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第四章 生产论 3、已知生产函数Q=f(L, K)=2KL-0.5L2- 0.5K2, 假定厂商目前处于 短期生产，且K=10. (1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的 平均APL函数和劳动的边际产量MPL函数。 (2)分别计算当劳动总产量TPL函数、劳动的平均APL函数和劳动 的边际产量MPL函数各自达到极大值时的厂商的劳动投入量。 解： (1) TPL =f(L, 10)= -0.5L2 +20L- 50 APL = TPL/L= -0.5L 50/L +20 MPL =d( TPL)/ dL=-L +20 (2) 由于TPL =-0.5L2 +20L- 50= -0.5(L-20) 2 +150，当L=20时, TPL 取得极大值。 d(APL)/ d L= -0.5 + 50/L2 d2(APL)/ d L2= -100/L3,令d(APL)/ d L=0 ，得L=10, d2(APL)/ d L20。当L=10时, APL取得极大值。 L0，易见，当L=0时, MPL =-L +20取得最大值。 4、区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不 变和递减的情况 (答案略） 5、已知生产函数为Q=min2L, 3K。求： (1)当产量Q=36时，L与K的值是多少？ (2)如果生产要素的价格分别为PL=2，PK=5, 则生产480单位产量 时的最小成本是多少？ 解：(1) Q=min2L, 3K=36，则在最优的生产要素投入下， 2L=36, 3K=36，L=18, K=12。 (2) 生产480单位产量时最优的要素投入为2L=480, 3K=480。最小 成本为 C| L=240, K=160=LPL+KPK| L=240, K=160=1280 10、已知生产函数为 (1) Q=5L1/3K2/3 (2) Q=KL/(K+L) (3) Q=KL2 (4) Q=min3L, K 求：(1) 厂商长期生产的扩展线方程 (2)当PL=1，PK=1, Q=1000时，厂商实现最小成本的要素投 入组合。 解：生产要素L、K的价格分别为记为PL，PK。如果生产函数 是可微的，并且要素之间是可替代的。则厂商长期生产的扩展线 方程为 (1)Q=5L1/3K2/3， ， 则厂商长期生 产的扩展线方程为 ， 即 当PL=1，PK=1, Q=1000时，厂商长期生产的扩展线方程为2L=K. 厂商实现最小成本的要素投入组合满足下列方程组 所以 ， ， (2) ， ，则厂商长期生产 的扩展线方程为 ， 即 。 当PL=1，PK=1, Q=1000时，厂商长期生产的扩展线方程为L=K. 厂商实现最小成本的要素投入组合满足下列方程组 所以 。 3) ， ，则厂商长期生产的扩展线方 程为 ， 即 。 当PL=1，PK=1, Q=1000时，厂商长期生产的扩展线方程为L=2K. 厂商实现最小成本的要素投入组合满足下列方程组 所以 。 (4) Q=min3L, K，因此L, K之间完全不可替代，为了生产产量Q 的产品，其最优的要素组合满足Q=min3L, K=3L=K，厂商长期 生产的扩展线方程为3L=K。当PL=1，PK=1, Q=1000时，厂商实 现最小成本的要素投入组合满足Q=min3L, K=3L=K=1000，即 L=1000/3，K=1000 11、已知生产函数为Q=AL1/3K2/3 (1)在长期的生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一类型？ (2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配 ？ 解：(1)Q(L，K)=A(L)1/3(K)2/3= AL1/3K2/3，该生产函数处于规模报 酬不变阶段。 (2)由于 ， ； ， 。 因此，该生产函数受边际报酬递减规律的支配。 12、令生产函数为 ， ，其中 n=0, 1, 2, 3. (1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 (2)证明，在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。 解：(1) 该生产函数表现出规模报酬不变的特征当且仅当 ，对于任意的 。 即 故当且仅当 ，即 时，该生产函 数表现出规模报酬不变的特征。 (2) 在规模报酬不变的情况下，相应的生产函数为 由于 ， ； ， 因此，在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。 注：本题去掉“规模报酬不变的情况下”，结论仍然成立。 13、已知某企业的生产函数为Q=L2/3K1/3，劳动价格w=2, 资本价 格r=1。求： (1)当成本C=3000时，企业实现最大产量时的L, K和Q的均衡值 。 (2)当产量Q=800时，企业实现最小成本时的L, K和C的均衡值 。 解：Q=L2/3K1/3， ， ，劳动价格 w=2, 资本价格r=1， 企业实现利益最大化时的均衡条件为 ，即L=K。 (1)当成本C=3000时，企业实现最大产量时的均衡条件为 所以L=K=1000，此时Q=L2/3K1/3=1000。 当成本C=3000时，企业实现最大产量时的L, K和Q的均衡值均