矩阵的概念运算第1-2节.ppt

线线 性性 代代 数数 主讲：匡锐 Email: 第一章第一章 矩阵矩阵 第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算 第三节 逆矩阵 第四节 分块矩阵 关于矩阵_1 矩阵这个词是由西尔维斯特(Sylvester,1814- 1897)于1850年首先提出。他是犹太人，故 他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优 异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从 1841年起他接受过一些较低的教授职位，也 担任过书记官和律师。经过一些年的努力， 他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884 年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。 他开创了美国纯数学研究，并创办了美国 数学杂志。在长达50多年的时间内，他是 矩阵论和行列式始终不渝的作者之一。 关于矩阵_2 1850年，由西尔维斯特（Sylvester）首先 提出矩阵的概念。 应用：自然科学、工程技术、社会科学等 许多领域。如在观测、导航、机器人的位 移、化学分子结构的稳定性分析、密码通 讯、模糊识别，以及计算机层析X射线照 相术等方面，都有广泛的应用。 1858年，卡莱(A. Cayley)建立了矩阵运算 规则。 例子： 解线性方程组 1行2行 3行1行 2行3行 代替为： r1r2 r3r1 r2r3 矩阵就是这样引入的！ 第一节 矩阵的概念 1.1 矩阵的概念 定义1.1 矩阵 （1.1） nmij a x ) 1 . 1 (（式也可写作 A 1.1 矩阵的概念 1.1 矩阵的概念 矩阵 称为这个图的关联矩阵。 上图的关联矩阵为： 1.1 矩阵的概念 实矩阵 矩阵的元素全为实数，即 aijR， i = 1,2, m; j = 1, 2, n， 是本书讨论的主要对象。 复矩阵 矩阵元素全为复数，即 aijC， i = 1,2, m; j = 1, 2, n。 n阶矩阵 一个n n矩阵简称为n阶矩阵， 即行数和 列数相等且都等于n的矩阵,也称为n阶方阵。 1.1 1.1 矩阵的概念矩阵的概念 温馨提示： v 只有一行的矩阵 A1n = (a1 a2 an) v只有一列的矩阵 称为列矩阵， v两个矩阵 A、B，若行数、列数都 相等，则称 A、B 是同型的； 称为行矩阵,也称为n维行向量； 也称为m维列向量； v 若 A = (aij)mn, B = (bij)mn 是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n) ， 则称 A 与 B 相等，记作 A B； v 元素全为 0 的矩阵称为零矩阵，记作O； v 不同型的零矩阵是不相等的。 定义1.2 主对角线，主对角元 1.1 1.1 矩阵的概念矩阵的概念 1.1 1.1 矩阵的概念矩阵的概念 对角矩阵 主对角线元全是1的对角矩阵称为单位矩阵单位矩阵，记为 或 1.1 1.1 矩阵的概念矩阵的概念 提问 (1): 单位矩阵是不是对角矩阵？ (2): 零矩阵是不是对角矩阵？ 定义1.3 上三角矩阵，下三角矩阵 1.1 1.1 矩阵的概念矩阵的概念 第二节 矩阵的运算 定义1.4 矩阵的和 1.2 矩阵的运算 定义1.5 矩阵的差 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 定义1.6 矩阵的数乘 1.2 矩阵的运算 矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算。 负矩阵： 练习1 设 求 A2B 解： 练习2: 设 满足 定义1.7 矩阵的乘法 1.2 矩阵的运算 例1.8 解： 课堂练习： 设矩阵 求乘积 AB 和 BA. 解： 注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律 矩阵乘法与数的乘法的不同之处： 第一，矩阵乘法不满足交换律. AB有意义，而BA 可能无意义；一般地，ABBA. 1.2 矩阵的运算 矩阵乘法与数的乘法的相同之处： 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 例1.12 设A, B是n阶上三角矩阵,试证明AB仍是上三 角矩阵. 1.2 矩阵的运算 例1.14 某生态公园现有某种鸟类5000只，其中患病的有20% ，设每年健康的鸟有20%患病，而患病的鸟有60%治愈。求 两年后健康的鸟合患病的鸟各有多少？ 解：设转移矩阵A为： 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 定义1.8 矩阵的转置 1.2 矩阵的运算 课堂练习 设 求 ( A B ) T。 解一： 解二 ( A B ) T = B T A T 1.2 矩阵的运算 1.2 矩阵的运算 定义1.9 对称矩阵，反对称矩阵 练习 设A为任一方阵，证明 : A+AT为对称阵， 而AAT 为反对称阵 证：由于 故 A+AT为对称阵，AAT 为反对称阵。 1.2 矩阵的运算 1.2 1.2 矩阵的运算矩阵的运算 证： 第一章作业（习题一） 1(5)，2(3)，7，9(3)，10，15，20，23，28 。 作业统一用 纸做好，便于携带，请配合！ 作业每章交一次,于该章讲完后的下一次课交， 请将