《ch2极限与连续》PPT课件.ppt

第二章 极限与连续 2.1 数列的极限 2.2 函数的极限 2.3 无穷小量与无穷大量 2.4 极限的性质与运算法则 2.5 极限存在性定理与两个重要极限 2.6 函数的连续性 2.1 数列的极限 例如 数列是整标函数 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划 它. 通过上面演示实验的观察: 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 几何解释: 其中 例1 证 所以, 例2 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 例3 证 2.2 函数的极限 一、自变量趋向有限值时函数的极限 一、自变量趋向有限值时函数的极限 1 2 1 2 几何解释: 注意： 例1 证 函数在点x=1处没有定义. 单侧极限: 左极限 右极限 左右极限存在但不相等, 例2 证 它是偶函数，图形关于y轴对称. 1 通过上面演示实验的观察: 几何解释: 例3 证 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 2.3 无穷小量与无穷大量 四、无穷大量 一、无穷小量的概念 二、无穷小量的性质 三、无穷小量的比较 定义: 极限为零的变量称为无穷小量. 一、无穷小量的概念 例如, 注意： （1）定义中所称极限，包括数列极限和函数极限的各 种情形； （4）零是可以作为无穷小的唯一的数. （2）无穷小需指明相应的变化过程。如 （3）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 定理 其中 是当 时的无穷小. 此定理对函数极限的其它变化过程仍成立。 以上定理表明： “f(x)以A为极限” “f(x)与A之差f(x)-A为无穷小” 该定理在今后的讨论证明中常会用到 二、无穷小的性质: 性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 性质2 在同一过程中,有限个无穷小之积仍是无穷小. 证 性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 都是无穷小。 是无穷小。 性质4 无穷小除以极限存在且不为零的函数仍是无穷小. 证 不妨假设A0. 三、无穷小的比较 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 同一变化过程中的无穷小趋于零的速度各不相同。 定义: 例如， 四、无穷大量 定义 在自变量的某一变化过程中，若函数f(x)的绝对值 无限增大，则称f(x)为无穷大量,记作 若在自变量的某一变化过程中，函数f(x) (-f(x)无限增大 ，则称f(x)为正(负)无穷大量,记作 例如 注意： （1）无穷大量的定义对数列也适用; （3）无穷大量是变量,不能与很大的数混淆; （2）无穷大量需指明相应的变化过程。如 无穷小量与无穷大量的关系 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零 的无穷小量的倒数为无穷大量.即 2.4 极限的性质与运算法则 一、极限的性质 二、极限的四则运算法则 一、极限的性质 性质1(唯一性) 若极限limf(x)存在，则极限值唯一。 矛盾。故极限值唯一。 性质2(局部有界性) 若极限l i m f(x)存在，则f(x)在x0的某空 心领域内有界。 体会局部的含义，例如f(x)= 1/x在0.001处局部有界 性质3(局部保号性) 若极限l i m f(x)=A,A0(或A0(或f(x)1/n2，但是n时，二者极限相等 二、极限的四则运算法则 定理 证 由无穷小运算法则,得 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 推论3 推论4 推论5 例1 解 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 解 例3 例4 解 例5 解 要看清自变量变化趋势 例6 解 小结: 注意推广到数列情形 例7 解 先变形再求极限. 极限为0对吗 ? 错误！ 2.5 极限存在性定理与两个重要极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限 一、极限存在准则 1.夹逼定理 证 上两式同时成立, 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限。 例1 解 由夹逼定理得 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 有界数列 准则 单调有界数列必有极限. 例2 证 (舍去) 二、两个重要极限 (1) 准备用夹逼定理 注：xsinx，(x0) 例3 解 例4 解 注：xtanx，(x0) 例5 解 注：1-cosxx2/2，(x0) 例6 解 10 0 不存在 01 0 不存在 (2) 类似地, 准备用夹逼定理 例7 解 例8 解 用乘除凑解 题更简单 例9 设一笔本金A0存入银行,年复利率为r,在下列情况下,分别计 算t年后的本利和： a)一年结算一次； b)一年分n期计息,每期利率按r/n 计算； c)银行连续不断地向顾客付利息,此种计息方式称为连续复利. 解 a) 一年结算一次时,一年后的本利和为A1=A0+ A0r=A0(1+r), 第二年后的本利和为A2= A1(1+r)= A0(1+r)2,依此递推关系, t年后的 本利和为At= A0(1+r)t. 类似于连续复利问题的数学模型,在研究人口增长、林木生长、 设备折旧等问题时都会遇到,具有重要的实际意义. b) 一年结算n次, t年共结算nt次, 每期利率为 ,则t年后的本利 和为 t= A0(1+ )nt. c)计算连续复利时, t年后的本利和 t 为b)中结果 t在 时的 极限 2.6 函数的连续性 一、变量的改变量 二、连续函数的概念 三、函数的间断点 四、连续函数的性质 五、闭区间上连续函数的性质 一、变量的改变量 二、连续函数的概念 定义1 设函数 在点 的某领域内有定义,如果当自变量 的改变量 趋向于零时,对应的函数的改变量 也趋向于零,即 则称函数 在点 处连续,称 为 的连续点. 例2 证 例3 证 例4 解 如果函数在开区间(a,b)内每一点都连续,则称函 数在在开区间(a,b)内连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 三、函数的间断点 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 例4中，x=0示跳跃间断点。 例如, 四、连续函数的性质 1.连续函数的四则运算 2.复合函数的连续性 单调连续函数必有连续的反函数，且单调性不变. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 3.反函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. 4.初等函数的连续性 均在其定义域内连续. 基本初等函数在定义域内是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 例5 例6 解 解 例7 解 例8 解 ln(1+X) X，X0 ex-1X，X0 例9 解 定理(最大值和最