《初等矩阵及其性质》PPT课件.ppt

第第五五节节 初等矩阵（初等矩阵（Elementary MatrixElementary Matrix ） 及其性质及其性质 初等矩阵的概念与性质初等矩阵的概念与性质 用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵 问题与思考问题与思考 第二章 矩阵概念及其运算 一、初等矩阵的概念与性质 【定义2.9】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵 称为初等矩阵. 初等矩阵分为三类,分别记为Eij、Ei（k）、 Eij（k）； 如对三阶单位矩阵 E23= （1）Eij: 交换单位矩阵的第 行（列），得到的初等矩阵 (2) :单位矩阵E的第 行（列）元素乘以常数 ， 得到的初等矩阵 E3（k）= 如对三阶单位矩阵 (3) ：单位矩阵 的第 行(第 列)乘以常数 加到第 行(第 列)，得到的初等矩阵 如对三阶单位矩阵 E12（k）= 1）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应 的初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果 等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A. 初等矩阵有以下性质： 行变换 ： 列变换 ： 如： 用初等矩阵表示矩形框里的矩阵： 2）初等矩阵都是可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还 是初等矩阵,即: 行变换 ： BA BA BA 3） 初等矩阵的转置还是初等矩阵，即： 【定理2.4】矩阵A可逆的充要条件是:存在有 限个初等阵P1，P2，,Pk，使A=P1P2Pk. 【证】 充分性:设有初等阵P1，P2，,Pk, 使 A=P1P2Pk. 因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所 以A可逆。 即 A= P1P2Pk, 必要性：设A是可逆阵，所以R(A)=n A经初等变换可以化成单位矩阵E，从而经有限次初等 变换可以将E变成A， 存在有限个初等阵P1,P2,Pl,Pl+1,Pk,使 A= P1P2PlEPl+1Pk, 证毕 二、用初等变换求逆矩阵 【推论1】两个 型矩阵A、B等价的充要条件是:存 在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B. 证 A与B等价 存在有限个 阶初等矩阵 及有限个 阶 初等矩阵 使 令 由定理2-4知P是 阶可逆矩阵,Q为 阶可逆矩阵 且 PAQ=B R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A) 【推论2】设A是 矩阵,P是m阶可逆矩阵，Q是n 阶可逆矩阵.则 【推论3】设A是可逆矩阵,则可以只经过初等行变换 化成单位矩阵E. 这表明,只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵. 【证推论3】 因A可逆, 所以A-1也可逆, 由定理2.4存在初等阵P1,P2,Ps,使 A-1= P1P2Ps 因为 A-1A=E 于是有P1,P2,PsA=E 二、用初等变换求逆矩阵 得 : P1P2PsA=E P1P2PsE=A-1 1.用初等变换求逆矩阵 设A是n阶可逆矩阵,则A-1 也可逆。从而存在初等阵P1,P2,Ps 由 A-1A=E; A-1E= A-1; 结论: 若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵 E时,则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵 E化成了逆矩阵A-1 用初等变换求逆矩阵的方法: 1)构造矩:(A E); 2)做初等行变换 例1 求A的逆矩阵,其中 【解】 由于 所以 : 注:也可用初等列变换求可逆矩阵的逆 如上例: =A-1 2.用初等变换解矩阵方程 （1）设矩阵方程为:AX=B,其中A可逆,则矩阵X=A-1B 由 A-1A=E; A-1B= X;设:A-1 =P1P2Ps (Pi为初等矩阵) 得 : P1P2PsA=E P1P2PsB=X 解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的一般方法: （2）当矩阵A可逆时,如何用初等变换求解矩 阵方程:XA=B ? 想一想 例2:设矩阵方程为AX=B,求矩阵X,其中 解: 由于 所以 例3 设矩阵 矩阵 满足 ,其中 是 的伴随矩阵，求 . 例四页 解： 三、小结 1.初等行(列)变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 变换类型相同 3.矩阵等价具有的性质 2. 初等变换 5. 初等变换的应用 用初等变换求逆矩阵的方法: 1)构造矩:(A E);2)做初等行变换 用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的方法: 用初等变换解矩阵方程:XA=B(其中A可逆)的方法: 4. 单位矩阵 初等矩阵. 一次初等变换 作业： 6页 习题2-5 1;2;3 6页 总习题二 6; 四、问题与思考 习题2-4 1. 矩阵A可逆,且 则A= ; 2. 设矩阵方程: 则X= ; 问题与思考答案 练习 将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,再化 为行最简形,最后化为标准形. 注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用 初等行变换. 化矩阵为标准形时，初等行变换和初 等列变换均可以使用. 依次为行阶梯