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文档简介

常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第十一章 一、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入得 称为微分方程的特征方程, 1. 当时, 有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此齐次方程的通解为 ( r 为待定常数 ), 设 则微分 其根称为特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶常系数齐次线性方程解法 -特征方程法 2. 当时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u = x , 则得因此原方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 当时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 二阶常系数齐次微分方程 求通解的一般步骤: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.的通解. 解: 特征方程特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 所给微分方程的特征方程为 它有一对共轭复根 故所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、n阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: n次代数方程有n个根, 而特征方程的 每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项 各一个任意常数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.的通解. 解: 特征方程特征根: 因此原方程通解为 例5. 解: 特征方程:特征根 : 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解 推广 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 解: 特征方程: 即 其根为 方程通解 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 解: 特征方程: 特征根为 则原方程通解为: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 特征根: (1) 当时, 通解为 (2) 当时, 通解为 (3) 当时, 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1.求方程的通解 . 答案: 通解为 通解为 通解为 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为 机动 目录 上页 下页
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