《初等函数》PPT课件.ppt

数学中的转折点是 笛卡儿的变数，有了变 数，运动进入了数学， 辩证法进入了数学，微 分和积分也就立刻成为 必要的了。 第一章 极限与连续 恩格斯 笛卡儿 (法 ) （Descartes ）（15961650 ） 设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,对于 集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的 元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B 的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射. 记作 f: A B 我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A 中的元素相对应的元素叫象 （一）映射的定义 1.1初等函数 注意： (1)映射的三要素:集合A,B和对应法则f (2)映射是有方向的:A到B的映射和B到A的映射是 不同的 (3)映射的实质:A中任何一个元素在 B中都有唯 一的元素和它对应（任一对唯一） 映射只能是一对一或多对一的对应,不能是一对 多的对应 (B中元素有三种可能性：A中有一个、多个、没 有元素和它对应。) 中国 韩国 北京 首尔 1 1 2 2 3 3 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (4) A，B可以是数集也可以是点集、图形集、 物体集等等 (5)映射 不要求集合B中的元素都有原象 或唯一 例1：下列各图表示的对应是不是集合A到B 的映射？为什么？ a b c 1 2 1 2 3 a b 1 2 a b c a b c 1 2 A AA A B BBB (1)(2)(3) (4) ffff 方法提炼：看A B是否满足任一对唯一 设X, Y是两非空集, 若按照对应规则 f, 使 xX, 都有唯一的 yY 与之对应, 则称 f 是x 的函数.记作y = f(x). 集合X称为为函数f的定义义域，记记 为为函数f的值值域，记记作 x为为自变变量，y为为因变变量. （二）函数的定义 思考思考: :映射和函数有什么区别和联系映射和函数有什么区别和联系? ? 联系：都是从A到B 的单值对应； 区别：构成函数的两个集合必须是数集， 而构成映射的两个集合可以是其它集合； （三）函数的单值性与多值性 对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定 的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数， 否则称为多值函数. 例如， 圆是多值函数. 是单值函数；函数 （四） 反函数的定义 反函数的定义 : 设函数是单射,则它存在 如:函数是单射,其反函数为 若函数f (x)在D上是单调函数,则f -1也是f (D)上的单 调函数. DD )(xf y = 函数 称此映射为函数f 的反函数. 逆映射 直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称. 相对于反函数原来的函数y=f (x)称为直接函数. （五）初等函数和复合函数 1、基本初等函数 以上六类函数称为基本初等函数. A.常函数 y Ox B.幂函数 y O x 1 2 1 y Ox B.幂函数 y xO ox C.指数函数 D.对数函数 x a y= xO E.三角函数 y 1 o -1 y 1 o -1 E.三角函数 E.三角函数 F.反三角函数 F.反三角函数 2、复合函数 定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且则由下式确定的函数 称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定 义域为D,变量u称为中间变量. 函数g与函数f 构成的复合函数通常记为 函数g与函数f 构成复合函数的条件是: 函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域内,即 注:1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合 函数的; 2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 如: 如: 复合函数的求解难点：合成与分解 对于复合函数的合成与分解注意以下几点 ： 如: 1、对复合函数的分解一定要彻底 2、分解标准是：分解成六类基本初等函数的 四则运算 3、内层函数的值域必须为外层函数定义域的 子集，否则不能构成复合函数 3、初等函数 例如： 是初等函数. 由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数 复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称 为初等函数. 注意 有些函数，对于其定义域内自变量不同的值， 不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或 两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数. 分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数 分段函数是初等函数吗？ 问题 （六）分段函数 (1) 符号函数 （七）几个特殊的函数 1 -1 x y o 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 x表示不