第二类曲线积分的计算.docx

第二类曲线积分的计算定义 设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上的函数,对任一分割,它把分成个小弧段；其中=.记各个小弧段弧长为,分割的细度为,又设的分点的坐标为,并记 , . 在每个小弧段上任取一点,若极限存在且与分割与点的取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上的第二类曲线积分,记为或 也可记作 或 注：(1) 若记=,则上述记号可写成向量形式:.(2) 倘若为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,为定义在上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线的第二类曲线积分,并记为按照这一定义 , 有力场沿平面曲线从点到点所作的功为.第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有 ,定积分是第二类曲线积分中当曲线为轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场沿空间曲线所作的功. 为空间曲线上的第二类曲线积分 .与第一类曲线积分的区别 首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 第二类曲线积分就是 （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的si，si是一小段弧的弧长，si总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x,y坐标的增量xi=xi-xi-1，yi=yi-yi-1，xi与yi是可正可负的。当积分的路径反向时，si不变，而xi与yi反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。设曲线的参数方程为x=x(t)y=y(t) t 则第一类曲线积分的计算公式为 这里要注意，即对t的定积分中，下限比上限小时才有dt0，也就有dt=dt，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上的点由A变到B，即t的下限对应曲线积分的起点A，他的上限对应曲线积分的起点A，t的上限对应终点B。历年真题1、设曲线L:fx,y=1，f(x,y)具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M和第四象限内的点N，为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的选项是(A)fx,ydx (B)fx,ydy (C)fx,yds (D)fxx,ydx+fyx,ydy(2007，数一，4分)【解析】设点M，N的坐标分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，则有题设可知fx,ydx=dx=x2-x10fx,ydy=dy=y2-y10fxx,ydx+fyx,ydy=0dx+0dy=0答案为B。2、计算曲线积分Lsin2xdx+2x2-1ydy，其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(,0)的一段。 (2008，数一，9分)【解析】Lsin2xdx+2x2-1ydy=Lsin2xdx+2x2-1sinxcosxdx=Lx2sin2xdx=-x22cos2x0+Lxcos2xdx=-22+x2sin2x0-120sin2xdx=-223、设L是柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正方向往z轴负方向看去为逆时针方向，则曲线积分Lxzdx+xdy+y22dz=(2011，数一，4分)【解析】采用斯托克斯公式直接计算Lxzdx+xdy+y22dz=z=x+yydydz+xdzdx+dxdy=x2+y211-x-ydxdy=02d011-rcos-rsinrdr=4、已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2=2x到点(2,0),再沿圆周x2+y2=4到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分I=L3x2ydx+x3+x-2ydy(2012，数一，10分)【解析】I=Ly+zdx+z2-x2+ydy+x2y2dz=Ddxdy-20-2ydy=2-45、已知L的方程z=2-x2-y2z=x ，起点为A(0,2,0)，终点为B(0,-2,0)，计算曲线积分I=Ly+zdx+z2-x2+ydy+x2y2dz(2015，数一，10分)【解析】曲线L的参数方程为：x=cosy=2