数列通项公式的方法总结.doc

专题一：求解通项公式 （1）观察法观察法 例例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，（2）（3）, 17 16 4, 10 9 3, 5 4 2, 2 1 1 （4）, 5 2 , 2 1 , 3 2 , 1, 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为：110 n n a （2） ; 1 2 2 n n nan （3） ; 1 2 n an （4）.点评：关键是找出各项与项数 n 的关系。 1 ) 1( 1 n n a n n （2 2） 定义法定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。 例例 2： 已知数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q 的(qR 且 q1)的等比数列，若 函数 f (x) = (x1)2，且 a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通 项公式； 解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2(d2)2=2d， d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又 b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2， =q2，由 qR，且 q1，得 q=2，bn=bqn1=4(2)n1 2 2 1 3 )2( q q b b （3 3） 公式法公式法：已知（即）求，用作差法： n S 12 ( ) n aaaf n n a 。 1 1 ,(1) ,(2) n nn Sn a SSn 例:3：(07 重庆 21 题)已知各项均为正数的数列的前 n 项和为满足1 且 6= n a n S 1 S n S n 求的通项公式。(1)(2) nn aaN n a 解：由=解得=1 或=2，由已知1，因此=2 又 11 aS 11 1 (1)(2) 6 aa 1 a 1 a 11 aS 1 a 由=得 11nnn aSS 11 11 (1)(2)(1)(2) 66 nnnn aaaa =0 0 11 ()(3) nnnn aaaa n a 1 3 nn aa 从而是首项为 2，公差为 3 的等差数列，故的通项为=2+3(n-1)=3n-1. n a n a n a 小扩展：已知求，用作商法： 12 ( ) n a aaf nA A A n a (1),(1) ( ) ,(2) (1) n fn f na n f n （3）迭加法迭加法： 若求：。 1 ( ) nn aaf n n a 11221 ()()() nnnnn aaaaaaa 1 a(2)n 例 4：已知数列满足，求。 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 解：由条件知： 1 11 ) 1( 11 2 1 nnnnnn aa nn 分别令，代入上式得个等式累加之，即) 1( , 3 , 2 , 1 nn) 1( n )()()()( 1342312 nn aaaaaaaa ) 1 1 1 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 ( nn 所以 n aan 1 1 1 ， 2 1 1 a nn an 1 2 31 1 2 1 （4 4）迭乘法：）迭乘法：已知求，用累乘法： 1 ( ) n n a f n a n a 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa (2)n 例例 5 5设是首项为 1 的正项数列，且 ，求它的通项公式. 解析：解析：由题意 ， ， ，又， 当时， 当时，符合上式 . （5）倒数法倒数法：形如形如的递推数列都可以用倒数法求通项 1 1 n n n a a kab 例 6：已知数列，= ， ，求=？ n a 1 a1 1 1 n n n a a a nN n a 解：把原式变形得 两边同除以得 11nnnn aaaa 1nn a a 1 11 1 nn aa 是首项为，d=的等差数列故。 1 n a 11 1 1 (1)( 1) n nn a 1 n a n （6 6）构造等比数列法）构造等比数列法: : ） （1）递推公式为（其中 p，q 均为常数，） 。qpaa nn 1 )0) 1(ppq 解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法换元法转化为)( 1 tapta nn p q t 1 等比数列求解。 （2）递推公式为（其中 p，q 均为常数，） 。 n nn qpaa 1 )0) 1)(1(qppq （或,其中 p，q, r 均为常数） 1 n nn aparq 解法：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得： 1n q qq a q p q a n n n n 1 1 1 引入辅助数列引入辅助数列（其中） ，得：再应用类型 3 的方法解决。 n b n n n q a b q b q p b nn 1 1 （3）递推公式为（其中 p，q 均为常数） nnn qapaa 12 解法：先把原递推公式转化为)( 112nnnn saatsaa 其中 s，t 满足，再应用前面类型 3 的方法求解。 qst pts 例 7：(2006.重庆.14）在数列中，若，则该数列的通 n a 11 1,23(1) nn aaan 项 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 /wxc/ /wxc/ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n a 例例 8. 已知数列中，,，求。 n a 6 5 1 a 1 1 ) 2 1 ( 3 1 n nn aa n a 解：在两边乘以得： 1 1 ) 2 1 ( 3 1 n nn aa 1 2 n 1)2( 3 2 2 1 1 n n n n aa 令，则,应用例 7 解法得： 所以 n n n ab 21 3 2 1 nn bb n n b) 3 2 (23 nn n n n b a) 3 1 (2) 2 1 (3 2 例 9：（06 福建理 22）已知数列满足=1，= ()，求数列 n a 1 a 1n a 21 n a nN 的通项公式。 n a （6） 数学归纳法数学归纳法 先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想，然后证明 专题一：通项公式的练习专题一：通项公式的练习 1.1.（20102010 全国卷全国卷 2 2）(6)如果等差数列 n a中， 3 a+ 4 a+ 5 a=12，那么 1 a+ 2 a+ 7 a= （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 2.2.（20102010 安徽）安徽）(5)设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn，则 8 a的值为 （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 3. (2011(2011 年高考四川年高考四川) )数列 n a的首项为3， n b 为等差数列且 1 (*) nnn baa nN . 若则 3 2b ， 10 12b ，则 8 a ( ） A）0 （B）3 （C）8 （D）11 4.(2011 年高考全国卷年高考全国卷设为等差数列的前项和，若，公差， n S n an 1 1a 2d ，则 A）8 （B）7 （C）6 （D）5 2 24 An SS k 5.（2009 广东卷理） 已知等比数列 n a满足0,1,2, n an，且 2 525 2 (3) n n aan ，则当1n 时， 2123221 logloglog n aaa A. (21)nn B. 2 (1)n C. 2 n D. 2 (1)n 6.（2009 陕西卷）设等差数列 n a的前 n 项和为 n s,若 63 12as,则 n a 7.7. (2011(2011 广东卷广东卷) )等差数列前 9 项的和等于前 4 项的和.若，则 n a 14 1,0 k aaak 8. 则其通项为1, 13 1 1 1 a a a a n n n 9（2009 宁夏海南卷理）等差数列 n a前 n 项和为 n S。已知 1m a + 1m a - 2 m a=0， 21m S =38,则 m=_ 10.重庆卷理）设 1 2a ， 1 2 1 n n a a ， 2 1 n n n a b a ， * nN，则数列 n b的通项公式 n b= 1111等差数列是递增数列，前 n 项和为，且成等比数列， n a n S 931 ,aaa 求数列的通项公式. 2 55 aS n a 1212 已知数列的前项和满足求数列的通项 n an n S1,) 1(2naS n nn n a 公式。 13 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 2 313 n nn aaa ， n a 14 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 2(1)53 n nn anaa ， n a 15 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 23 56 n nn aaa ， n a 16 知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 22 8(1)8 (21) (23)9 nn n aaa nn ， n a 17 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 1 (14124)1 16 nnn aaaa ， n a 18 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 72 2 23 n n n a aa a ， n a 答案及详解答案及详解 1.【答案】C C 【解析解析】本题考查了数列的基础知识。本题考查了数列的基础知识。 345 12aaa ， 4 4a 127174 1 7 ()728 2 aaaaaa 2.【答案】 A 【解析】 887 644915aSS. 【方法技巧】直接根据 1( 2) nnn aSSn 即可得出结论. 3.答案：B 解析：由已知知由叠加法 1 28,28, nnn bnaan . 21328781 ()()()642024603aaaaaaaa 4【答案】D 【解析】 22111 (2 1)(1 1) kkkk SSaaakdakd 故选 D。 1 2(21)akd2 1 (21) 244245kkk 5【解析】由 2 525 2 (3) n n aan 得 n n a 22 2，0 n a，则 n n a2， 3212 loglogaa 2 122 ) 12(31lognna n ，选 C. 6解析:由 63 12as可得 n a的公差 d=2,首项 1 a=2,故易得 n a 2n. 答案:2n 7【答案】10 【解析解析】由题得由题得10 6 1 031) 1(1 2 34 4 2 89 9 kd ddk dd 8 8 解解：取倒数： 11 1 1 3 131 nn n n aa a a 是等差数列， n a 1 3) 1( 11 1 n aan 3) 1(1n 23 1 n an 9 9 解析由 1m a + 1m a - 2 m a=0 得到 1212 21 21 20,0,2213810 2 m mmmmm maa aaaSmam 又。 答案 10 1010 解析 由条件得 11 1 1 1 2 2 22 22 2 11 1 nnn nn nn n aaa bb aa a 且 1 4b 所以数列 n b是 首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 11 4 22 nn n b 1111 解解：设数列公差为 n a)0(dd 成等比数列， 931 ,aaa 91 2 3 aaa 即)8()2( 11 2 1 daadadad 1 2 ， 0dda 1 2 55 aS 2 11 )4( 2 45 5dada 由得：， 5 3 1 a 5 3 d nnan 5 3 5 3 ) 1( 5 3 点评点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比） 后再写出通项。 1212 解解：由112 1111 aaSa 当 2n 时，有 ,) 1(2)(2 11 n nnnnn aaSSa 1 1 22 ( 1), n nn aa ,) 1(22 2 21 n nn aa ， . 22 12 aa 11221 1 22( 1) 2( 1)2 ( 1) nnnn n aa .) 1(2 3 2 3 ) 2 (1 2 ) 1(2 )2( ) 2 () 2() 1(2 12 1 1 211 nn n nn nnnn 经验证也满足上式，所以1 1 a) 1(2 3 2 12 nn n a 1313 解：由得则 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 11232211 1221 1221 1 ()()()() (2 31)(2 31)(2 31)(2 31)3 2(3333 )(1)3 3(1 3) 2(1)3 1 3 331 3 31 nnnnn nn nn n n n aaaaaaaaaa n n n n 所以31. n n an 14 解：因为，所以，则，故 11 2(1)53 n nn anaa ，0 n a 1 2(1)5n n n a n a 132 1 1221 1221 1(1) (2)2 1 (1) 1 2 2(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 3 2 (1)3 2 53 3 25! nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n a (1) 1 2 3 25!. n n n n an 15 解：设 1 1 52(5 ) nn nn axax 将代入式，得，等式两边消去 1 23 5n nn aa 1 23 55225 nnn nn axax ，得，两边除以，得代入式得2 n a 1 3 5525 nnn xx 5n352 ,1,xxx 则 1 1 52(5 ) nn nn aa 由及式得，则，则数列是以 1 1 56510a 50 n n a 1 1 5 2 5 n n n n a a 5 n n a 为首项，以 2 为公比的等比数列，则，故 1 1 51a 1 52 nn n a 1 25 nn n a 16 解：由及，得 1 22 8(1) (21) (23) nn n aa nn 1 8 9 a 21 22 32 22 43 22 8(1 1)88 224 (2 1 1) (2 1 3)99 2525 8(2 1)248 348 (2 2 1) (2 23)2525 4949 8(3 1)488 480 (2 3 1) (2 33)4949 8181 aa aa aa 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。 2 2 (21)1 (21) n n a n （1）当时，所以等式成立。1n 2 1 2 (2 1 1)18 (2 1 1)9 a （2）假设当时等式成立，即，则当时，nk 2 2 (21)1 (21) k k a k 1nk 1 22 8(1) (21) (23) kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 (21)18(1) (21)(21) (23) (21)1(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(21) (21) (23) (23)1 (23) 2(1