二次函数压轴题最短路径问题.docx

最短路径问题和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）如图所示，在直线l上找一点P使得PAPB最小当点P为直线AB与直线l的交点时，PAPB最小 【方法归纳】如图所示，在直线l上找一点B使得线段AB最小过点A作ABl，垂足为B，则线段AB即为所求 如图所示，在直线l上找一点P使得PAPB最小过点B作关于直线l的对称点B，BB与直线l交于点P，此时PAPB最小，则点P即为所求 如图所示，在AOB的边AO，BO上分别找一点C，D使得PCCDPD最小过点P分别作关于AO，BO的对称点E，F，连接EF，并与AO，BO分别交于点C，D，此时PCCDPD最小，则点C，D即为所求 如图所示，在AOB的边AO，BO上分别找一点E，F使得DEEFCF最小分别过点C，D作关于AO，BO的对称点D，C，连接DC，并与AO，BO分别交于点E，F，此时DEEFCF最小，则点E，F即为所求 如图所示，长度不变的线段CD在直线l上运动，在直线l上找到使得ACBD最小的CD的位置分别过点A，D作AACD，DAAC，AA与DA交于点A，再作点B关于直线l的对称点B，连接AB与直线l交于点D，此时点D即为所求 如图所示，在平面直角坐标系中，点P为抛物线（yx2）上的一点，点A（0，1）在y轴正半轴点P在什么位置时PAPB最小？过点B作直线l：y1的垂线段BH，BH与抛物线交于点P，此时PAPB最小，则点P即为所求 【典型例题】1（13广东）已知二次函数yx22mxm21（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PCPD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由【思路点拨】（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）把m2代入求出二次函数解析式，令x0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PCPD最短，求出CD的直线解析式，令y0，求出x的值，即可得出P点的坐标【解题过程】解：（1）二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），代入二次函数yx22mxm21，得出：m210，解得：m1，二次函数的解析式为：yx22x或yx22x；（2）m2， 二次函数yx22mxm21得：yx24x3（x2）21，抛物线的顶点为：D（2，1），当x0时，y3，C点坐标为：（0，3），C（0，3）、D（2，1）；（3）当P、C、D共线时PCPD最短， 【方法一】C（0，3）、D（2，1），设直线CD的解析式为ykx3，代入得：2k31，k2，y2x3，当y0时，2x30，解得x，PCPD最短时，P点的坐标为：P（，0）【方法二】过点D作DEy轴于点E，PODE， ，解得：PO，PCPD最短时，P点的坐标为：P（，0）2（11菏泽）如图，抛物线yx2bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，求m的值 【思路点拨】（1）把点A的坐标代入求出b的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D的坐标；（2）观察发现ABC是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明由抛物线的解析式，分别求出点B，C的坐标，再得出AB，AC，BC的长度，易得AC2BC2AB2，得出ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C，连接CD交x轴于点M，根据“两点之间，线段最短”可知MCMD的值最小求出直线CD的解析式，即可得出点M的坐标，进而求出m的值【解题过程】解：（1）点A（1，0）在抛物线yx2bx2上，（1 ）2b（1）20，解得b，抛物线的解析式为yx2x2（x）2，顶点D的坐标为 （，）（2）当x0时y2，C（0，2），OC2当y0时，x2x20，x11，x24，B （4，0），OA1，OB4，AB5AB225，AC2OA2OC25，BC2OC2OB220，AC2BC2AB2ABC是直角三角形（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MCMD的值最小【方法一】设直线CD的解析式为ykxn，则，解得：yx2当y0时，x20，xm【方法二】设抛物线的对称轴交x轴于点E EDy轴，OCMEDM，COMDEM，COMDEM， ，m 3（11福州）已知，如图，二次函数yax22ax3a（a0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：yx对称（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BKAH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HNNMMK和的最小值【思路点拨】（1）二次函数yax22ax3a（a0）中只有一个未知参数a，令y0，解出方程ax22ax3a0（a0），即可得到点A，B的坐标把点A的坐标代入直线l的解析式即可判断A是否在直线上；（2）根据点H、B关于过A点的直线l：yx对称，得出AHAB4，过顶点H作HCAB交AB于C点，得ACAB2，利用勾股定理求出HC的长，即可得出点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；（3）直线BKAH易得直线BK的解析式，联立直线l的解析式方程组，即可求出K的坐标因为点H，B关于直线AK对称，所以HNBN，所以根据“两点之间，线段最短”得出HNMN的最小值是MB作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，所以QMKM，易得BMMK的最小值为BQ，即BQ的长是HNNMMK的最小值，求出QB的长即可【解题过程】解：（1）依题意，得ax22ax3a0（a0），解得x13，x21，B点在A点右侧，A点坐标为（3，0），B点坐标为（1，0），直线l：yx，当x3时，y(3)0，点A在直线l上（2）点H、B关于过A点的直线l：yx对称，AHAB4，过顶点H作HCAB交AB于C点，则ACAB2，HC2，顶点H（1，2），代入二次函数解析式，解得a，二次函数解析式为yx2x，（3）直线AH的解析式为yx3，直线BK的解析式为yx3，由，解得，即K（3，2），则BK4， 点H、B关于直线AK对称，HNMN的最小值是MB，KDKE2，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则QMMK，QEEK2，AEQK，BMMK的最小值是BQ，即BQ的长是HNNMMK的最小值，BKAH，BKQHEQ90，由勾股定理得QB8，HNNMMK的最小值为84（14海南）如图，对称轴为直线x2的抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B已知M（0，1），E（a，0），F（a1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）当a1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由【思路点拨】（1）由对称轴为直线x2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为ya（x2）2k，再把点A，B的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP面积直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P作PNy轴于点N，由S四边形MEFPS梯形OFPNSPMNSOME即可得出；（3）四边形PMEF的四条边中，线段PM，EF长度固定，当MEPF取最小值时，四边形PMEF的周长取得最小值将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得到点M1（1，1），作点M1关于x轴的对称点M2（1，1），连接PM2，与x轴交于F点，此时MEPFPM2最小【解题过程】解：（1）对称轴为直线x2，设抛物线解析式为ya（x2）2k将A（1，0），C（0，5）代入得：，解得，y（x2）29x24x5（2）当a1时，E（1，0），F（2，0），OE1，OF2设P（x，x24x5），如答图2，过点P作PNy轴于点N，则PNx，ONx24x5，MNONOMx24x4S四边形MEFPS梯形OFPNSPMNSOME（PNOF）ONPNMNOMOE（x2）（x24x5）x（x24x4）11x2x （x）2 当x时，四边形MEFP的面积有最大值为，此时点P坐标为（，）（3）M（0，1），C（0，5），PCM是以点P为顶点的等腰三角形，点P的纵坐标为3令yx24x53，解得x2点P在第一象限，P（2，3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要MEPF最小，则PMEF的周长将取得最小值如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时MEPFPM2最小设直线PM2的解析式为ymxn，将P（2，3），M2（1，1）代入得： ，解得：m ，n，yx当y0时，解得xF（，0）a1，aa时，四边形PMEF周长最小 图1 图22（14福州）如图，抛物线y(x-3)2-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OECD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD求证：AEOADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标 【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D的坐标，再令y0，得(x-3)2-10解出方程，即可得出点A，B的坐标；（2）设HD与AE相交于点F，可以发现HEF与ADF组成一个“8字型”对顶角HFEAFD，只要FHEFAD即可因为EHF90，只需证明EAD90即可由勾股定理的逆定理即可得出ADE为直角三角形，得FHEFAD90即可得出结论；（3）先画出图形因为PQ为E的切线，所以PEQ为直角三角形，半径EQ长度不变，当斜边PE最小时，PQ的长度最小设出点P的坐标，然后表示出PE，求出PE的最小值，得到点P的坐标，再求出点Q的坐标即可【解题过程】解：（1）顶点D的坐标为（3，-1）令y0，得 (x-3)2-10，解得x13，x23-点A在点B的左侧，A点坐标(3-，0)，B点坐标（3+，0）（2）过D作DGy轴，垂足为G则G（0，-1），GD3令x0，则y，C点坐标为（0，）GC-(-1) 设对称轴交x轴于点MOECD，GCDCOH90MOECOH90，MOEGCD又CGDOMN90，DCGEOM，即EM2，即点E坐标为(3，2)，ED3由勾股定理，得AE26，AD23，AE2AD2639ED2AED是直角三角形，即DAE90设AE交CD于点FADCAFD90又AEOHFE90，AFDHFE，AEOADC（3）由E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2EP21要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2(x3)2(y2)2y (x3)21，(x3)22y2EP22y2y24y4(y1)25当y1时，EP2最小值为5把y1代入y(x3)21，得(x3)2-11，解得x11，x25又点P在对称轴右侧的抛物线上，x11舍去点P坐标为(5，1)此时Q点坐标为（3，1）或(，) 6（14遂宁）已知：直线l：y2，抛物线yax2bxc的对称轴是y轴，且经过点（0，1），（2，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：POPQ（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图，过原点作任意直线AB，交抛物线yax2bxc于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ONOM（ii）已知：如图，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FDFO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）因为抛物线的对称轴是y轴，所以b0，再代入点（0，1），（2，0）即可求出抛物线的解析式；（2）由（1）设出P的坐标，分别表示出PE，PQ的长度，即可得出结论；（3）（i）因为BNAM，所以ABNBAM180由（2）的结论可得BOBN，AOAM，可得出BONBNO，AOMAMO，易得BONAOM90再得到MON90即可；（ii）如图，作FHl于H，DFl于G，交抛物线与F，作FEDG于E，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论【解题过程】解：（1）由题意，得，解得：，抛物线的解析式为：yx21；（2）如图，设P（a，a21），就有OEa，PEa21，PQl，EQ2，QPa21在RtPOE中，由勾股定理，得POa21，POPQ；（3）（i）如图，BNl，AMl，BNBO，AMAO，BNAM，BNOBON，AOMAMO，ABNBAM180BNOBONNBO180，AOMAMOOAM180，BNOBONNBOAOMAMOOAM360，2BON2AOM180，BONAOM90，MON90，ONOM；（ii）如图，作FHl于H，DFl于G，交抛物线与F，作FEDG于E，EGHGHFFEG90，FOFG，FHFO，四边形GHFE是矩形，FOFDFGFDDG，FOFDFHFD，EGFH，DEDF，DEGEHFDF，DGFODF，FOFDFODF，F是所求作的点D（1，1），F的横坐标为1，F（1，）【举一反三】1（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc经过A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点（1）求抛物线yax2bxc的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AMOM的最小值2（13成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由3（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，4），将点B绕点A顺时针方向90得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2d11；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，PAC的周长有最小值，并求出PAC的周长的最小值 【参考答案】1解：（1）把A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入yax2bxc中，得，解得a，b1，c0，解析式为yx2x（2）由yx2x（x1）2，可得抛物线的对称轴为x1，并且对称轴垂直平分线段OB，OMBM，OMAMBMAM，连接AB交直线x1于M点，则此时OMAM最小，过点A作ANx轴于点N，在RtABN中，AB4，OMAM最小值为42解：（1）等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3），点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，1），B（4，1）两点， ，解得：b2，c1，抛物线的函数表达式为：yx22x1（2）（i）A（0，1），C（4，3），直线AC的解析式为：yx1设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上点P在直线AC上滑动，可设P的坐标为（m，m1），则平移后抛物线的函数表达式为：y（xm）2m1解方程组：，解得， ，P（m，m1），Q（m2，m3）过点P作PEx轴，过点Q作QFy轴，则PEm（m2）2，QF（m1）（m3）2PQ2AP0若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2（即为PQ的长）由A（0，1），B（4，1），P0（2，1）可知，ABP0为等腰直角三角形，且BP0AC，BP02如答图1，过点B作直线l1AC，交抛物线yx22x1于点M，则M为符合条件的点可设直线l1的解析式为：yxb1，B（4，1），14b1，解得b5，直线l1的解析式为：yx5解方程组 ，得：，M1（4，1），M2（2，7