条件概率与独立性.ppt

1.31.3 条件概率与独立性 条件概率与独立性 一、条件概率 1. 条件概率的概念 一般地 P(A|B) P(A) 在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). P（A）= =(g, g), (b, b), (b, g), (g, b) A=（b, b）,（b, g）,（g, b）; B=（b, g）,（g, b） 记记g表示女孩，b表示男孩，则则 例1 考察有两个孩子的家庭，事件A表示至少 求P（A）及P（B）。 有一个男孩，事件B表示恰好有一个女孩。 则则在这这种情况下事件B的概率为为： 称这这种概率为为条件概率。记记作 一般地古典概型有 =（b，b）,（b，g）,（g，b）; 由于信息增加了，样样本空间发间发 生了变变化，此 时样时样 本空间为间为 : 若已知某家庭至少有一个男孩，求恰好有 一个女孩的概率。 若事件B已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必 属于AB. 由于我们已经知道B已 发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有 计算P(A|B)时，这个前提条件未变， 这好象给了我们一个“情报”，使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题. 只是加上“事件B已发生”这个新的条件. 设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 2. 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率. 定义1 (1) 3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)0,则 1. 对任一事件A，0P(A|B)1; 3.设A1,An互不相容，则 P(A1+An )| B = P(A1|B)+ +P(An|B) 并且前面对概率所证明的一些重要性质 2. P ( | B) =1 ； 都适用于条件概率. 4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: P(B)0 2）条件概率计计算公式： 掷骰子 设 A=掷出2点， B=掷出偶数点 P(A|B）= B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数 例2 掷一颗均匀骰子， 例3 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 解法1: 解法2: 解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点 应用定义 在B发生后的 缩减样本空间 中计算 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 由条件概率的定义： 即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 而 P(AB)=P(BA) 二、 乘法公式 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 将A、B的位置对调，有 故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3) 若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率 注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个 所求为P(AB). 甲、乙共生产 1000 个 189个是 标准件 300个 乙厂生产 设B=零件是乙厂生产 A=是标准件 例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300 这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问 所求为P(AB) . 设B=零件是乙厂生产 A=是标准件 若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?” 求的是 P(A|B) . B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件. 甲、乙共生产 1000 个 189个是 标准件 300个 乙厂生产 例5 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年 20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是 多少？ 解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4 所求为P(B|A) . 条件概率P(A|B)与P(A)的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行 的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在 该试验条件下事件A发生的可能性大小. P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同. 而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加 “B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即 P(A|B)仍是概率. 例6 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则 甲、乙被击落的概率。 的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算 机未被击落，再次向乙机进攻，击落乙机 就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲 击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落， 分析：在这几个回合中,乙机有两次被击落的机会； =“乙机第 次被击落” 甲机只有一次被击落的机会； =“甲机被击落”=“乙机被击落” 已知 显然 P(A|B)=P(A) 这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发 生的概率,这时称事件A、B独立. 三、事件的独立性 A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点， 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 注 1. 由乘法公式知，当事件A、B独立时， 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 定义2 设事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B独立，或称A、B相互独立. P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约. P(AB)=P(A) P(B)有 P(AB)=P(B )P(A|B ) 2. 多个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件： P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立. 对于三个事件A、B、C，若 推广到n个事件的独立性定义,可类似写出： 包含等式总数为： 请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系 两两独立 相互独立 对n(n2)个事件 ? 设A1,A2, ,An是 n个事件，如果对任意k (10,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是： 注意 独立与互斥的区别和联系， 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 2. 设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 请你做2个小练习. 1. 若A、B互斥，且 P(A)0, P(B)0, 则A与B不独立. 2.若A与B独立，且 P(A)0,P(B)0, 则A 、B不互斥. =P(A)1- P(B)= P(A) P( ) = P(A)- P(AB) P(A )= P(A - A B) A、B独立 故A与 独立 . 概率的性质 = P(A)- P(A) P(B) 证明: 仅证A与 独立 定理1 若事件A、B独立，则 也相互独立. A、B独立 概率的性质 往证 与 独立 故 与 独立 . 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中 解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3 1 2 已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3) 3 例8 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 至少有一人能将密码译出的概率是多少？ n个独立事件和的概率公式: 设事件 相互独立,则 P(A1+An) 也相互独立 也就是说，n个独立事件至少有一个发生 的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积. 如果将上题改为由 个人组成小组，在同一 时间内分别破译某一密码，并假设每人能译出 的概率都是0.7，问 至少为多少时，才能以 99.9999%的把握将密码译出。 P(A1+An) 因而至少需要12人参加工作。 下面是一个串并联电路示意图. A、B、 C、D、E、F、G、H都是电路中的元件. 它 们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求 电路正常工作的概率. P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H) 解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立 其中 P(C+D+E)=1- P(F+G)=1- P(W) 0.782代入得 工作，有 若某个试验由n次基本试验构成,且具有以下特点: (1) 每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败; (2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变; (3) 基本试验之间相互独立; (4) 在相同条件下,试验可以重复进行. 则称此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)试验;由 于该试验由n次基本试验构成,故亦称之为n重贝努里试验. 贝努里公式 在n重贝努里试验中,如果“成功”在每 次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n 次试验中“成功 ”出现k 次”,则 贝努里（Bernoulli）概型 例7 同时掷四颗均匀的骰子,试计算: (1) 恰有一颗是6点的概率; (2) 至少有一颗是6点的概率. 解: