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双基自测1(人教A版教材习题改编)函数yx(x0)的值域为()A(,22,) B(0,)C2,) D(2,)2下列不等式:a212a;2;x21,其中正确的个数是()A0 B1 C2 D33若a0,b0,且a2b20,则ab的最大值为()A. B1 C2 D44(2011重庆)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值,则a()A1 B1 C3 D45已知t0,则函数y的最小值为_考向一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x0,y0,且2xy1,则的最小值为_;(2)当x0时,则f(x)的最大值为_【训练1】 (1)已知x1,则f(x)x的最小值为_(2)已知0x,则y2x5x2的最大值为_(3)若x,y(0,)且2x8yxy0,则xy的最小值为_考向二利用基本不等式证明不等式【例2】已知a0,b0,c0,求证:abc.【训练2】 已知a0,b0,c0,且abc1.求证:9.考向三利用基本不等式解决恒成立问题【例3】(2010山东)若对任意x0,a恒成立,则a的取值范围是_【训练3】 (2011宿州模拟)已知x0,y0,xyx2y,若xym2恒成立,则实数m的最大值是_考向三利用基本不等式解实际问题【例3】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时,总造价最低?【训练3】 (2011广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元从今年起,工厂投入100万元科技成本并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n).若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?【试一试】 (2010四川)设ab0,则a2的最小值是()A1 B2 C3 D4双基自测D(2,)答案C2解析不正确,正确,x2(x21)1211.答案B3解析a0,b0,a2b2,a2b22,即ab.答案A4解析当x2时,x20,f(x)(x2)22 24,当且仅当x2(x2),即x3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x3,即a3.答案C5解析t0,yt4242,当且仅当t1时取等号答案2【例1】解析(1)x0,y0,且2xy1,332.当且仅当时,取等号(2)x0,f(x)1,当且仅当x,即x1时取等号答案(1)32(2)1【训练1】解析(1)x1,f(x)(x1)1213当且仅当x2时取等号(2)y2x5x2x(25x)5x(25x),0x,5x2,25x0,5x(25x)21,y,当且仅当5x25x,即x时,ymax.(3)由2x8yxy0,得2x8yxy,1,xy(xy)101021022 18,当且仅当,即x2y时取等号,又2x8yxy0,x12,y6,当x12,y6时,xy取最小值18.答案(1)3(2)(3)18【例2】证明a0,b0,c0,2 2c;2 2b;2 2a.以上三式相加得:22(abc),即abc.【训练2】 证明a0,b0,c0,且abc1,3332229,当且仅当abc时,取等号解析若对任意x0,a恒成立,只需求得y的最大值即可,因为x0,所以y,当且仅当x1时取等号,所以a的取值范围是答案 【训练3】解析由x0,y0,xyx2y2 ,得xy8,于是由m2xy恒成立,得m28,m10,故m的最大值为10.答案10【例3解由题意可得,造价y3(2x150400)5 8009005 800(0x5),则y9005 80090025 80013 000(元),当且仅当x,即x4时取等号故当侧面的长度为4米时,总造价最低【训练3】 解(1)第n次投入后,产量为(10n)万件,销售价格为100元,固定成本为元,科技成本投入为100n万元所以,年利润为f(n)(10n)100n(nN*)(2)由(1)知f(n)(10n)100n1 00080520(万元)当且仅当,即n8时,利润最高,最高利润为520万元所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元【示例】正解
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