自然数的序数理论与基数理论.ppt

初等代数研究 思考 n如何读？有何区别？ 401室；401吨 n双重意义： n一方面表示“数量”的意义，即回答“多少个”的问题； n一方面表示“次序”上的意义，即回答“第几个”的问题。 n科学上有两种理论：一是基数理论，二是序数理论。 n基数理论较好的反映了“多少个”的问题；序数理论较好 的反映了“第几个”的问题，二者互相弥补。 初等代数研究 关于0的争议P13 n有人认为自然数为正整数，即从1开始算起； 有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起 。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。 n在数论中，多采用前者；而在集合论中，则多 采用后者。 n我国93年规定自然数集包括0。现行九年 义务教育教科书和高中教科书都把非负整数集 叫做自然数集 初等代数研究 第二节 自然数的基数理论与序数理论 2.1 自然数的基数理论 2.2 自然数的序数理论 初等数学专题研究 2.1 自然数的基数理论 一、自然数的概念 1、集合的对等 自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论 中，如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应关系，就 称集合A与B等价，记作AB，且满足以下的性质： （1）反身性：AA； （2）对称性：AB，则BA； （3）传递性：若AB，BC，那么AC 定义1：如果一个集合能与自己的一个真子集等价，这样 的集合叫无限集；否则叫做有限集 初等代数研究 2、集合的基数 定义2：如果A、B是两个等价集，则我们称等价集的共 同特征为基数，集合A的基数记为 若则规定集合A的基数不小于集合B的基数 即 定义3：有限集的基数叫做自然数 3、冯诺伊曼的自然数体系 定义4：设表示空集，规定集合的基数为0，即 其余的自然数按下列规则构造： 初等代数研究 依照上述规则，全体自然数就构造出来： 0，1，2，n， 4、自然数的大小和顺序 定义5：设A、B是两个有限集，C是集合A的真子集， 如果BC，则称 按照这个定义，自然数有下列大小关系，并且可按照序排列 全体自然数作成的集合叫做自然数集，用N表示 即 初等代数研究 二、自然数的四则运算 定义6：设A、B是两个有限集，并且 则称集合 的基数是集合A与B的基数的和，记为 1、自然数的加法 定理1：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意 有 （1） (a+b)+c = a+(b+c) （2） a+b = b+a （证明略） 初等代数研究 2、自然数的乘法 定义7 设b个等价集合A1，A2，Ab(其中任何两个集合的 交集都是空集)的基数都是a，如果A1A2Ab=C，那么 集合C的基数c叫做a与b的积，记作ab=c(或ab=c，或 ab=c)。a叫做被乘数，b叫做乘数。求积的运算叫做乘法。 注：求自然数a乘以b的积就是求b个相同加数a的和 定理2：自然数的乘法满足下列算律，即对于任意 有 结合律 交换律 乘法对加法的分配率 证明略 初等代数研究 定义9：对于两个自然数a、b，如果存在自然数c使 则称c是a除以b的商，记为 定义8：设A、B是两个有限集，并且 集合C是集合A中与B等价的子集， 用符号表示集合C在集合A中的补集 3、自然数的减法和除法 自然数的减法与除法分别是加乘运算的逆运算 则称集合 的基数是 与 的差，记为 初等代数研究 2.2 自然数的序数理论 一、自然数的皮亚诺公理 定义10：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本 关系叫“后继”（ 用符号“”表示），并且这个集合以及 这个关系满足下面五条公理: （1） （2）对任意 （3）对任意都有一个后继元即 （4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继， （5）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足 那么这个集合的元素叫做自然数。 即 初等代数研究 二、序数理论下的自然数四则运算 定义11：设定义 对于 定义 其中的叫做加数， 叫做它们的和。 1、加法 这个定义实质上给出了加法的具体步骤。 例1：求3+7 解：按定义11 如此一步一步做下去，直到 初等代数研究 定理3：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意 有 （1） (a+b)+c = a+(b+c) （2） a+b = b+a （证明略） 2、自然数的大小 则称a小于b，记为也称b大于a，记为 在这个定义下，任何两个自然数都可以比较大小（顺序）。 如果存在使定义12：对于 也就是说，自然数的大小关系具有三歧性： 初等代数研究 证明从略 定理4：任意两个自然数a、b，下面三个关系成立且 只成立一个： 除了三歧性之外，这种顺序还有反对称性和传递性的特点； 则若 若（或），则（或）。 在这种大小顺序下，自然数的加法满足加法单调律： 定理5：设是三个自然数， （2）若那么 （3）若 那么 那么 （1）若 初等代数研究 推论：设是四个自然数，并且 定理6：设是三个自然数， （2）若那么 （或），那么（或）。 自然数的加法还满足加法消去律： 那么（1）若 （3）若那么 使 成立的自然数c叫做a减b的差 3、减法 当时，必存在自然数c，使 记为 定理7：对于任意两个自然数 定义12对于任意两个自然数并且 初等代数研究 4、乘法 （2）设定义 定义定义13：（1）设 例2：求 解 跟基数理论一样，可以证明，自然数的乘法满足结合律、 交换律、乘法对加法的分配律。 初等代数研究 定义14：对于任意两个自然数如果存在自然数c，使 那么c叫做a被b除得的商，记作 5、除法 三、自然数集的性质 性质8：自然数集是全序集。 这条性质是说，任何两个自然数都可以在运算的意义下 比较大小。 性质9：自然数集具有阿基米德性质（即对任何两个 自然数a，b，一定存在自然数 c，使 性质10：自然数集具有离散性（即对任何两个相邻自然数 之间都不存在第三个自然数）。 性质11：(最小数原理)自然数集的任何非空子集都存在 一个最小数。 初等代数研究 三、数学归纳法 设 是一个与自然数有关的命题， 那么，对一切不小于的自然数命题都成立。 定理12：（第一归纳法原理）： （2）假设命题 对自然数n=k成立时