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两角差的余弦公式说 课稿 平顺中学 王俊明 教材分析 1. 教学内容： 本节是人教版普通高中课程标准实验教科 书数学必修四第三章第一节的内容，是本模块 第一章锐角三角函数和第二章：平面向 量相关知识的延伸和拓展，也是本节中推导 两角和、差、倍角、半角等三角恒等变换公式 的基础，可以说是起承上启下，串联全书的作 用。 2.内容解析： 三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点 上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理 能力和运算能力的重要素材两角差的余弦公式是三角恒等 变换本章公式体系推导过程的基础与核心，它处于一个承上 启下的关键位置.，公式的发现和证明是本节课的重点，也是 难点。 由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中 一个公式的基础上，通过角的变换得到另一个公式我们可以 用“随机、自然进入”的方式选择其中的一个作为突破口教材 选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证 明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提 高学生运用向量解决相关问题的意识和能力 二、目标与目标分析 1、通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”， 了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并通过强化题 目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运 算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。 2、通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简 证明，体会化归思想在数学当中的应用，使学生进一步掌握 联系的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高 学生分析问题、解决问题的能力。 3、通过本节的学习使学生体会探究的乐趣，认识世间万物的 联系与转化，养成用辨证与联系的观点看问题。创设问题情 景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识 ，从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、 数形结合等数学思想方法。 三、教法学法分析 1、教法分析： 根据学生情况，本节课的特点，按照高中学生的认知 规律，遵循“教师为主导，学生为主体，训练为主线”的指导 思想，为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点。 我决定采用平顺中学一直贯彻的“六步一循环” 教学法：导 入（创设情境）示标（出示教学目标）自主学习（ 针对提出的问题）合作探究（探索、尝试、启发、诱导 解决问题）练习小结。 设计意图：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提 出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探 索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动 的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维 以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够 提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作 用的和谐统一。 2、学法分析 新课标明确指出：要重视师生的心灵 沟通，重视学生思维方法的学习。据此 我确定引导学生我校一直提倡的“四步十 环节”学习法。 在教学过程中，启动学生自主性学 习，自得知识，自觅规律，自悟原理， 主要发展思维和能力。 四、教学问题诊断分析 1按常规，学生很可能想到先探究两角和 的正弦公式，怎样想到先研究两角差的余弦公 式是一个难点(但非重点)，教学时可以直接提 出研究两角差的余弦公式，但这样探究会显得 预设太多，而生成不足，也不够自然，不利于 学生思维的发展 2两角和正弦余弦公式的猜想与发现也是 一个难点因为学生可能不明白为什么要添辅 助线和如何添辅助线，也不会想到用“割补法” 求正弦线、余弦线 五、教学支持条件分析 1学生认知基础：学生对用举反例推翻猜想、以退求进、单 位圆、割补法、用向量解决三角问题已经有一定的基础， 但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明两角差余 弦公式的水平 2教学设备：整节课借助多媒体进行辅助教学，但关键的探 究过程和推理过程要借助黑板在当都是锐角时 3尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的 余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到教师需要在 引导学生仔细观察的构成要素和结构特征的基础上，联想 到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数 学思维显得自然、合理 4用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易 犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清 楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别 六、教学过程分析 n1.提出问题，创设情境，导入新课 平顺县的电视发射塔建在县一中 后的一座小山上，小山高BC约为30 米，在地平面上有一点A，测得A,C 两点间距离约为67米，从点A观测电 视发射塔的视角（CAD)约为45. 求这座电视发射塔的高度. 45 A D C B 2.问题串引导教学： （1）请学生猜想 （2）利用前面学过的单位圆上的三角函数线，如 何用 、的三角函数来表示 呢？ （3）利用向量的知识，又能如何推导发现 （4）细心观察公式 的结构，它有哪些特 征？其中角的取值范围如何？ （5）如何正用、逆用、灵活运用公式进行求值计 算？ n3.例题讲解： 例1、利用差角余弦公式求 例2、化简 （1） （2） 例3、已知 ， ， ，是第三 象限角，求 n4.课堂练习： n5.小结： n（1）学习了两角差的余弦公式，认识了公 式的结构特征，简记为“同名之积相加减， 运算符号左右反”。 n（2）充分运用向量这一工具推导了两角差 的余弦公式，在解题过程中注意 的象限 ，并灵活运用。 n（3）本节课充分体现了数形结合思想和化 归思想在数学中的应用。两位数学大家的名 言很好地概括了本节课的探究思路与学习感 悟。 七、教学评价分析 n本节课授课内容为是第一课时。本节课采 用“创设情境-提出问题-探索尝试-启 发引导-解决问题”的过程来实现教学目标 。有利于知识产生、发展、解决这一认知 过程的完整体现。在教学手段上使用多媒 体技术，使重点得到突出，抽象变得直观 ，有效增加课堂容量。 n在教学过程环节，采用先提出问题，再逐 步展开的方式，能够充分调动学生的学习 积极性，让学生的探索具有明确的目的性 ，减少盲目性。在得到两角差的余