[理学]信号与线性系统分析第四版第4章.ppt

信号与系统 4.0 引言 4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换 4.7 LTI系统的频域分析 4.8 取样定理 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 信号与系统 4.0 引言 时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入 信号可分解为一系列冲激函数之和；而 yzs(t) = h(t)f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本信号 ，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信 号或虚指数信号之和。 用于系统分析的独立变量是频率， 故称为频域 分析 。 信号与系统 频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（ 频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数 或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制等重要概念。 信号与系统 发展历史 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,17681830)在研究热传导 理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得 到广泛应用。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 具有很多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 信号与系统 傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为成谐波关系的 正弦信号的加权和”傅里叶的第 一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” 傅里叶的第二个主要论点 信号与系统 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 意义： 1.从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦 分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供 了途径。 2. 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响 应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同 时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后， 是衰减还是增强一目了然。 信号与系统 4.1 信号分解为正交函数 矢量正交与正交分解 信号正交与正交函数集 信号的正交分解 信号与系统 一、矢量正交与正交分解 矢量正交的定义： 指矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)的内积为0。 即 正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合 如三维空间中，以矢量 Vx=（2，0，0）、Vy=（0，2，0）、Vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集，且完备。 矢量A =(2，5，8)表示为 A= Vx+ 2.5 Vy+ 4 Vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间。 信号与系统 二、信号正交与正交函数集 1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足 (两函数的内积为0) 则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集 ，这些函数在区间(t1，t2)内满足 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。 信号与系统 3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外 ，不存在函数(t)(0）满足 则称此函数集为完备正交函数集。 例如： 三角函数集 1，cos (nt)，sin (nt)，n=1,2, 虚指数函数集ejnt，n=0，1，2， 是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函 数集。 ( i =1，2，n) 信号与系统 三、信号的正交分解 设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C11+ C22+ Cnn 如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间的误差在 区间(t1，t2)内为最小。 通常使误差的方差均值(称为均方误差)最小。均方误差为 信号与系统 为使上式最小 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不 为0，写为 即 所以系数 信号与系统 代入，得最小均方误差（推导过程见教材） 在用正交函数去近似f(t)时，所取的项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集 ），均方误差为零。此时有 上式称为(Parseval)帕斯瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正 交分量能量之和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 信号与系统 小结 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 帕斯瓦尔能量公式 信号与系统 4.2 傅里叶级数 傅里叶级数的三角形式 波形的对称性与谐波特性 傅里叶级数的指数形式 周期信号的功率Parseval等式 信号与系统 傅里叶级数 19世纪初叶,法国数学家吉傅里叶证明: 任何正常的周期为T的函数f(t)都可分解 为无限个正弦和余弦函数的代数和。即 通常称（46）式为傅里叶级数。如果 已知f(t),则可通过式(47)、(48)和 (49)分别求出an,bn,c的值。 (46) 信号与系统 (47) (48) (49) 信号与系统 根据三角函数的运算法则,式(46)还 可写成式(410)。 (410) (411) (413) (412) 信号与系统 典型的应用领域 1.线性系统: 2.天线:方向图=发射电流的付立叶变换 3.光学： 4.随机过程： 5.概率论： 6.量子物理： 7.边值问题： 信号与系统 一、傅里叶级数的三角形式 1. 三角函数集 在一个周期内是一个完备的正交函数集。 由积分可知 1，cos (nt)，sin (nt)，n=1，2 ， 信号与系统 2级数形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数 系数an , bn称为傅里叶系数 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。 信号与系统 狄里赫利(Dirichlet)条件 条件3:在一周期内，信号绝对可积。 条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。 条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。 例2 例1 例3 信号与系统 例1 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它 是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的 一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续 点的数目是无穷多个。 信号与系统 例2 不满足条件2的一个函数是 对此函数，其周期为1，有 信号与系统 例3 周期信号 ，周期为1，不满足此条件。 信号与系统 式中，A0 = a0 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 A0/2为直流分量 A1cos (t+1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周 期信号相同 A2cos (2t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍 一般而言，Ancos (nt+n)称为n次谐波。 可见：An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2, 将上式同频率项合并，可写为其他形式 信号与系统 求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级 数展开式。 周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 直流基波二次谐 波 解： 信号与系统 二、波形的对称性与谐波特性 1 .f(t)为偶函数对称纵坐标 bn =0，展开为余弦级数。 2 .f(t)为奇函数对称于原点 an =0，展开为正弦级数。 例 信号与系统 3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2) 此时 ，其傅里叶级数 中只含奇次谐波分量， 而不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0 4 f(t)为偶谐函数f(t) = f(tT/2) 此时 ，其傅里叶级数 中只含偶次谐波分量， 而不含奇次谐波分量即 a1=a3=b1=b3=0 信号与系统 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 系数Fn 称为复傅里叶系数 利用 cos x=(ejx + ejx)/2可从三角形式推出： 推导 虚指数函数集ejnt，n=0，1，2， 三、傅里叶级数的指数形式 信号与系统 指数形式傅氏级数推导 上式中第三项的n用n代换，A n=An， n= n， 则上式写为 令A0=A0ej0ej0 t ，0=0 所以 信号与系统 令复数 n = 0, 1, 2， 表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数 信号之和， F0 = A0/2为直流分量。 信号与系统 傅里叶系数之间关系 n的偶函数：an ， An ， |Fn | n的奇函数: bn ，n 信号与系统 四、周期信号的功率Parseval等式 直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。 n0时， |Fn| = An/2。 周期信号一般是功率信号，其平均功率为 这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。 证明 信号与系统 周期信号功率式证明 对于三角函数形式的傅里叶级数 平均功率 对于指数形式的傅里叶级数 总平均功率=直流、各次谐波的平均功率之和 信号与系统 信号的傅里叶级数正交分解 由于傅里叶级数具有正交性及完备性,故 任何周期信号均可正交分解成傅里叶级 数。这种分解,在对信号进行分析时将会 表现出很大的优势。 例41 试将图4.2所示的方波信号f(t)展 开为傅里叶级数。 信号与系统 图4.2 方波信号的傅里叶级数 信号与系统 解 我们将信号按式(46)分解成傅里叶 级数,并按式(4 7)、(48)、(49)分别 计算an, bn及c。 信号与系统 信号与系统 信号与系统 4.3 周期信号的频谱 信号频谱的概念 周期信号频谱的特点 频带宽度 信号与系统 一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化 的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的 频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率的变化关系，即 将An和n的关系分别画在以为横轴的平 面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱 图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|和n的关系，称为双边谱。若Fn 为实数，也可直接画Fn 。 图示 信号与系统 频谱图示（单边） 幅度频谱 相位频谱 离散谱，谱线 信号与系统 是f(t)的(/4)/(/12 )=3次谐波分量； 是f(t)的(/3)/(/12 )=4次谐波分量； 画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图 信号与系统 频谱概念演示 频谱概念演 示 既是奇函数又是奇谐函数 只含奇次谐波,且为正弦波. 例1例2 对于双边频谱，负频率只有数学意义，而无物理 意义。为什么引入负频率？ f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnt和e jnt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。 信号与系统 单边频谱图例1 例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率P。 解： 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即 显然1是该信号的直流分量。 的周期T1 = 8 的周期T2 = 6 所以f(t)的周期T = 24，基波角频率=2/T = /12 信号与系统 例2请画出其幅度谱和相位谱。 解：化为余弦形式 单边频谱图 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 信号与系统 双边频谱图 整理 信号与系统 二、周期信号频谱的特点 举例：有一幅度为1，脉冲宽 度为的周期矩形脉冲，其周 期为T，如图所示。求频谱。 令Sa(x)=sin x/x (取样函数） 信号与系统 , n = 0 ,1，2， (1)包络线形状：取样函数 (3)离散谱（谐波性） 信号与系统 周期信号频谱的特点 谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间 的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那 么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡 到非周期信号的连续频谱，各频率分量的幅度也趋近于 无穷小。 (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性，谱线位置是基频 的整数倍； (2)一般具有收敛性，总趋势减小。 信号与系统 三、频带宽度 1.问题提出 第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率） 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。 信号与系统 周期矩形脉冲信号的功率 而总功率 二者比值 信号与系统 2频带宽度 在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 内的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率 区间定义为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 语音信号 频率大约为 3003 400 Hz， 音乐信号 5015 000 Hz， 扩音器与扬声器 有效带宽约为 1520 000 Hz。 3系统的通频带信号的带宽，才能不失真 信号与系统 4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换 常用函数的傅里叶变换 信号与系统 一、傅里叶变换 ：周期信号非周期信号 连续谱，幅度无限小；离散谱 引出 0 再用Fn表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限 小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。令 0 (单位频率上的频谱） 称为频谱密度函数。 信号与系统 考虑到：T，无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而 同时， 于是， 傅里叶变换式“-” 傅里叶反变换式 F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。 由傅里叶级数 信号与系统 也可简记为 f(t) F(j) F(j)一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 说明： (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明 ，函数f(t)傅里叶变换存在的充分条件: (2)用下列关系还可方便计算一些积分 或F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j) 信号与系统 二、常用函数的傅里叶变换 1.矩形脉冲 (门函数） 记为g(t) 信号与系统 频谱图 幅度频谱 相位频谱 频宽： 信号与系统 2单边指数函数 f(t) = e t(t)， 0 信号与系统 频谱图 幅度频谱： 相位频谱： 信号与系统 3双边指数函数 f(t) = e|t| ， 0 信号与系统 4冲激函数(t)、(t) 信号与系统 5直流信号1 有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列f (t)逼近f (t) ，即 而f(t)满足绝对可积条件，并且f(t)的傅里叶变换所 形成的序列F(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅 里叶变换F (j)为 这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。 讨论： 信号与系统 推导 1? 构造 f(t)=e-t ， 0 所以 又 因此， 12() 信号与系统 求F 1另一种方法 将(t)1代入反变换定义式，有 将-t，t-，有 再根据傅里叶变换定义式，得 信号与系统 6. 符号函数 不满足绝对 可积条件 信号与系统 频谱图 信号与系统 7. 阶跃函数 信号与系统 归纳记忆： 1. F 变换对 2. 常用函数 F 变换对： (t) (t) et (t) g(t) sgn (t) e|t| 1 1 2() 信号与系统 4.5 傅里叶变换的性质 线性 奇偶性 对称性 尺度变换 时移特性 频移特性 卷积定理 时域微分和积分 频域微分和积分 相关定理 信号与系统 一、线性性质(Linear Property) 若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) 则 a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 证明: F a f1(t) + b f2(t) = a F1(j) + b F2(j) 举例 信号与系统 线性性质举例 例: 图示f(t)的频谱F(j) = ? 解: f (t) = f1(t) g2(t) f1(t) = 1 2() g2(t) 2Sa() 所以 F(j) = 2() - 2Sa() = - 信号与系统 二、奇偶虚实性(Parity) 若 f (t) 是实函数，且 f (t) F(j)=|F(j)|ej() = R()+jX() 则 R()= R()， X()= X()， |F(j)|= |F(j)|， ()= ()， f (t) F(j) = F *(j) 若 f (t)= f (t) 则 X()=0， F(j) = R() 若 f (t)= f (t) 则 R()=0， F(j) = jX() 证明 信号与系统 奇偶虚实性证明 设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略） 显然 信号与系统 三、对称性(Symmetrical Property) 若 f (t) F(j) 则 证明: （1） 式 (1) t ，t 则 （2） 式 (2) 则 F(j t) 2f () F( jt ) 2f () 举例 练 习 信号与系统 对称性举例 例: F(j) = ? 解: 令 =1, 信号与系统 四、尺度变换性质(Scaling Transform Property) 若 f (t) F(j) 则 其中a为非零的实常数。 证明 特例 a = 1 时, f ( t ) F( j) 举例意义 信号与系统 尺度变换举例1 例1: f(t) = F(j) = ? 解: 利用对称性,有 信号与系统 尺度变换意义 (1) 01 时域压缩，频域扩展a倍。 (3) a=-1 时域反转，频域也反转。 持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频 带展宽，各分量的幅度下降a倍。 信号与系统 尺度变换证明 证明: F f (a t ) = a 0 时 F f (a t ) a 0时 F f (a t ) 故 f (a t ) 信号与系统 五、时移特性(Timeshifting Property) 若 f (t) F(j) 则 其中t0为实常数。 证明: F f (t t0 ) 例 1 例 2 例 3 信号与系统 时移特性举例 例: 图示f(t)的频谱 F(j) = ? 解: f1(t) = g6(t 5) , f2(t) = g2(t 5) g6(t 5) g2(t 5) 所以 F(j) = + 信号与系统 时移尺度举例 例 2 : 已知 f (t)F( j), 求 f (at b) ? 解: f (t b)e -jb F( j) f (at b) 或 f (at) f (at b) = 信号与系统 时移举例3 求图(a)所示三脉冲信号的 频谱。 解： 信号与系统 因为 脉冲个数增多，频谱 包络不变，带宽不变。 信号与系统 六、频移特性(Frequency Shifting Property) 若 f (t) F(j) 则 证明: 其中0为实常数。 F e j0t f(t) = F j(0) 例 1： f(t) = ej3t F(j) = ? 解: 1 2() ej3t 1 2(-3) 例 2 信号与系统 频移（调制）特性举例 已知矩形调幅信号 解： 因为 信号与系统 信号与系统 七、卷积性质(Convolution Property) 时域卷积： 若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) 则 f1(t)f2(t) F1(j)F2(j) 频域卷积： 若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) 则 f1(t) f2(t) F1(j)F2(j) 证明 举例 信号与系统 时域卷积定理的证明 F f1(t)f2(t) 所以 交换积分次序 利用时移特性 f1(t)f2(t) F1(j)F2(j) 信号与系统 卷积定理举例 例: 解: 由对称性得 信号与系统 八、时域的微分和积分 (Differentiation and Integration in time domain) 若 f (t) F(j) 则 证明: f(n)(t) = (n)(t)f(t) (j)n F(j) f(-1)(t)= (t)f(t) 例1例 2已知f (t) F1(j) f (t) F (j)=? 信号与系统 时域微分特性举例1 f(t)= 1/t2 ? 例1: 解: 信号与系统 时域微分积分特性举例2 例2: 求 f (t) F (j) 解: f “(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2) F2(j)= F f “(t) = e j2 2 + e j2= 2cos (2) 2 F (j) = 注意: d(t)/dt = (t) 1 (t) 1/(j) 信号与系统 结论: 若 f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 则 f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n 信号与系统 九、频域的微分和积分 (Differentiation and Integration in frequency domain) 若 f (t) F(j) 则 (jt)n f (t) F(n)(j) 其中 例 1例 2 信号与系统 频域微分积分特性举例1 例 1: f (t) = t(t) F (j)=? 解: 注意: t(t) =(t)(t) 错误! 因为 ()() 和 (1/j)() 无定义。 信号与系统 频域微分积分特性例2 例2： 求 解: 其中，a为非零常数。 信号与系统 4.6 周期信号的傅里叶变换 周期信号：f(t)傅里叶级数Fn 离散谱 周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？ 非周期信号：f(t)傅里叶变换F(j) 连续谱 正、余弦的傅里叶变换 一般周期信号的傅里叶变换 傅里叶系数与傅里叶变换 信号与系统 一、正、余弦的傅里叶变换 已知 12() 由频移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) 同理 信号与系统 频谱图 信号与系统 二、一般周期信号的傅里叶变换 (1) 说明：(1) 周期信号fT(t)的傅氏变换由冲激序列组成， 冲激函数仅存在于谐波频率处； (2) 谱线的幅度不是有限值，因为F(j)代表频谱密度。 例1例2 信号与系统 频域分析举例1 例1：T(t)? 解： T(t) 信号与系统 周期信号傅氏变换举例2 例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。 解：周期信号f(t)也可看作 一时限非周期信号f0(t)的周 期拓展。即 f(t) = T(t)f0(t) F(j) = () F0(j) F(j) 本题 f0(t) = g2(t) 信号与系统 三、傅里叶系数与傅里叶变换关系 推导：第一个周期单脉冲f0(t)的傅氏变换F0(j)与周期信 号fT(t)的傅氏系数Fn的关系： 比较(1)(2) 信号与系统 4.7 LTI系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频 率的虚指数函数之和。 对周期信号： 对非周期信号： 其基本信号为 ej t 基本信号e j t作用于LTI系统的响应 一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 频率响应H(j)的求法 无失真传输与滤波 信号与系统 一、基本信号e j t作用于LTI系统的响应 设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率 的基本信号ej t时，其响应 而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换， 记为H(j )，称为系统的频率响应函数。 y(t) = H(j ) ej t H(j )反映了响应y(t)的幅度和相位随频率变化情况。 y(t) = h(t)ej t 信号与系统 二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 ej tH(j ) ej t F(j ) ej t d F(j )H(j ) ej t d 齐次性 可加 性 f(t) y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j ) 信号与系统 频域分析法步骤： 频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变 换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即 H(j)称为幅频特性（或幅频响应）；()称为相 频特性（或相频响应）。H(j)是的偶函数， ()是的奇函数。 傅里叶变换法 信号与系统 对周期信号还可用傅里叶级数法 周期信号 若 则可推导出 例 信号与系统 频域分析例 例：某LTI系统的H(j)和()如图， 若f(t)= 2 + 4cos (5t) + 4cos (10t)，求系统的响应。 解法一：用傅里叶变换 F(j) = 4() + 4(5) + (+5) + 4(10) + (+10) Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5) + 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) H(j)=H(j) ej() = 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F 1Y(j) = 2 +2sin (5t) 信号与系统 解法二：用三角傅里叶级数 f(t)的基波角频率=5 rad/s f(t)= 2 + 4cos (t) + 4cos (2t) H(0) =1， H(j) = 0.5ej0.5， H(j2) = 0 y(t) = 2 + 40.5cos (t 0.5) = 2 + 2sin (5t) 信号与系统 三、频率响应H(j)的求法 1. H(j) = F h(t) 2. H(j) = Y(j)/F(j) 2. （1）由微分方程求，对微分方程两边取傅里 叶变换。 （2）由电路直接求出。 例2 例1 信号与系统 频率响应举例1 例1：某系统的微分方程为 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = et(t)时的响应y(t)。 解：微分方程两边取傅里叶变换 jY(j) + 2Y(j) = F(j) f(t) = et(t) Y(j) = H(j)F(j) y(t) = (et e2t )(t) 信号与系统 频率响应举例2 例2：如图电路，R=1，C=1F，以 uC(t)为输出，求其h(t)。 若uS(t)=2cos t，求uC(t)=？ 解：画电路频域模型 h(t)= et (t) 由于 信号与系统 四、无失真传输与滤波 系统对于信号的作用大体可分为两类： 信号的传输 滤波 传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱 不需要有的成分，必然伴随着失真。 1. 无失真传输 （1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与 输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不 同，而没有波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K f(ttd) 其频谱关系为 Y(j)=Ke jtdF(j) 信号与系统 (2) 无失真传输条件： 系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是 ： (a) 对h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b) 对H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即 H(j)=K ,()= td 上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽 的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、 相频特性满足以上条件即可。 例 信号与系统 无失真举例 例：系统的幅频特性 |H(j)|和相频特性如图 (a)、(b)所示，则下列 信号通过该系统时， 不产生失真的是 (1) f(t) = cos t + cos 8t (2) f(t) = sin 2t + sin 4t (3) f(t) = sin 2t sin 4t (4) f(t) = cos2 4t 信号与系统 相位特性为什么与频率成正比关系？ 只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延 迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。 延迟时间td 是相位特性的斜率： 群时延 或称群延时 在满足信号传输不产生相位失真的情 况下，系统的群时延特性应为常数。 信号与系统 例 信号与系统 失真的有关概念 线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成 幅度失真： 各频率分量幅度产生不同程度的衰减； 相位失真： 各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各 频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。 线性系统的失真：幅度、相位变化，不产生新的频率 成分； 非线性系统产生非线性失真：产生新的频率成分。 对系统的不同用途有不同的要求： 无失真传输；利用失真进行波形变换。 信号与系统 2. 理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性 的系统称为理想低通滤波器。 c称为截止角频率。 理想低通滤波器的频率响应 可写为： 的低频段内，传输信号无失真 。 信号与系统 理想低通的冲激响应 h(t)= F -1g2C()e-j td = 可见，它实际上 是不可实现的非 因果系统。 信号与系统 理想低通的阶跃响应 g(t)=h(t)(t)= 经推导，可得 称为正弦积分 信号与系统 阶跃响应波形 信号与系统 说明 （1）上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间， ： （2）有明显失真，只要c，则必有振荡，其过冲比 稳态值高约9%。这一由频率截断效应引