计算机应用基础-2-计算方法基础.ppt

第二章 Matlab计算方法基础 1.矩阵基本分析 2. 矩阵的运算 3.矩阵的性质 4.矩阵的分解 5.符号运算 一 矩阵的创建 (1) 直接赋值：在命令窗口以命令行的方式直 接输入。以 为开始和结束的标志，行与行之 间用（；），元素之间用（，）或空格。 (2) 冒号表达式 e1:e2:e3 (3) zeros 函数 创建全零矩阵，调用格式为： 1.矩阵的基本分析 (4) eye函数 创建单位矩阵，调用格式： A=zeros(m,n), 生成mXn全零矩阵。 B=eye(m,n), 生成mXn单位矩阵。 (5) rand函数 创建均匀随机矩阵，调用格式： C=rand(m,n), 生成mXn随机矩阵。 1.矩阵的基本分析 二 矩阵及其元素的赋值 变量=表达式（数） a=1 2 3; 4 5 6;7 8 9 x=-1.3 sqrt(3) (1+2+3)/5*4 x(5)=abs(x(1) a(4,3)=6.5 a = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 0 0 6.5000 元素之间用逗号、空格分开。不同行以分号 隔开。语句结尾用回车或逗号，会显示结 果，如果不想显示结果，用分号。 元素用（）中的数字（下标）来注明，一维 用一个下标，二维用两个下标，逗号分开 。 a(5,:)=5,4,3 b=a(2,4,1,3) a(2,4,5, : )= a/7 如果赋值元素的下标超过原来矩阵的大小 ，矩阵的行列会自动扩展。 全行赋值，用冒号。 提取交点元素； 抽取某行元素用空矩阵。 1.矩阵的基本分析 f1=ones(3,2) f2=zeros(2,3) f3=magic(3) f4=eye(2) f5=linspace(0,1,5) fb1=f1,f3;f4,f2 fb2=fb1;f5 全1矩阵 全0矩阵 魔方矩阵：元素由1到nn的自然数组成，每行、每 列及两对角线上的元素之和均等于(n3+n)/2。 单位矩阵是nn阶的方阵。对角线上元素为1。 线性分割函数 大矩阵可由小矩阵组成，其行列数必须正确，恰好 填满全部元素。 三 基本赋值矩阵 1.矩阵的基本分析 f1 = 1 1 1 1 1 1 全1矩阵 f3 = 8 1 6 魔方矩阵 3 5 7 4 9 2 线性分割函数 f5 = 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 大矩阵可由小矩阵组成 fb2 =1.0000 1.0000 8.0000 1.0000 6.0000 1.0000 1.0000 3.0000 5.0000 7.0000 1.0000 1.0000 4.0000 9.0000 2.0000 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 f2 = 0 0 0 全0矩阵 0 0 0 f4 = 1 0 单位矩阵 0 1 fb1 = 1 1 8 1 6 1 1 3 5 7 1 1 4 9 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 fb1=f1,f3;f4,f2 fb2=fb1;f5 1.矩阵的基本分析 一 矩阵的初等运算 （1）矩阵的加减乘法 i. 加、减法：相加减的两矩阵阶数必须相同 ，对应元素相加减。 n,m=size(fb2) x=-1 0 1; y=x-1 y = -2 -1 0 语句size检查矩阵阶数，两矩阵 相加，阶数必须相同。 两相加减的矩阵中有一个是标 量时，MATLAB将标量扩展成 同等元素矩阵，与另一矩阵相 加减。 2 矩阵的运算 pi*x 标量与矩阵相乘，不检查阶数，标量乘以矩阵的每一个元素。 x=-1 0 1; X与y内阶数不同，将y转置 y。读作x左乘y。 y =-2 -1 0; x*y ans = 2 ans = 2 0 -2 y*x X右乘y。 1 0 -1 0 0 0 (2) 矩阵乘法 矩阵A np阶与矩阵B pm阶的乘积 C是nm阶矩阵。 P是A阵的列数，B阵的行数，称为两个相乘矩阵的内阶数 。 两矩阵相乘的必要条件是内阶数相等。 C(i,j)=kA(i,k)B(k,j)值为A阵第i行和B阵第j列对应元素 乘积的和。 2 矩阵的运算 eye(3)*a 左、右乘结果不同，只有单位矩阵例外。 a*eye(3) 单位矩阵乘以矩阵A，左、右乘结果仍等于该矩阵。 a = 1 2 3 ans = 1 2 3 ans = 1 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 7 8 9 2 矩阵的运算 二 矩阵的除法及线性方程组的解 a =1 2 3 4 5 6 7 8 9 AV=I V=A-1 V=inv(a) inv(a)*a V = 1.0e+016 * -0.4504 0.9007 -0.4504 0.9007 -1.8014 0.9007 -0.4504 0.9007 -0.4504 nn阶方阵A和同阶的方阵V相乘，得出n阶单位矩阵I。 I为eye(n)。 V是A的逆阵。V存在条件：A的行列式不等于0， det(A)0 V=A-1 MATLAB内部函数inv，得出A的逆阵V。 D*X=B inv(D)*D*X=inv(D)*B inv(D)*D=I I*X=X X=inv(D)*B=DB X*D=B X=B*inv(D)=B/D D与B行数相等 两端同时左乘以inv(D) 逆阵 单位阵 DB为D左除B X=DB，左除时阶数检查条件：两矩阵的行数必须相等。 未知矩阵在左. D的逆阵右乘以B，记作 /D 右除。 右除时阶数检查条件：两矩阵的列数必须相等。 2 矩阵的运算 a=1 2 3; 3 -5 4; 7 8 9 x=x1,x2,x3 b=2;0;2 ax=b x=ab a左除b 方程组 X1+2X2+3X3=2 3X1- 5X2+4X3=0 7X1+8X2+9X3=2 可以表示为ax=b 2 矩阵的运算 a=1 2 3;4 5 6 b=2 4 0; 1 3 5 d=1 4 7; 8 5 2; 3 6 0 运算：a*b da a*b ? Error using = * Inner matrix dimensions must agree. da ? Error using = Matrix dimensions must agree. a*b ans = 6 16 20 9 23 25 12 30 30 a*b ans = 10 22 28 49 da ans = -0.0370 0 0.5185 1.0000 -0.1481 0 a/d ans = 0.4074 0.0741 0.0000 0.7407 0.4074 0.0000 2 矩阵的运算 解线性方程组Ax=B 6x1+3x2+4x3=3 -2 x1+5 x2+7 x3=-4 8 x1-4 x2-3 x3=-7 A=6 3 4; -2 5 7; 8 -4 -3 B=3;-4; -7 X=AB A = 6 3 4 -2 5 7 8 -4 -3 B = 3 -4 -7 X = 0.6000 7.0000 -5.4000 2 矩阵的运算 三 矩阵结构形式的提取与变换 A=8 1 6 0; 3 5 7 1; 4 9 2 2 B1=fliplr(A) B2=flipud(A) B3=reshape(A,2,6) 提取矩阵中某些特殊结构的元素， 组成新的矩阵，改变矩阵结构。 fliplr矩阵左右翻转 flipud矩阵上下翻转 reshape阶数重组（元素总数不变） B4=rot90(A) B5=diag(A) B6=tril(A) B7=triu(A) B8=A(: ) rot90矩阵整体反时针旋转90度 diag提取或建立对角阵 tril取矩阵的左下三角部分 triu取矩阵的右上三角部分 将元素按列取出排成一列 2 矩阵的运算 3.1 矩阵基本概念与性质 一 行列式 3. 矩阵的性质 【例2-1】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 det(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 4 14 15 1 求行列式 3. 矩阵的性质 二 矩阵的秩 3. 矩阵的性质 rank(A)=rc=rr 其中rc为行稚，rr为列秩 r=rank(A) % 采用默认的精度求秩 r=rank(A, ) % 给定精度求秩 【例2-2】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 r=rank(A) R=rank(A)=3 16 2 3 13 5 11 10 8 求A= 9 7 6 12 的秩 4 14 15 1 3. 矩阵的性质 3.2 逆矩阵与广义逆矩阵 一 矩阵的逆矩阵 AC=CA=I 其中A为nXn非奇异方阵，则 C=A-1 C=inv(A) 3. 矩阵的性质 矩阵的伪逆 B=pinv(A) 【例2-3】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 format long; B=inv(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 求逆 4 14 15 1 下列奇异矩阵 3. 矩阵的性质 3.3 矩阵的特征值问题 一、 一般矩阵的特征值与特征向量 Ax=x d= eig(A) %只求特征值 V, D= eig(A) % 求特征值和特征向量 3. 矩阵的性质 【例2-4】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 eig(A) 求下列矩阵的特征值和特征向量 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 4 14 15 1 同时求出特征值和特征向量 V, D= eig(A) 3. 矩阵的性质 二 矩阵的广义特征向量问题 Ax =Bx d = eig(A, B) 求解广义特征值 V, D = eig(A, B) 求解广义特征值和特征向量 3. 矩阵的性质 【例2-5】 A=5 7 6 5; 7 10 8 7; 6 8 10 9; 5 7 9 10; B=2 6 -1 -3; 5 -1 2 3; -3 -4 1 10; 5 -2 -3 8; V,D=eig(A,B) 5 7 6 5 7 10 8 7 A= 6 8 10 9 5 7 9 10 2 6 -1 -2 5 -1 2 3 B= -3 -4 1 10 5 -2 -3 8 求特征值和特征向量 3. 矩阵的性质 V = 0.2928 -0.2697 + 0.7303i -0.2697 - 0.7303i 1.0000 1.0000 -0.1637 - 0.3013i -0.1637 + 0.3013i -0.6088 0.6948 0.9627 - 0.0175i 0.9627 + 0.0175i -0.2322 0.8860 -0.6795 - 0.2999i -0.6795 + 0.2999i 0.1323 D = 5.2777 0 0 0 0 0.0303 + 0.1790i 0 0 0 0 0.0303 - 0.1790i 0 0 0 0 -0.0036 3. 矩阵的性质 三 矩阵分析 det(A)： 矩阵的行列式 poly(A)： 矩阵特征多项式 rank(A)：矩阵的秩 inv(A)： 矩阵的逆 cond(A)：矩阵的条件数 trace(A)：矩阵的迹 pinv(A)： 矩阵的伪逆 3. 矩阵的性质 一 矩阵的相似变换与正交矩阵 4 矩阵的基本变换 X=B-1AB Q*Q=I, 且QQ*=I Q=orth(A) 正交矩阵 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; Q=orth(A) norm(Q*Q-eye(3) ans = 1.0140e-015 【例2-6】 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的正交矩阵 4 14 15 1 4 矩阵的基本变换 二 矩阵的三角分解 A=LU 其中 4 矩阵的基本变换 【例2-7】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; V,D=lu(A) V = 1.0000 0 0 0 0.3125 0.7685 1.0000 0 0.5625 0.4352 1.0000 1.0000 0.2500 1.0000 0 0 D = 16.0000 2.0000 3.0000 13.0000 0 13.5000 14.2500 -2.2500 0 0 -1.8889 5.6667 0 0 0 0 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的LU分解 4 14 15 1 4 矩阵的基本变换 三 矩阵的奇异值分解 ATA=0, AAT=0 其中A为任意的nxm矩阵 理论上有 rank(ATA)=rank(AAT)=rank(A) 奇异值定义 其中i为非负特征值 4 矩阵的基本变换 【例2-8】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 L, N, M=svd(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的奇异分解 4 14 15 1 条件数： cond(A) 4 矩阵的基本变换 矩阵分解 qr(A)： 矩阵的QR分解 lu(A)： 矩阵的LU分解 eig(A)： 求特征值和特征向量 svd(A)： 矩阵的奇异值分解 chol(A)：矩阵的Cholesky分解 （A=T*T，T为正定上三角矩阵） 4 矩阵的基本变换 符号对象的定义 f=sym(expr) % 表达式expr转换为符号对象 syms(arg1,arg2,) % 将arg1,arg2定义为符号变量 syms arg1 arg2 % 上面的简化（变量间只能用空格隔开 ） 例： y=sym(2*sin(x)*cos(y) syms x1 x2 x3 x4 z=sin(x1)*cos(x2)+cos(x1)*sin(x2) simple(z) A=x1 x2;x3 x4 DA=det(A) 5 符号运算 基本命令 findsym(expr) % 确定表达式expr中所有符号为自变量 findsym(expr,n) % 确定表达式expr中靠x最近的n个自变量 例： syms a x y z t findsym(sin(pi*t) findsym(x+i*y-j*z,1) findsym(x+i*y-j*z,2) findsym(x+i*y-j*z,3) 5 符号运算 基本命令 R=vpa(A) % 对表达式A求值 R=vpa(A,d) % d为输出数值的有效位数 例： digits(25) % 设置vpa输出的有效位数 q=vpa(sin(sym(pi)/6) p=vpa(pi) w=vpa(1+sqrt(5)/2,5) 5 符号运算 基本命令 R=subs(S) R=subs(S,old,new) 例： a=980; C1=3; y=dsolve(Dy=-a*y) subs(y) subs(a+b,a,4) subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) subs(x*y,x,y,0 1;-1 0,1 -1;-2 1) 5 符号运算 求极限命令 limit(F,x,a) % x趋向a时F的极限 limit(F,a) % 利用findsym确定变量 limit(F) % 默认 a=0 limit(F,x,a,right) % 右极限 limit(F,x,a,left) % 左极限 例： syms x a t h; limit(sin(x)/x) limit(1/x,x,0,right) limit(1/x,x,0,left) limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) v = (1 + a/x)x, exp(-x); limit(v,x,inf,left) 5 符号运算 求导命令 diff(S,v,n) % S对变量v求n阶导数 diff(S,v) % S对v求一阶导数 diff(S,n) % 自变量由findsym确定 diff(S) % 自变量由findsym确定 例： syms x t d