《初四复习研讨会》PPT课件.ppt

初四复习研讨会 解直角三角形 梧台中学 张文超 运用三角函数的定义解题 锐角三角函数定义是在直角三角形中 给出的，它反映的是直角三角形相应两边 的比值的特性，我们在解题的过程中，如 果能恰当地利用这一点，有时会起到简化 过程作用。 例1：如图1，在ABC中，已知BC= ， B=60，C=45，求AB的长。 n分析：可以过A点作BC的垂线交于D点，构造 直角三角形，再根据三角函数定义及特殊角 的三角函数值，得出AD与BD的比值为 ， 可设BD=k，AD= k，再有AD=DC，得k+ k= ，求得k值，进而求得AB的长。 点评：求线段的长，若线段不处在直角 三角形中，常通过作垂线构造直角三角 形，结合三角函数定义求解。 例2：如图2，在ABC中，ACB=90， SinB= ，D是BC上一点，DEAB于E， CD=DE，AC+CD=9。求BE的长。 n分析：由SinB= = = ，可设DE= CD=3k，DB=5k，则BC=8k，AC=6k， AB=10 k。再由AC+CD=9，可求出各边的长 。在RtBDE中，根据勾股定理求出BE的长 。 点评：在直角三角形中，已知某一三角函 数值，可利用其比值设比例系数为k，把某 些线段用k的代数式表示，再结合已知条件 求出k的值，也即求出了要求线段的长，这 是这类题目常用的方法。 巧记特殊角的三角函数值 n特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求 大家必须熟记，为了帮助记忆，可采用下面 的方法 n1、图示法：借助于下面三个图形来记忆， 即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30=cos60= ，sin45=cos45= tan30= ， tan 45=1 。 30 1 2 1 45 1 1 2 60 n 2、列表法： 0 30 45 60 90 sin cos tan 0 不存在 说明：正弦值随角度变化，即0 30 45 60 90变 化；值从0 1变化，其余类似记 忆 n3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下 列记忆规律： 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0 90时，则0sin 1； 0cos 1 ；tan 0 ； 增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增 大；余弦值随角度的增大而减小），即当0AB 90时，则sinAsinB；tanAtanB；cosA cosB ；特别地：若0 45，则sinAcosA；若45 A90，则sinAcosA n4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 形式，正切值可表示为 形式，有关m的值可归纳成顺口溜：一、二、三； 三、二、一；三九二十七 锐角三角函数的求值策略 n一、准确根据三角函数的概念求值 例1、ABC中，C为直角，A、B、C所对的 边分别是a，b，c，已知b=3，c= ，求sinA的值 解：如图，在RtABC中，根据勾股定理可得： = ， 点评：在直角三角形中求解三角函数值或运用三角函 数值时，都须准确根据三角函数的概念来进行，决 不能张冠李戴 A B C a b c n二、运用参数法求三角函数值 例2、在ABC中，C=90,如果 ，那么sinB的值等于（ ） A B C D 解：如图，根据题意可设BC=5k，AC=12k，则 ， ，故本题应选B 点评：由于三角函数值实质上就是直角三角形两边的比值，所以有 时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参 数的代数式来表示出直角三角形各边长，然后结合相关条件解决 问题。 n三、运用转化手段求三角函数值 n例3、如图，CD是RtABC斜边上的高， AC=4，BC=3，则cosBCD的值是（ ） A B C D 解：在RtABC中，由AC=4，BC=3可求出 AB=5，又CD是RtABC斜边上的高，可得 ABCCBD，BCD=A， cosBCD=cosA= ，故本题应选D 点评：三角函数值的大小与角的大小有关，与边的长短无关，故当 一个锐角的三角函数值不能直接求解时，往往采用转化手段，通过 求其等角的三角函数值来达到目的。 C D A B 四、通过构造直角三角形求三角函数值 n例4、如图，在ABC中，AB= ，AC=6， B=45，试求出C的正弦值。 解：过点A作ADBC于D，B=45，ABD 为等腰直角三角形，根据勾股定理可得： BD=AD=4在RtADC中，sinC 点评：一般情况下，Rt是求解或运用三角函数值的前提条件，故当 题目中所提供的并非Rt时，需通过添加辅助线构造Rt，然后运 用三角函数解答问题 A B C D 三角函数解决楼房采光 n应用解直角三角形知识解决某些简单的实际 问题，重点是把实际问题转化为数学问题， 难点是运用解直角三角形的知识，结合实际 问题示意图，正确选择边角关系解答 n例1（威海市）如图1，图2是晓东同学在进行“居民楼高度、楼间距 对住户采光影响问题”的研究时画的两个示意图请你阅读相关文字 ，解答下面的问题 （1）图1是太阳光线与地面所成角度的示意图冬至日正午时刻，太 阳光线直射在南回归线（南纬23.5）B地上在地处北纬36.5的A 地，太阳光线与地面水平线l所成的角为试借助图1，求的度数 赤道 36.5 23.5 太阳光线 南回归线 A B 图 1 O l 图2 （2）图2是乙楼高度、楼间距对甲楼采光影响的示意图甲楼地处 A地，其二层住户的南面窗户下沿距地面3.4米现要在甲楼正南面 建一幢高度为22.3米的乙楼，为不影响甲楼二层住户（一层为车库 ）的采光，两楼之间的距离至少应为多少米（精确到0.1米）？ 分析：（1）结合题意和图形，根据太阳光线 是平行光线，不难求出的度数；（2）结合 图形，可转化成在RtDEC中，已知CE、 ，求DE的长解直角三角形问题. 赤道 36.5 23.5 太阳光线 南回归线 A B 图 1 O l 图2 n解：（1）太阳光是平行的， +90+36.5+23.5=180， =30 （2）过点D作DECF，垂足为E， 在RtCDE中，CE=22.3-3.4=18.9，CDE=30 tan30= ，DE= 32.8（米） 说明：解答此题并不难，关键是把实际问题转化成 解直角三角形问题本题实质是在RtDEC中，已 知CE、，求DE应根据已知条件选用的正 切三角函数来解决 n例2（资阳）如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间 的距离为AC=30m，由地面向上依次为第1层、第2层 、第10层，每层高度为3m假设某一时刻甲楼 在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角 为 （1）用含的式子表示h（不必指出的取值范围）； （2）当30时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第 几层？若每小时增加15，从此时起几小时后甲楼 的影子刚好不影响乙楼采光？ n分析：过点E作EFAB于F，本题第（1）小题 可转化为在RtBEF中解直角三角形求解；第（ 2）小题由题意知，当B点的影子落在C处时，甲 楼的影子刚好不影响乙楼采光 （1）过点E作EFAB于F，由题意，四边形ACEF为矩形 EF=AC=30，AF=CE=h ，BEF=，BF=310-h=30-h. 又在RtBEF中，tanBEF= ，tan= ， 即30 - h=30tan，解得h=30-30tan (2)当30时，h=30-30tan30=30-30 12.7， 12.734.2， B点的影子落在乙楼的第五层 当B点的影子落在C处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光此时，由 AB=AC=30，知ABC是等腰直角三角形， ACB45， = 1（小时） 故经过1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光 说明：本题是一道与实际生活密切联系的应用 题，解决本题的关键要准确找出所要解的直角 三角形，如（1）解RtBEF；其次要弄清题意 ，找出已知条件和未知条件关系，正确选择锐 角三角函数来求解 解直角三角形中考试题选 n1、正方形网格中，如图放置，则 =（ ） A B O n2.如图1，已知RtABC中，AC=3，BC= 4， 过直角顶点C作CA1AB，垂足为A1，再过 A1作A1C1BC，垂足为C1，过C1作 C1A2AB，垂足为A2，再过A2作 A2C2BC，垂足为C2，这样一直做下 去，得到了一组线段CA1，A1C1，则 CA1= ， 图1 A n3.（2009南州）如图，在凯里市某广场上空飘着一 只汽球P，A、B是地面上相距90米的两点，它们分 别在汽球的正西和正东，测得仰角PAB= ，仰 角PBA= ，求汽球P的高度（精确到0.1米， =1.732） n4.地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测 点A、B 相距 3 米，探测线与地面的夹角分 别是30和 60（如图），试确定生命所在点 C 的深度（结果精确到0.1米，参考数据： ） n5.载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2 日奥运圣火在古城荆州传递，途经A、B、C 、D四地如图，其中A、B、C三地在同一 直线上，D地在A地北偏东45方向，在B地正 北方向，在C地北偏西60方向C地在A地北 偏东75方向B、D两地相距2km问奥运圣 火从A地传到D地的路程大约是多少？（最后 结果保留整数，参考数据： ） A B C 北 北 60 45 D n6.（2009宁德）某大学计划为新生配备如图 （1）所示的折叠椅图（2）是折叠椅撑开 后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长相等 ，O是它们的中点为使折叠椅既舒适又牢 固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm ，DOB100，那么椅腿的长AB和篷布面 的宽AD各应设计为多少cm？（结果精确到 0.1cm） BC A O D 100 32 cm 图（2） n7.今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨某市抗 洪抢险救援队伍在B处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼 顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东的 方向上（ 如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A处就人，同 时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A 处救人，已知A在C的北偏东的 方向上，且救援人员在水中游进 的速度均为1米/秒在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试