以当x x(0(0，x x0 0) )时，时，即，即在在(0(0，x x0 0) )上是减函上是减函( )0g x ( )fx 数，数， 又又，所以当，所以当x x(0(0，x x0 0) )时，时， ，即，即在在(0(0，x x0 0) )上上(0)0f( )0fx ( )f x 是减函数，是减函数， 而而，所以当，所以当x x(0(0，x x0 0) )时，时，与，与矛盾，矛盾，(0)0f( )0f x ( )0f x 故舍去故舍去 综上，实数综上，实数a a的取值范围是的取值范围是 ，+)+) 1 1 2 2 1616 分分 - 17 - 江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市 2015-20162015-2016 学年度第一学期学年度第一学期 高三期中抽测数学试题高三期中抽测数学试题数学数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 2121 【选做题选做题】 a a因为因为, ,所以所以, ,又因为又因为 2 eg eaeb，1,3egga4eaegga 则则2eb，又，又，所以，所以 2 3 ef， 4 3 fb， 3ebef 44 分分 连结连结（bd，则，则abdagd，90abddab， 90ccab， 所以所以 cagd，所以，所以180cdge， 所以所以,c e g d四点共圆四点共圆 88 分分 - 18 - 所以所以 2 fbfcfefdfg，所以，所以 8 3 fc， 2cecfef 1010 分分 b b， 22 2 y xy a 2 4 y y b 44 分分 由由得得解得解得 a = b 222 24 yy xyy ， ， 1 4 2 xy ， 1010 分分 c c由由，可得，可得2 22 2sinsin 2 2coscos ，2sin2cos 所以曲线所以曲线c c的直角坐标